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  • 2021-05-13 发布

高考物理专题八万有引力定律及其应用精准培优专练

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一、考点分析 二、考题再现 培优点八 万有引力定律及其应用 1. “万有引力与航天”几乎每年必考,以选择题为主。近几年的出题主要集中在天体质量、 密度的计算,卫星运动的各物理量间的比较,以及卫星的发射与变轨问题。 2. 几点注意: (1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力,忽略自转时重力等于万 有引力; (2)由 v= GM r 得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度,而发射航天器的发射速度要 符合三个宇宙速度; (3)卫星在运行中的变轨有两种情况:离心运动和向心运动。 典例 1. (2018∙全国 I 卷∙20) 2017 年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波, 根据科学家们复原的过程,在两颗中星合并前约 100 s 时,它们相距约 400 km,绕二者连线 上的某点每秒转动 12 圈,将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有 引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子( ) A. 质量之积 B. 质量之和 C. 速率之和 D. 各自的自转角速度 【解析】双中子星做匀速圆周运动的频率 f =12 Hz(周期 T =1/12 s),由万有引力等于向心 力,可得: , ,r1+ r2= r = 40 km,联立解得: (m1+m2)=(2πf )2Gr3, B 正确、A 错误;由 v1=ωr1=2πfr1,v2=ωr2=2πf r2,联立解得: v1+ v2=2πf r,C 正确;不能得出各自自转的角速度,D 错误。 【答案】BC 典例 2. (2018∙全国 II 卷∙16) 2018 年 2 月,我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒 脉冲星“J0318+0253”,其自转周期T =5.19 ms,假设星体为质量均匀分布的球体,已知万 有引力常量为 。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A. B. C. D. 21 2 1 12 (2π )mmG mr fr = 21 2 2 22 (2π )mmG m r fr = 11 2 26.67 10 N m /kg−× ⋅ 9 35 10 kg/m× 12 35 10 kg/m× 15 35 10 kg/m× 18 35 10 kg/m× 三、对点速练 【解析】设脉冲星值量为 M,密度为 ρ,根据天体运动规律知: , ,代入可得: ,故 C 正确。 【答案】C 典例 3.(2018∙全国 III 卷∙15)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星 P,其轨道 半径约为地球半径的 16 倍;另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍。P 与 Q 的周 期之比约为( ) A. 2 : 1 B. 4 : 1 C. 8 : 1 D. 16 : 1 【解析】设地球半径为 R,根据题述,地球卫星 P 的轨道半径为 RP =16R,地球卫星 Q 的轨 道半径为 RQ = 4R,根据开普勒定律, ,所以 P 与 Q 的周期之比为 TP∶TQ = 8∶ 1,选项 C 正确。 【答案】C 1.如图,地球和行星绕太阳做匀速圆周运动,地球和形状做匀速圆周运动的半径 r1、r2 之 比为 1 : 4,不计地球和行星之间的相互影响,下列说法不正确的是( ) A.行星绕太阳做圆周运动的周期为 8 年 B.地球和行星的线速度大小之比为 1 : 2 C.由图示位置开始计时,至少再经过 年,地球位于太阳和行星连 线之间 D.经过相同时间,地球、行星半径扫过的面积之比为 1 : 2 【答案】B 【解析】地球和行星均绕太阳做匀速圆周运动,地球绕太阳做圆周运动的周期为 T1 = 8 年, 根据 解得 T2 = 8 年,A 正确;根据 可知 ,B 错误;根据 可得 年,C 正确;天体半径扫过的面积为 ,而 ,联立解得 , 2 2 2MmG m rTr π ≥    34π /3 M M V r ρ = = 15 35 10 kg/mρ ≈ × 2 3 2 3 64P P Q Q T R T R = = 8 7 3 2 1 1 3 2 2 2 r T r T = 2 2 Mm vG m rr = 1 2 2 1 v v = 1 2 2π 2π 2π T T t − = 8 7t = 2π2πS r θ= ⋅ 2πtT θ = 2πtrS T = 故经过相同时间,地球和行星半径扫过的面积之比为 ,D 正确。 2.(多选)2017 年 8 月我国 FAST 天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星。