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- 2021-05-13 发布
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2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页,24题(含选做题),全卷满分150分,考试用时120分钟。
第I卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(2)设,其中是实数,则( )
(A) (B) (C) (D)
(3)已知等差数列前9项的和为27,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(4)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
(A) (B) (C) (D)
(5)已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆
中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的
表面积是( )
(A) (B)
(C) (D)
(7)函数在的图像大致为( )
x
O
2
1
-2
(A)
y
x
O
2
1
-2
(B)
y
y
x
O
2
1
-2
(C)
y
x
2
1
-2
(D)
O
开始
结束
是
否
输入
输入
(8)若,,则( )
(A) (B)
(C) (D)
(9)执行右面的程序框图,如果输入的,
则输出的值满足( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10)以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点,交的准线
于两点.已知,,则的焦点到准线
的距离为( )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
(11)平面过正方体的顶点,平面,平面,平面,则所成角的正弦值为( )
(A) (B) (C) (D)
(12)已知函数,为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(24)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本题共4小题,每小题5分。
(13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2 = |a|2+|b|2,则m= .
(14)的展开式中,的系数是 .(用数字填写答案)
(15)设等比数列满足,,则的最大值为 .
(16)某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料,生产一件产品需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品的利润为2100元,生产一件产品的利润为900元,该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品、产品的利润之和的最大值为 元.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)的内角的对边分别为,已知.
(I)求;
(II)若,的面积为,求的周长.
(18)(本小题满分12分)A
B
D
E
F
C
如图,在以为顶点
的五面体中,面为正方形,,,
且二面角和二面角都是.
(I)证明:平面平面;
(II)求二面角的余弦值.
(19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
频数
8
9
10
11
更换的易损零件数
20
40
0
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需要更换的易损零件数,n表示购买两台机器的同时购买的易损零件数.
(I)求X的分布列;
(II)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19和n=20之中选其一,应选用哪个?
(20)(本小题满分12分)设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于两点,过作的平行线交于点.
(I)证明为定值,并写出点的轨迹方程;
(II)设点的轨迹为曲线,直线交于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.
(21)(本小题满分12分)已知函数有两个零点.
(I)求的取值范围;
(II)设是的两个零点,证明:.
请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
B
O
A
C
D
(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,是等腰三角形,.以为圆心,
为半径作圆.
(I)证明直线与⊙O相切;
(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,
证明:.
(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,.在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线.
(I)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程;
(II)直线的极坐标方程为,其中满足,若曲线与的公共点都在上,求.
O
x
y
1
1
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
已知函数.
(I)在答题卡第(24)题图中画出的图像;
(II)求不等式的解集.