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  • 2021-05-13 发布

2012年高考文科数学真题答案全国卷1

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‎2012年高考文科数学真题及答案全国卷1‎ 注息事项:‎ ‎ 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。‎ ‎ 2.问答第Ⅰ卷时。选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·‎ ‎4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。‎ 第1卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-10,,直线=和=是函数图像的两条相邻的对称轴,则=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.‎ ‎【解析】由题设知,=,∴=1,∴=(),‎ ‎∴=(),∵,∴=,故选A.‎ ‎(10)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,=,则的实轴长为 ‎. . .4 .8‎ ‎【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题.‎ ‎【解析】由题设知抛物线的准线为:,设等轴双曲线方程为:,将代入等轴双曲线方程解得=,∵=,∴=,解得=2,‎ ‎∴的实轴长为4,故选C.‎ ‎(11)当0<≤时,,则a的取值范围是 ‎ ‎(A)(0,) (B)(,1) (C)(1,) (D)(,2)‎ ‎【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想,是中档题.‎ ‎【解析】由指数函数与对数函数的图像知,解得,故选A.‎ ‎(12)数列{}满足,则{}的前60项和为 ‎(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830‎ ‎【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题.‎ ‎【解析】【法1】有题设知 ‎=1,① =3 ② =5 ③ =7,=9,‎ ‎=11,=13,=15,=17,=19,,‎ ‎……‎ ‎∴②-①得=2,③+②得=8,同理可得=2,=24,=2,=40,…,‎ ‎∴,,,…,是各项均为2的常数列,,,,…是首项为8,公差为16的等差数列,‎ ‎∴{}的前60项和为=1830.‎ ‎【法2】可证明:‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎(13)曲线在点(1,1)处的切线方程为________‎ ‎【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.‎ ‎【解析】∵,∴切线斜率为4,则切线方程为:.‎ ‎ (14)等比数列{}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比=_______‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式,是简单题.‎ ‎【解析】当=1时,=,=,由S3+3S2=0得,=0,∴=0与{}是等比数列矛盾,故≠1,由S3+3S2=0得,,解得=-2.‎ ‎ (15) 已知向量,夹角为,且||=1,||=,则||= .‎ ‎【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.‎ ‎【解析】∵||=,平方得,即,解得||=或(舍)‎ ‎ (16)设函数=的最大值为M,最小值为m,则M+m=____‎ ‎【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.‎ ‎【解析】=,‎ 设==,则是奇函数,‎ ‎∵最大值为M,最小值为,∴的最大值为M-1,最小值为-1,‎ ‎∴,=2.‎ 三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(17)(本小题满分12分)已知,,分别为三个内角,,的对边,.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若=2,的面积为,求,.‎ ‎【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得 ‎ ‎ 由于,所以,‎ 又,故.‎ ‎(Ⅱ) 的面积==,故=4,‎ 而 故=8,解得=2.‎ ‎18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理。‎ ‎(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式。 ‎ ‎(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;‎ ‎(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.‎ ‎【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事件的和概率,是简单题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当日需求量时,利润=85;‎ 当日需求量时,利润,‎ ‎∴关于的解析式为;‎ ‎(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的平均利润为 ‎=76.4;‎ ‎(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为 ‎(19)(本小题满分12分)如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点。‎ ‎(I) 证明:平面⊥平面 ‎(Ⅱ)平面分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.‎ ‎【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题设知BC⊥,BC⊥AC,,∴面, 又∵面,∴,‎ 由题设知,∴=,即,‎ 又∵, ∴⊥面, ∵面,‎ ‎∴面⊥面;‎ ‎(Ⅱ)设棱锥的体积为,=1,由题意得,==,‎ 由三棱柱的体积=1,‎ ‎∴=1:1, ∴平面分此棱柱为两部分体积之比为1:1.‎ ‎(20)(本小题满分12分)设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.‎ ‎(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.‎ ‎【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.‎ ‎【解析】设准线于轴的焦点为E,圆F的半径为,‎ 则|FE|=,=,E是BD的中点,‎ ‎(Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=,‎ 设A(,),根据抛物线定义得,|FA|=,‎ ‎∵的面积为,∴===,解得=2,‎ ‎∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:;‎ ‎(Ⅱ) 【解析1】∵,,三点在同一条直线上, ∴是圆的直径,,‎ 由抛物线定义知,∴,∴的斜率为或-,‎ ‎∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,‎ 设直线的方程为:,代入得,,‎ ‎∵与只有一个公共点, ∴=,∴,‎ ‎∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,‎ ‎∴坐标原点到,距离的比值为3.‎ ‎【解析2】由对称性设,则 ‎ 点关于点对称得:‎ ‎ 得:,直线 ‎ 切点 ‎ 直线 坐标原点到距离的比值为。‎ ‎(21)(本小题满分12分)设函数f(x)= ex-ax-2‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间 ‎(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f´(x)+x+1>0,求k的最大值 请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.‎ ‎22. (本小题满分10分)选修4-1:几何选讲 如图,D,E分别是△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆与F,G两点,若CF∥AB,证明:‎ ‎(Ⅰ) CD=BC;‎ ‎(Ⅱ)△BCD∽△GBD.‎ ‎【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识,是简单题.‎ ‎【解析】(Ⅰ) ∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥BC,‎ ‎∵CF∥AB, ∴BCFD是平行四边形,‎ ‎∴CF=BD=AD, 连结AF,∴ADCF是平行四边形,‎ ‎∴CD=AF,‎ ‎∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC;‎ ‎(Ⅱ) ∵FG∥BC,∴GB=CF,‎ 由(Ⅰ)可知BD=CF,∴GB=BD,‎ ‎∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线的参数方程是(是参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:的极坐标方程是=2,正方形ABCD的顶点都在上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).‎ ‎(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;‎ ‎ (Ⅱ)设P为上任意一点,求的取值范围.‎ ‎【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标,是容易题型.‎ ‎【解析】(Ⅰ)由已知可得,,‎ ‎,,‎ 即A(1,),B(-,1),C(―1,―),D(,-1),‎ ‎(Ⅱ)设,令=,‎ 则==,‎ ‎∵,∴的取值范围是[32,52].‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数=.‎ ‎(Ⅰ)当时,求不等式 ≥3的解集;‎ ‎(Ⅱ) 若≤的解集包含,求的取值范围.‎ ‎【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法,是简单题.‎ ‎【解析】(Ⅰ)当时,=,‎ 当≤2时,由≥3得,解得≤1;‎ 当2<<3时,≥3,无解;‎ 当≥3时,由≥3得≥3,解得≥8,‎ ‎∴≥3的解集为{|≤1或≥8};‎ ‎(Ⅱ) ≤,‎ 当∈[1,2]时,==2,‎ ‎∴,有条件得且,即,‎ 故满足条件的的取值范围为[-3,0].‎