其中一颗星的自转 周期为 T(实际测量为 1.83 s,距离地球 1.6 万光年),假设该星球恰好能维持自转不瓦解; 地球可视为球体,其自转周期为 T0;同一物体在地球赤道上用弹簧秤测得重力为两极处的 0.9 倍,已知万有引力常量为 G,则该脉冲星的平 均密度 ρ 及其与地球的平均密度 ρ0 之比正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】星球恰好能维持自转不瓦解时,万有引力充当向心力,即 ,又 ,联立解得 ,A 正确;设地球质量为 M0,半径为 R0,由于两极处物体的 重力 P 等于地球对物体的万有引力,即 ,在赤道上,地球对物体的万有引力和 弹 簧 秤 对 物 体 的 拉 力 的 合 力 提 供 向 心 力 , 则 有 , 联 立 解 得 ,地球平均密度 ,C 对。 3.(多选)一探测器探测某星球表面时做了两次测量.探测器先在近星轨道上做圆周运动测 出运行周期为 T;着陆后,探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛出,测出了小球上升的 最大高度 h 与抛出速度 v 的二次方的关系,如图所示,图中 a、b 已知,引力常量为 G,忽 略空气阻力的影响,根据以上信息可求得(  ) A.该星球表面的重力加速度为 2b a B.该星球的半径为 bT2 8aπ2 C.该星球的密度为 3π GT2 D.该星球的第一宇宙速度为 4aT πb 【答案】BC 4.我国首颗量子科学实验卫星于 2016 年 8 月 16 日 1 点 40 分成功发射。量子卫星成功运行 后,我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信,构建天地一体化的量子保密通信 1 2 1 2 S S = 2 3π GT ρ = 3π GT ρ = 2 0 2 0 10 T T ρ ρ = 2 0 2 0 10T T ρ ρ = 2 2 2πMmG m RTR  =    34 π3M Rρ= ⋅ 3π GT ρ = 0 2 0 M mP G R = 2 0 02 0 2π0.9M mG P m RTR  − =    2 2 0 0 2 0 40π RM GT = 0 0 2 0 30πM V GT ρ = = 与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面,如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地 球半径的 m 倍,同步卫星的轨道半径是地球半径的 n 倍,图中 P 点是地球赤道上一点,由此 可知(  ) A.同步卫星与量子卫星的运行周期之比为 n3 m3 B.同步卫星与 P 点的速度之比为 1 n C.量子卫星与同步卫星的速度之比为 n m D.量子卫星与 P 点的速度之比为 n3 m 【答案】D 【解析】根据G Mm r2=m 4π2 T2 r,得 T= 4π2r3 GM ,由题意知 r 量=mR,r 同=nR,所以 T同 T量= r 3同 r 3量= n3 m3,故 A 错误;P 为地球赤道上一点,P 点角速度等于同步卫星的角速度,根据 v=ωr, 所以有 v同 vP = r同 rP = nR R = n 1,故 B 错误;根据 G Mm r2=m v2 r ,得 v= GM r ,所以 v量 v同= r同 r量= nR mR= n m,故 C 错误;v 同=nvP, v量 v同= v量 nvP= n m,得 v量 vP = n3 m ,故 D 正确。 5. 某试验卫星在地球赤道平面内一圆形轨道上运行,每 5 天对某城市访问一次,下列关于 该卫星的描述中正确的是(  ) A. 角速度可能大于地球自转角速度 B. 线速度可能大于第一宇宙速度 C. 高度一定小于同步卫星的高度 D. 向心加速度可能大于地面的重力加速度 【答案】A 【解析】设卫星的周期为 T,地球自转的周期为 T0,则有 ,或者 ,可解得卫星的周期 或者 ,即卫星的角速度可能大 于地球自转角速度,也可能小于地球自转的角速度,A 正确;由卫星的线速度 可知, 所有卫星的速度小于等于第一宇宙速度,B 错误;卫星的高度越高则周期越大,由 A 选项解 析可知,卫星的周期可能大于也能小于同步卫星的周期,所以卫星的高度可能大于也可能小 于同步卫星的高度,C 错误;根据牛顿第二定律 ,向心加速度 ,卫星的 高度高于地面,所以其向心加速度小于地面的重力加速度,D 错误。 0 0 0 2π 2π5 5 2πT TT T × = × + 0 0 0 2π 2π5 2π 5T TT T × + = × 0 5 6T T= 0 5 4T T= GMv r = 2 MmG mar = 2 GMa r = 6.(多选) 2015 年 12 月 10 日,我国成功将中星 1C 卫星发射升空,卫星顺利进入预定转移 轨道。如图所示是某卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图,已知地球半径为 R,地球表面的 重力加速度为 g,卫星远地点 P 距地心 O 的距离为 3R。则(  ) A.卫星在远地点的速度大于 3gR 3 B.卫星经过远地点时速度最小 C.卫星经过远地点时的加速度大小为 g 9 D.