数学高考备考 20页

助 你 数 学 高 考 成 功 ‎------ 谈高考数学复习 ‎ 一、 高考数学命题的指导思想 当前，我国的高等教育不是“ 大众”教育而是“英才”教育，那么高考必然突出选拔功能。因此，高考试题追求的不是绝对难度而是相对难度，使考生尽全力达到自己学习的“极限水平”，以便公开、公正、公平地将不同层次的考生较好地区分开来。‎ ‎1、试题命制体现：‎ ‎（A）既考查知识，又考查能力；‎ ‎（B）有利于高校选拔新生（更具有适于上大学学习潜能的考生）；‎ ‎（C）有利于中学数学教育教学及教改（促进中学的素质教育）；‎ ‎（D）有利于培养学生应具备的各种能力，特别是创新精神和实践能力。‎ ‎2、试题性态表现：‎ ‎（A）考查对概念的了解和理解，而不是机械记忆和再认；‎ ‎（B）考查对定理、公式的掌握和应用，而不是能够记住和背诵；‎ ‎（C）考查数学思维能力及运用数学知识和方法的能力；‎ ‎（D）考查数学的实验技能、探索能力和实际应用；‎ ‎（E）考查“三基”，更考查知识的内在联系与综合，但不刻意追求知识的覆盖面；‎ ‎（F）考查数学的通性通法，淡化数学的特殊技能技巧。‎ ‎3、题型的特点、功能及解题策略：‎ 几年来，高考数学试题采用选择题、填空题及解答题三种题型，无论选择题、填空题，还是解答题，绝少记忆型和单一型 ，多属理解型、综合型和应用型。其特点是：‎ A)选择题：（1）概念性强（2）量化突出（3）灵活多变充满思辨性（4）形数兼备（5）解法多样。（6）阅卷客观，减少误差。一般地，每道选择题考查知识点2—5个，3—4个居多。‎ B)填空题：（1）考查目标集中（2）答案简短明确具体（3）考查方法灵活，多为计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型试题。(4)容易创新性命题,如阅读理解的定义型、结论不唯一的开放型等形式多样的题目。应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断。由于没有备选项，所以不受诱误干扰，但缺乏提示帮助，毫无猜想成份，学生得分率较低。‎ A）、B）两类题型的功能：‎ ‎①培养形象思维，直觉思维，逻辑思维，创新思维能力。‎ ‎②培养思维的敏捷性与灵活性、深刻性与批判性。‎ ‎③培养估算能力。‎ 不足：解同一道题的区分度差。‎ 解题策略：认真审题，合理选用解题方法，如特例检验法[特殊值、特殊角、特殊点、特殊位置、特殊图形、特殊方程、特殊函数、特殊数列等]、形数结合法[图象法]、概念辨析法、逻辑分析法、逆向思维法、淘汰法等等，通过直觉思维、逻辑思维、定性分析或定量计算,合理、正确、迅速解题，避免“‎ 小题大做、误时失分”。‎ C）解答题：（1）内涵丰富、灵活多变、综合性强（2）命题自由度大、富有弹性（3）解题方法多样，充分发挥学生才能（4）按解题步骤给分，不同层次的学生区分度大。‎ C类题型的功能：‎ 较全面地反映考生智力水平，展示其综合运用数学知识进行逻辑思维过程，适合对分析、综合、数式运算、空间想象、逻辑推理能力、文字表达，数学思想和方法的运用等较高层次的考查。‎ 解题策略：认真审题，正确理解题意[特别是挖掘题中的隐含条件]，一般是先分析后综合，从已知条件出发，通过联想，运用有关的数学知识、数学方法和数学思想，进行推理、演绎、归纳和计算，最后达到所要求的目标。解答过程步骤完整清晰、推理符合逻辑、会一步做一步不可轻易放弃。‎ 一、 数学高考的内容和要求 1、 陈述性知识的内容和要求 陈述性知识也叫说明性知识，它是关于事实本身的知识，主要是教材中所讲述的概念、定义、定理、公式、法则等内容，对它的学习主要表现为理解和记忆。陈述性知识是静态的，被激活之后其结果是信息的再现，被激活的程度不仅与知识的结构组织有关，更与对这些知识理解的透彻程度与掌握的牢固程度有关。‎ ‎ 其内容与要求详见«高考数学考试大纲或说明»，在复习前教师一定要认真学习、研究和领会，在复习过程中也要手不离卷，随时或反复学习和深入领会它的内容和精神，做到心中有数、不离方向，并将其贯彻落实到复习过程中。