高考数学第二轮同步复习题 7页

‎2012年高考数学二轮复习同步练习：‎ 专题2函数、导数及其应用 ‎1．(2011·北京海淀)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，‎ 所以当a＝1时，f ′(x)＝xex，‎ 令f ′(x)＝0，则x＝0，‎ 所以f(x)，f ′(x)的变化情况如下表：‎ 所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1.‎ ‎(2)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，所以f ′(x)≥0，对x∈(0,1)恒成立．‎ 又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立即可，‎ 解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要，即成立，解得a≥1.‎ 解法二：因为x>0，所以只要a≥对x∈(0,1)恒成立，‎ 因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减，‎ 所以只要a≥g(0)＝＝1.‎ ‎2．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“‎ 优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x人，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？‎ ‎[解析]　设重组后，该企业年利润为y万元，依题意得 y＝(2000－x)(3.5＋1－)－0.5x ‎＝－5(x＋)＋9000.81，‎ ‎∴y＝－5(x＋)＋9000.81，(0‎2a，且f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2＋1)恒成立，且存在x0使得f(x0)<2(x＋1)成立，求c的值．‎ ‎[解析]　(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，对称轴方程为x＝－.‎ ‎∵b>‎2a，且a∈N*，b∈N，∴－<－1.‎ ‎∵sinx∈[－1,1]，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[－1,1]上为增函数．‎ 于是f(sinx)的最大值为f(1)＝a＋b＋c＝2，‎ 最小值为f(－1)＝a－b＋c＝－4，‎ 由此可得b＝3.∵b>‎2a，且a∈N*，‎ ‎∴a＝1，从而c＝－2.‎ ‎∴f(x)＝x2＋3x－2＝(x＋)2－.‎ 即f(x)的最小值为－.‎ ‎(2)令x＝1，代入4x≤f(x)≤2(x2＋1)得 f(1)＝4，即a＋b＋c＝4.从而b－4＝－a－c.‎ 又由f(x)≥4x，得ax2＋(b－4)x＋c≥0.‎ ‎∵a>0，故Δ＝(b－4)2－‎4ac≤0.‎ 即(－a－c)2－‎4ac≤0，(a－c)2≤0.从而a＝c.‎ ‎∵b≥0，∴a＋c≤4,‎2c≤4.‎ 又a＝c∈N*，∴c＝1或c＝2.‎ 当c＝2时，b＝0，f(x)＝2x2＋2.此时x0不满足f(x0)<2(x＋1)．故c＝2不符合题意，舍去．‎ 所以c＝1，经检验c＝1满足题意．‎ ‎4．(2011·安徽理，16)设f(x)＝，其中a为正实数．‎ ‎(1)当a＝时，求f(x)的极值点；‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．‎ ‎[解析]　对f(x)求导得f′(x)＝ex.‎ ‎(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.‎ 结合①，可知 所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点．‎ ‎(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝‎4a2－‎4a＝‎4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0－1或a<－－1时，由f′(x)＝0得 x1＝a－，x2＝－a＋ 故x0＝x2，由题设知，1<－a＋<3‎ 当a>2－1时，不等式1<－a＋<3无解 当a<－－1时，解不等式1<－a＋<3得－0.‎ ‎(1)解不等式f(x＋)x1，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)‎ ‎＝·(x2－x1)>0，‎ 所以f(x2)>f(x1)．所以f(x)是增函数．‎ 由f(x＋)