卫星经过远地点时加速,卫星将不能再次经过远地点 【答案】BC 【解析】对地球表面的物体有 GMm0 R2 =m0g,得 GM=gR2,若卫星沿半径为 3R 的圆周轨道运行 时有 GMm 3R2= m v2 3R,运行速度为 v= GM 3R= 3gR 3 ,从椭圆轨道的远地点进入圆轨道需加速,因此,卫星在 远地点的速度小于 3gR 3 ,A 错误;卫星由近地点到远地点的过程中,万有引力做负功,速 度减小,所以卫星经过远地点时速度最小,B 正确;卫星经过远地点时的加速度 a= GM 3R2 = g 9,C 正确;卫星经过远地点时加速,可能变轨到轨道半径为 3R 的圆轨道上,所以卫星还 可能再次经过远地点,D 错误。 7.“天宫一号”目标飞行器在离地面 343 km 的圆形轨道上运行,其轨道所处的空间存在极 其稀薄的大气。下列说法正确的是(  ) A.如不加干预,“天宫一号”围绕地球的运动周期将会变小 B.如不加干预,“天宫一号”围绕地球的运动动能将会变小 C.“天宫一号”的加速度大于地球表面的重力加速度 D.航天员在“天宫一号”中处于完全失重状态,说明航天员不受地球引力作用 【答案】A 【解析】根据万有引力提供向心力有 GMm r2 =m 4π2r T2 ,解得:T= 4π2r3 GM ,由于摩擦阻力作用, 卫星轨道高度将降低,则周期减小,A 项正确;根据 GMm r2 =m v2 r ,解得:v= GM r ,轨道高度 降低,卫星的线速度增大,故动能将增大,B 项错误;根据 GMm r2 =ma,得 a= GM r2,“天宫一号” 的轨道半径大于地球半径,则加速度小于地球表面的重力加速度,C 项错误;完全失重状态 说明航天员对悬绳的拉力或对支持物体的压力为 0,而地球对他的万有引力提供他随“天宫 一号”围绕地球做圆周运动的向心力,D 项错误。 8.2016 年 2 月 11 日,科学家宣布“激光干涉引力波天文台(LIGO)”探测到由两个黑洞合 并产生的引力波信号,这是在爱因斯坦提出引力波概念 100 周年后,引力波被首次直接观测 到。在两个黑洞合并过程中,由于彼此间的强大引力作用,会形成短时间的双星系统。如图 所示,黑洞 A、B 可视为质点,它们围绕连线上 O 点做匀速圆周运动,且 AO 大于 BO,不考 虑其他天体的影响。下列说法正确的是(  ) A.黑洞 A 的向心力大于 B 的向心力 B.黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度 C.黑洞 A 的质量大于 B 的质量 D.两黑洞之间的距离越大,A 的周期越小 【答案】B 【解析】两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,A 对 B 的作用力 与 B 对 A 的作用力大小相等、方向相反,则黑洞 A 的向心力等于 B 的向心力,故 A 错误;两 黑洞靠相互间的万有引力提 供向心力,具有相同的角速度,由题图可知 A 的轨道半径比较大,根据 v=ωr 可知,黑洞 A 的线速度大于 B 的线速度,故 B 正确;由于 mAω2rA=mBω2rB,由于 A 的轨道半径比较大, 所以 A 的质量小,故 C 错误;两黑洞靠相互间的万有引力提供向心力,所以 G mAmB L2 =mA 4π2 T2 rA =mB 4π2 T2 rB ,又:rA +rB =L,得 rA = mBL mA+mB,L 为二者之间的距离,所以得:G mAmB L2 = mA 4π2 T2 · mBL mA+mB,即:T2= 4π2L3 GmA+mB,则两黑洞之间的距离越小,A 的周期越小,故 D 错 误。 9.(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统,可忽略其他星 体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是直线三星 系统——三颗星体始终在一条直线上;另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角 形的三个顶点上。已知某直线三星系统 A 每颗星体的质量均为 m,相邻两颗星中心间的距离 都为 R;某三角形三星系统 B 的每颗星体的质量恰好也均为 m,且三星系统 A 外侧的两颗星 体做匀速圆周运动的周期和三星系统 B 每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。引力常量为 G, 则(  ) A.三星系统 A 外侧两颗星体运动的线速度大小为 v= Gm R B.三星系统 A 外侧两颗星体运动的角速度大小为 ω= 1 2R 5Gm R C.三星系统 B 的运动周期为 T=4πR R 5Gm D.三星系统 B 任意两颗星体中心间的距离为 L=3 12 5 R 【答案】BCD 【解析】三星系统A 中,三颗星体位于同一直线上,两颗星体围绕中 央星体在同一半径为 R 的圆轨道上运行。其中外侧的一颗星体由中央 星体和另一颗外侧星体的合万有引力提供向心力,有:G m2 R2+G m2 (2R)2 =m v2 R ,解得 v = 5Gm 4R ,A 错误;三星系统A 中,周期 T= 2πR v =4πR R 5Gm,则其角速度为 ω= 2π T = 1 2R 5Gm R ,B 正确;由于两种系统周期相等,则三星系统 B 的运行周期为 T=4πR R 5Gm,C 正确;三星系统 B 中,三颗星体位于等边三角形的三个顶 点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行,如图所示,对某颗星体,由万有引力定律和 牛顿第二定律得:2 Gm2 L2 cos 30°=m L 2cos 30°· 4π2 T2 ,解得 L=3 12 5 R,D 正确。