对社会上的“高考趋势说”要正确对待，不要盲目相信。要想真正把握“高考趋势”，要多花精力研究“考试说明或考试大纲”这样才能确保备考的正确方向。‎ 高考对陈述性知识的要求由低到高分为了解（A）、理解（B）、掌握（C）、灵活和综合运用（D）四个层次，且高一级的层次要求包含低一级的层次要求。特别指出了解、理解、掌握是对知识的基本要求，并对所学的知识进行了具体的内容归类与划分；而对灵活和综合运用知识的较高要求，不对应具体的考试内容。在各部分知识层次要求中，又有“备注”对某知识进而具体要求或不作要求。为了正确地把握数学总复习的深度，作为高三数学教师对此应当成竹在胸、了如指掌：哪些知识点是了解（A层次）要求，哪些知识点是理解（B层次）要求，哪些知识点是掌握（C层次）要求。而对灵活和综合运用的（D）层次要求，通过对历届高考试题的仔细分析研究，不难发现，（D）层次要求的绝大多数是在（C）层次（少数在（B）与（C）层次）要求的知识点之间，而这些知识点又往往处于知识网络的交汇处。‎ 复习时，通过对知识的类比，归纳总结知识规律，串联知识线，编织知识网，特别是在知识网络的交汇处更要重点理解、重点复习，感受多种知识和方法是如何有机联系及综合运用的。要打破原章节的局限，统观全局按照系统建立良好的认知结构。只有使学生真正掌握知识的内在联系使之系统化，才能从感性认识上升到理性认识。‎ 2、 程序性知识的内容与要求 程序性知识是关于怎样进行认识活动的知识，主要表现为数学思想和数学方法，它是蕴含或渗透于陈述性知识的教学中，在知识的展开过程中潜移默化地获取。程序性知识是动态的，被激活后是信息的转移和迁移，其被激活的程度取决于对程序性知识掌握的熟练程度。‎ 数学思想和方法可分为三大类，它们是：‎ ‎（A）数学思想方法，主要有字母代数的思想，集合与映射的思想（包括函数的思想）、方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、转化的思想（包括参数思想、化归思想、换位思想）、极限的思想等。‎ ‎（B）数学思维方法，主要有观察与试验，类比与联想、分析与综合、归纳与演驿、一般与特殊等。‎ ‎（C）数学具体方法，主要有配方法、换元法、待定系数法、拆项法、割补法、构造法、解析法、参数法、数学归纳法等。‎ 陈述性知识与程序性知识在学习中是互相联系、互相依存、互相促进的。“没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包括数学思想方法的数学知识”。高考对数学思想和方法的考查必然要与数学知识相结合，以数学知识为素材，考查考生对数学思想的理解与掌握程度。因此，在复习中，教师既不能脱离数学思想方法而单纯地归纳总结数学知识，也不能脱离数学知识而抽象地论述数学思想方法。而是始终贯穿与渗透在每一节数学教学中，以数学思想为导向，数学方法为手段，在分析和解决问题的过程中，展现数学思想方法的作用和魅力。 ‎ ‎3、数学能力的内容和要求 ‎（A）逻辑思维能力：‎ 逻辑思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素质的主要标志。逻辑思维能力主要表现为：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，明确解决问题的目标与方向（直觉思维能力、发现属性能力、发现相似性能力、发现关系的能力、识别模式的能力、形成数学通则通法的概括能力及形成数学概念的概括能力等）；会用演绎、归纳和类比进行合乎逻辑地推理与演算（数学推理能力、数学转换能力、数学变式能力、迁移概括能力及运用思维块能力等）；能准确、清晰、有条理地进行表述，论证完整、层次清楚、简洁明了（如概念、术语、公式、定理、法则和字符的运用应当正确、恰当和规范等）。‎ ‎（B）运算能力：‎ 运算能力是数学的基本能力，它是思维能力和运算技能的结合。