高考数学复习三角恒等变换 11页

三角恒等变换 ‎【学法导航】高考资源网 ‎1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择，要认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在高考资源网 ‎（1）化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；‎ ‎（2）求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围高考资源网 ‎（3）证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等 ‎2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如， 等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式；三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。‎ ‎3.三角函数恒等变形的基本策。高考资源网 ‎①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。‎ ‎②项的分拆与角的配凑。如分拆项：;‎ 配凑角(常用角变换):、、‎ ‎、、等.‎ ‎③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次高考资源网 ‎④化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。高考资源网 ‎⑤引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。高考资源网 ‎4. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，‎ 即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β） ，1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。高考资源网 ‎【专题综合】高考资源网 例1. （05天津）已知，求及．‎ 解：解法一：由题设条件，应用两角差的正弦公式得高考资源网 ‎，即 ①‎ 由题设条件，应用二倍角余弦公式得高考资源网 ‎ ‎ 故 ②‎ 由①和②式得，高考资源网 因此，，由两角和的正切公式高考资源网 高考资源网 解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得，‎ 解得　　，即高考资源网 由可得高考资源网 由于，且，故a在第二象限于是，‎ 从而 以下同解法一高考资源网 小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含）进行转换得到．高考资源网 ‎2、在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形．‎ 例2. 已知为锐角的三个内角，两向量，，若与是共线向量. 高考资源网 ‎ （1）求的大小；‎ ‎ （2）求函数取最大值时，的大小.‎ 解：（1）高考资源网 ‎， 高考资源网 ‎ ‎（2）‎ 高考资源网 ‎．高考资源网 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意高考资源网 例3. 设关于x的方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解α、β.‎ ‎(1)求α的取值范围; (2)求tan(α＋β)的值. 高考资源网 解: (1)∵sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2 sin(x＋), ‎ ‎∴方程化为sin(x＋)＝－.高考资源网 ‎∵方程sinx＋cosx＋a＝0在(0, 2π)内有相异二解, 高考资源网 ‎∴sin(x＋)≠sin＝ . 高考资源网 又sin(x＋)≠±1 (∵当等于和±1时仅有一解), 高考资源网 ‎∴|－|<1 . 且－≠. 即|a|<2且a≠－. 高考资源网 ‎∴ a的取值范围是(－2, －)∪(－, 2). 高考资源网 ‎ (2) ∵α、 β是方程的相异解, ∴sinα＋cosα＋a＝0 ①. 高考资源网 sinβ＋cosβ＋a＝0 ②. ‎ ‎①－②得(sinα－ sinβ)＋( cosα－ cosβ)＝0. 高考资源网 ‎∴ 2sincos－2sin高考资源网 sin＝0, 又sin≠0, 高考资源网 ‎∴tan＝.‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝.高考资源网 小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别，这里不能忘记(0, 2π)这一条件.‎ 例4.中，已知内角，边.设内角,面积为.‎ ‎(1)若，求边的长；高考资源网 ‎(2)求的最大值. 高考资源网 解：（1）由正弦定理得： ‎ ‎（2）的内角和 ， ‎ ‎ 高考资源网 ‎ ‎= ‎ ‎ 高考资源网 ‎ ‎ ，‎ 当即时，取得最大值.高考资源网 小结：本题将三角函数、三角恒等变换与解三角形（正、余弦定理等）综合，考查学生灵活运用知识的能力高考资源网 例5.已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围．‎ 解：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式．‎ 任取，且，则不等式恒成立，即恒成立．化简得 由可知：，所以高考资源网 上式恒成立的条件为：.高考资源网 由于高考资源网 高考资源网 且当时，，所以 ,高考资源网 从而 ,高考资源网 有 ,高考资源网 故 的取值范围为.高考资源网 ‎【专题突破】高考资源网 一、选择题高考资源网 ‎1．若，则的值为（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2.=（ ） ‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎3.函数是（ ）‎ A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数高考资源网 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 ‎4．求值（ ）A． B． C． D．‎ ‎5．已知，，则（ ）高考资源网 A． B． C． D．‎ ‎6．函数的最小正周期是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7．在△ABC中，，则△ABC为（ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定高考资源网 ‎8．设，，，则大小关系（ ）‎ A． B． 高考资源网 C． D．‎ ‎9．函数是（ ）‎ A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数高考资源网 ‎10．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．高考资源网 ‎11、已知，，且，，则的值是 （ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D．高考资源网 ‎12、已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是 （ ）高考资源网 A、 B、 C、 D、‎ 二、填空题 ‎13、已知，，则 ‎ ‎14、函数的最小值是 ‎ ‎15、函数图像的对称中心是（写出通式） ‎ ‎16、关于函数，下列命题：‎ ‎①、若存在，有时，成立；高考资源网 ‎②、在区间上是单调递增；‎ ‎③、函数的图像关于点成中心对称图像；‎ ‎④、将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上）‎ 三、解答题 ‎17.求证：‎ ‎18. 求值：高考资源网 ‎19.已知函数．‎ ‎ （1）若，，求的值；www.ks5u.com ‎ （2）求函数在上最大值和最小值．‎ ‎20. 已知 图像上相邻的两个对称轴的距离是高考资源网 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数上的最大值和最小值．‎ ‎21. 设向量，，，若，‎ 求：（1）的值； （2）的值．高考资源网 ‎22. 设函数学 ‎（1）求函数的最小正周期；高考资源网 ‎（2）若，是否存在实数m，使函数的值域恰为？若存在，请求高考资源网 ‎ 出m的取值；若不存在，请说明理由．高考资源网 专题突破参考答案 一、选择题 ‎1．C 2． C 3．C 4．C ‎ ‎5.D ，‎ ‎6.D 高考资源网 ‎7.C 为钝角 ‎8.D ，，‎ ‎9.C ，为奇函数，高考资源网 ‎10.B ‎ ‎ 高考资源网 ‎11.D ‎12.A高考资源网 二、填空题 ‎13、 14、高考资源网 ‎15、 16、①③‎ 三、解答题 ‎17. 解：证明：左边=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=右边，原题得证．‎ ‎18．解：解：原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 高考资源网 ‎19. 解：（1）‎ 由题意知： ，即．高考资源网 ‎∵，即 ， 高考资源网 ‎∴，．‎ ‎（2）∵ ， 即 ，高考资源网 ‎∴，．高考资源网 ‎20. 解：……（2分）‎ 高考资源网 高考资源网 ‎（1）因为函数的图象上相邻的两个对称轴间的距离是 所以函数的最小正周期T=，则 ‎（2）高考资源网 ‎，高考资源网 则当时，取得最小值－1；高考资源网 当取得最大值 ‎ ‎21. 解：（1）依题意，‎ ‎ ，又．‎ ‎（2）由于，则 ‎ 结合，可得高考资源网 则 ．‎ ‎22. 解： （1）‎ ‎ 高考资源网 ‎∴ 函数的最小正周期 ‎（2）假设存在实数m符合题意， ，‎ ‎∴ 高考资源网 ‎∴ 高考资源网 又∵，解得 ‎ ‎∴存在实数，使函数的值域恰为 高考资源网 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ www.ks5u.com