运算能力主要表现为：会根据算理（法则、公式、运算律）进行数与式的准确无误的熟练的运算、变形（组合或分解）和数据处理；能根据问题的条件通过推理判断，寻找设计合理、简捷的运算途径和方法，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力；能根据要求对数据进行合理的估计和近似计算。运算能力可以简括为“准确、熟练、快捷、合理”。‎ ‎（C）空间想象力：‎ 空间想象力是对二维（平面）空间、特别是对三维（立体）空间形式的观察、分析、抽象的能力。空间想象能力主要表现为：能根据条件画出正确的图形（函数的图象、方程的曲线和几何体的直观图），根据二维平面图形想象出直观形象（三维视觉化）；能正确地分析图形中的基本元素及其空间结构关系（位置关系和数量关系）；根据需要对图形进行平移、对折、展开、分解、组合与变形（等积变形）；能够“就数论形”和“以形释数”；能够将形象思维与抽象思维紧密地结合起来。‎ ‎(D)实践能力：‎ 实践能力是人们认识和改造世界的能力，是考生个性品质和素质的集中体现。在高中数学中主要表现为：能阅读、理解对问题进行陈述的材料，有效地收集和整理信息；在理解数学概念、定义、定理、公式、法则，掌握数学思想方法的前提下，能够运用这些知识与方法去分析和解决数学学科以及包括相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言（如数学术语、符号、图表、图形）正确的加以表述，具有应用数学的意识和将现实问题转化为数学问题的数学化能力，进而形成科学的世界观和方法论，具备优良的个性品质和个人素养。‎ ‎（E）创新意识：‎ 能从数学的角度发现问题、提出问题、能够应用所学的数学知识和方法进行独立思考、探索、研究、解决问题。‎ 总体上，高考注意对考生能力和素质的考查，命题范围遵循中学教学大纲，但不拘泥于教学大纲。对数学基础知识和基本方法的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科体系的重点知识，构成数学试题的主体。例如：代数部分着重考查函数、数列、不等式，三角函数；立体几何着重考查线线、线面、面面之间的位置关系[如平行、相交（垂直）]及其量化的距离、夹角及二面角的计算；解析几何着重考查直线与圆锥曲线；新增内容有向量、概率、统计、导数等内容。而且命题以知识立意转变为以能力立意，转变传统的封闭的学科观念，在考查能力的同时，注意考查跨学科的综合能力。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，融知识、方法、思想、能力于一体，并且注意试题布局的科学性及合理性，如思维方法不同的试题及难度系数不同的试题的协调与匹配，达到全面考查考生的数学素养的必要深度。‎ 整体试卷中容易题、中等题、难题的分值比例约为3：5：2；‎ 整体试卷难度系数一般是0.55—0.6。以期充分发挥数学高考试题的区分选拔功能和对中学数学教学的积极导向作用。‎ 三、如何搞好高三数学总复习 ‎ 高三数学总复习不同于单元、阶段或期末复习，它的特点是时间长、方法多样、师生重视、讲求实效。‎ 1 复习的指导思想明确 无论是教师还是学生都应该端正数学总复习的指导思想，明确数学总复习目的。数学总复习的着眼点是数学知识的系统整理及运用上，而不是为了高考去猜题押宝。要使学生通过系统复习，将过去学过的零散孤立的知识点，用理性认识串联起来，能够高度概括、提纲挈领，形成纵横联系的系统的知识网络，使学生清晰、准确、深入地理解各个知识点的内涵、应起的作用及它们之间的逻辑关系，真正掌握基础知识、基本技能、基本思想和方法，进而培养学生应具备的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力和综合运用知识分析解决问题的能力，使他们具有良好的个性品质及较好的数学素养，以适应当代社会的需求或者为进入高等院校继续深造奠定扎实的数学基础。‎ 2 复习时间的合理安排 复习时间要安排合理。不能前松后紧，前面容量少，后面时间不够用，只好浓缩草草结束；也不能前紧后松，前面赶进度造成“夹生饭”，后面没的讲翻来复去总是“练”‎ ‎。一定要针对学生掌握知识的实际情况，根据各分支（代数、三角、立几、解几）所占学科比例，各知识点所处的地位，合理安排复习的课时。有远期目标、有近期目标，有重有轻、有详有略地做好宏观与微观的复习计划，并在实施过程中，能够针对学生学习的实际情况灵活调整和有效落实。‎ 1 正确处理课本与复习资料的关系 数学复习一定要抓纲（数学教学大纲及高考大纲或说明）务本（课本），不能脱离教科书另搞一套。因为教科书是数学基础知识的载体，《考试大纲或说明》明确着总复习的方向。对于高三学生，无论是知识还是思维方面都有了较大的发展，重读课本认真反思，对所学的概念再认识再理解，对定理的证明再探索再总结，这对于理解、巩固和深化概念，对于挖掘、归纳和整理数学思想方法，对于培养数学理性思维的科学性、严谨性、深刻性和灵活性是行之有效的。况且高考的许多题目都能在课本中找到“原型”，不过是对课本原题的变型、改造或综合。抛开课本，滥读各种复习资料是舍本求末、得不偿失的。当前，各种复习资料让人眼花瞭乱，对于复习资料不是多多益善，也不能盲从而迷信。因为有些名牌学校或地区编写的复习资料是针对自己的学生情况编写的，可能有一定的难度，那么对于基础较差的学生就很不实用；还有些复习资料是针对本省（市）、本地区的高考要求及学生情况编写的，对于其他省（市）也未必完全合拍；更有甚者，有些复习资料完全是粗制滥造：归纳总结的知识点有错误，解答过程有错误，练习答案有错误，读这样的复习资料不仅无益而且是误人的。选用复习资料要有任课教师负责任地进行指导（当然不是推销），一、两本足矣。或者根据学生的实际水平，完全由任课老师自己编写本学科的复习资料（特别是筛选适合学生又具有典型性的习题）。这样做，针对性强、实用性强，既能减轻学生课业（包括经济）负担，又能增强复习效果。‎ 例如，各省（市）、地区的高考模拟试题汇编（一般每年都有30多套）有一定的参考价值。因为这些模拟试题，大多是各省（市）、地区的教研员经过反复讨论、研究、领会«教学大纲»及«高考说明»的精神而编拟的。但是最好也不要照搬照抄复制而用，对于那些超纲的、非通性通法的、甚至脱离学生实际思维水平的试题要大胆砍去，通过筛选重组，成为适合自己学生水平的四、五套试题供同学们练习。‎ 又如，近五年的高考试题，也是很有参考价值的。教师通过对全国或各省（市）的高考试题的筛选及分类编组，做为复习课上的典型例题，进行知识、思想方法及能力考查的剖析，有利于帮助学生梳理知识点，正本清源，构建清晰准确的知识体系。特别是让学生自己触模高考试题的“样品”，感悟高考对知识、思想方法及能力的层级要求，从而消除对高考试题的恐惧感、神秘感及高玄感，树立自信心：只要对所学得知识真正做到感知、理解、识记和运用，那么在新的高考中定能取得佳绩。‎ 2 复习过程要充分发挥学生的主体作用 数学总复习过程中，学生积极参与的程度决定着复习的效果。没有学生的主动参与，仅是被动地听老师讲授，全盘接受老师归纳总结的知识规律或解题方法，不能说没有效果，但这是低效率的。要把给学生问题、给学生思路、给学生方法、给学生结论的方式转变为学生自己[或与学生共同]发现问题、探究思路、总结方法、得出结论。因为学习是主动建构过程，学生是学习的主体，不是学生经过自己的思考或实践得来的东西，往往是表象的、肤浅的、不牢固的，特别是没有理解仅是机械模仿，就更成问题了。要给学生留出时间实事求是地分析自己的学习情况，如果有知识债（不论是初中的还是高中的），一定要主动地及时地还清；要认真总结、归纳、整理知识和思想方法，经过自己的思索、探究，得到理解、消化和巩固。正如法国数学家托姆的数学教育思想：重基础、重思想、重理解、重启发。他主张“为了培养学生的才能，有必要把他们放在一个不是灌输式而是启发式的环境中；有必要唤起他们的自发性和个人进取心。”‎ 只有学生通过自己的数学实践（不排除教师的引导与协助）：对概念的准确剖析，对知识的过程分析，对知识间的内在联系，对运算途径与证明方法的推敲及选择，对数学思想方法的提炼、概括与总结，才能真正体会出：概念是数学的细胞；运算是数学的生命；问题是数学的心脏；质疑是数学的深入；深思是数学的灵魂。‎ 1 ‎ 如何备考 ‎5.1把握好传统内容及新增内容复习的分寸 要认真学习、仔细研究《数学高考考试说明》，对于传统内容，哪是删去的，哪是降低要求的要心中有数。删去的不要再讲，尤其是降低要求的也不要占用大量时间去引伸、拓展、求难。比如复数内容已经降低了要求，所以复数部分不会出难题。对于新增内容如：导数、概率、统计、向量等一定要重视，因为这些内容都是现代数学重要的基础知识，蕴含着丰富的数学思想方法，提供了应用广泛的有效的数学工具。‎ 导数：是分析和解决函数问题的必不可少的工具，利用导数使我们对函数性质的认识、理解和研究更加深入和全面。‎ 概率：是从数量上反映一个事件发生的可能性的大小。要分清等可能事件、互斥事件（包括对立事件），相互独立事件的概率及其求法，特别是排列、组合知识和方法在其中发挥的重要作用。‎ 统计：统计的基本思想方法是用样本估计总体，即通过从总体中抽取一个样本，根据样本情况去估计总体情况。抽样讲的是如何搜集数据。我们希望得到的数据能客观地反映实际情况，随机性是十分重要的，如果缺乏随机性所提供的数据及由此产生的结论会不客观而产生误导，这是不可忽视的。为了减少错误，可适当增加样本容量，並力求使抽样方法更加合理以提高样本的代表性。教材介绍了简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种常用的抽样方法，对它应当理解及会用。‎ 概率分布描述了随机现象的规律；期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量集中和离散的程度。它们具有非常重要的实际意义：了解风险，判断优劣，做出决策。‎ 向量：向量的坐标表示使向量运算代数化。数形结合使向量成为解决几何问题的有效工具，如在二维面空间及三维体空间中求线段长度、二直线的夹角（特别判断直线的共线、平行或垂直）、二面角等等。‎ ‎5.2重视基础知识复习,建立良好的认知结构 重视基础知识复习，帮助学生建立良好的认知结构,它包括清晰的知识层次，明确基本价值的知识点及其逻辑关系，正确的思想方法及应该注意的事项等，要在“准确、系统、灵活”上下功夫，使认知结构形成一个条理化、网络化、熟练化的有机体系。理解和熟悉知识间的相互关系及内在联系，深刻领会数学思想和方法，以便分析、综合、联想、类比，通过转化的方法，逐步将“未知”化归为“已知”，达到解决问题的目的。‎ 在加强基础知识复习时，还要注意对数学基本认识的总结和提炼，因为基本认识言简意赅，可以帮助学生记忆和理解知识，也可以帮助学生迅速抓住事物的本质，找到解决问题的关键。‎ 比如，① f（x）是偶函数，则f（-x）=f（x）=，f（x）的图象关于y轴对称；‎ ‎ ②f（x+a）是偶函数，则f（a-x）=f（a+x）即f（x）=f（2a-x），‎ f（x）的图像关于直线x=a对称。‎ ‎③f（x）是奇函数，则f（-x）= -f（x）即f（x）= -f（-x），f（x）的图象关于原点（0，0）对称。‎ ① f（x+a）是奇函数，则f（a-x）= -f（a+x）既f（x）= -f（2a-x）， ‎ f（x）的图象关于点（a，0）对称。‎ 以上基本认识对于研究和解决某些函数问题颇为有用。‎ 又如，“一正二定三相等”的基本认识给我们利用基本不等式求最值时敲响警钟。‎ 再如 Sinα+ Cosα，SinαCosα，1+ Sin2α，Cos2α，Sin(π/4 +α)，‎ ‎ Cos(π/4 +α)， tan(π/4 +α)，之间的转换关系，很容易帮助我们找到某些三角问题的“突破口” 等等，等等。‎ 总之，数学基本认识可以把知识，思想方法或技能变成深刻而牢固的理念，成为解决数学问题的“指向标”。要想得到正确的基本认识，需要引导学生多观察、多思考、多分析、多比较，不断总结和提炼形成理性认识，这也是学习深化的过程。‎ ‎5.3注意综合能力的培养,提高学生数学思维能力 高考命题再三强调要把以知识立意转变为以能力立意，在考查能力的同时，注意考查跨学科的综合能力。而且高考对学生所应具备的数学几大能力的考查，完全渗透或溶融于中学数学的各个分支，无论是代数、三角、还是平几、立几、解几的内容，均可作为各种能力的载体，展现对各种能力的考查。事实上，完成任何一次较为复杂的数学活动，所需要的不是单独一种数学能力，而是一系列能力独特组合，解决问题的过程往往是综合运用各种能力的过程。因此，从数学总复习第一轮开始，所举例题或练习题都要带有一定的综合性，要打破原有知识的单元界限，能够纵横联系，多元联系，要以“学科内综合为主，跨学科综合为辅”。在不同内容的各个单元知识的复习过程中要由浅入深、循序渐进，从不同角度、采取不同方式，充分揭示各种知识的渗透、各种能力的结合的综合运用。使学生及早明白数学知识、数学思想方法都不是孤立的，而是紧密相联、相互渗透的；分析和解决问题的各种数学能力也不是孤立的，而是彼此支持相辅相成的。‎ 所谓综合题，就是在解题过程中需要建立较多的数学概念、数学思想方法之间的联系，或者需要较多的数学手段和数学能力去处理的数学问题。综合题浩瀚庞杂，一般可以分成两大类：一类是堆砌型的，它的特征是把多个知识点堆砌在一起，知识点明显且覆盖较广。‎ 例1．已知（xCosα+1）5的展开式中x2的系数与（x+5/4）4展开式中x3的系数相等，则Cosα= .[05年广东试题]‎ 例2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.‎ ⅰ)求棱B1C1与对角线BD1所成的角及它们之间的距离；‎ ⅱ)求证：①AC1⊥B1D1 ②AC1⊥平面A1BD ‎ ‎③平面A1BD//平面CB1D1 ‎ ‎④AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分 ‎⑤求A1D和BD1间的距离；‎ ⅲ)求二面角A1-BD-C1的度数；‎ ⅳ)若E、F、G分别为棱AA1，AB，B1C1的中点，求作过点E、F、G的正方体AC1的截面。‎ 另一类是熔融型的，它的特征是将代数、三角、几何等知识有机地熔融为一体，知识点隐蔽，所用的知识、方法，所体现的能力是多层次且综合的。‎ 例1，设点P是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若ΔF1PF2的面积为S，∠F1PF2= α ‎①求S=f(α)的解析表达式；‎ ‎②求函数S=f(α)的定义域及其最大值。‎ 此题综合考察了三角形面积公式、余弦定理、椭圆的几何性质(椭圆定义)、半角公式(或二倍角公式)、基本不等式、余弦函数正切函数的单调性、以及代数式三角式恒等变形的能力等多个知识点，其中椭圆的几何性质：|PF1|+|PF2|=2a是隐蔽的，也是解决此题的关键。‎ 例2，已知直线ax+by-1=0(a,b不全为0)与圆有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）条。‎ A）66 B）72 C）74 D）78‎ 按照题中第一句话，容易联立方程并解之，求出交点坐标再依第二句话对其进行探究，这样做进入了误区：因为直线方程是未知的，圆的方程是已知的，联立后得到的方程成了未知方程，这是很难做出判断的。实际上，交点落在已知圆上，它的坐标必然满足方程，不难发现坐标为整数的点是：‎ A1（1，7），A2（1，-7），A3（-1，7），A4（-1，-7）；‎ B1（7，1），B2（7，-1），B3（-7，1），B4（-7，-1）；‎ C1（5，5），C2（5，-5），C3（-5，5），C4（-5，-5）.‎ 到此，解题有了根本性的突破。显然满足要求的直线有两类，一类是切线有条；另一类是割线有条.那么结论是D吗？答案是否定的.仔细分析12个交点：A1 与A4 ，A2 与A3 ，B1 与B4 ，B2 与B3 ，C1 与C4 ，C2 与C3分别关于原点对称，而关于原点对称的两点连线必过原点，这与题目要求的直线ax+by－1=0不相符，故选B.‎ ‎ 这种以直线和圆为载体、实则排列组合问题，这也是熔融型综合题具有的特征。同学需要有较好的分析和判断能力，才能剥开表象发现实质.‎ 熔融型综合题有利于训练学生的多种思维能力，如观察比较、联想类比、分析综合、判断推理、抽象概括等能力，它偏重于培养学生深刻理解概念、综合并灵活运用知识分析和解决问题的数学能力。这种题目涉及的知识面广，若干个知识点交汇于一处，综合程度高，而且有些知识点比较隐蔽，解起来有较大难度，教师需要由简到繁、由浅入深、逐步递进地训练学生。为求实效可以先从层次较少的小型综合题练起，比如涉及两、三个或三、四个知识点的选择题、填空题，力求“快、准、对”。小型综合题练得多了，眼界宽了，思维灵活了，使得学生的解题起点高了，破题的能力和速度也会逐渐提高。但是老师要心中有数、善于控制综合题的难度，不可任意拔高追求技巧非凡、思维独特的难题、偏题和怪题。简言之，不能以牺牲基础知识、基本技能、基本思想方法的巩固为代价。‎ 四、应该注意的事项 ‎ ㈠集合和简易逻辑 ‎ ⑴集合 ‎ 1认识集合中的元素是什麽,理解元素的三性.‎ ‎ 2不可忽视空集、补集的意义.‎ ‎ 3理解集合语言的确切涵义,会画文氏图.‎ ‎ 4注意用摩根律思考问题 ‎ 5注意检验 ‎ ⑵绝对值不等式 ‎ 1理解绝对值定义及其几何意义,关注逆向思维。‎ ‎ 2抓零点、划区间、分段讨论。‎ ‎ ⑶一元二次不等式 ‎ 1 熟悉二次函数、二次方程、二次不等式间的关系.‎ ‎ 2数形结合解不等式 ‎ ⑷简易逻辑 ‎ 1会用真值表判断复合命题的真假.‎ ‎ 2分清四种命题的关系，特别是等价命题。‎ ‎ 3理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,注意同义语如“当且仅当”、“须且只须”、“有且仅有”、“确定”等等。‎ ‎　㈡函数 ‎ 1正确理解映射的概念.‎ ‎ 2正确理解函数的概念与符号.‎ ‎ 3正确理解函数的性质:定义域、对应法则、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性、渐近性、连续性。‎ ‎ 4正确理解反函数的概念与性质。‎ ‎ 5正确画出函数图象,熟悉并掌握图象的平移变换、对称变换及伸缩变换。‎ ‎ 6熟悉并掌握基本初等函数的性质及 应用,如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数。‎ ‎ 7理解题意、正确建模、解决实际问题。‎ ‎　㈢数列 ‎ ‎ ⑴数列的概念 ‎ 1分清项与项数、首项与末项、第n项与前n项之间的区别,熟记与之间的等量关系。‎ ‎ 2通项表示第n项与项数n的函数关系,不是所有数列都有通项,而且数列的通项也不是唯一的.在数列中含有n的项未必是通项。‎ ‎ 3数列的递推公式不是数列的通项公式,但依递推公式及初始项可以写出它的通项公式[经常用构造法]。‎ ‎⑵等差数列 ‎1会数项数 ‎2五个量、d 、n、、可以“知三求二”,其关键量是首项和公差。‎ ‎3三个数成等差数列，通常设为x，x+d，x+2d；或x-d，x，x+d。‎ ‎4数列为等差数列的充要条件分别是:‎ ‎ ① ② ③ =An+B ④ 其中A,B为常数 ‎5理解和掌握“倒序相加法”求和.‎ ‎6注意等差数列中蕴含的重要的数学思想方法及应用:方程的思想,分类的思想, 集合的思想,函数的思想,数形结合的思想,化归的思想。‎ ‎7公式的推广与变式:‎ ‎ ①, . ‎ ‎ ② .‎ ‎8派生性质:‎ ① 若m+n=p+q 则 .‎ ② ‎……，也成等差数列，其公差为kd。‎ ③ ‎……也成等差数列，其公差为。‎ ④ ‎……也成等差数列，其公差为。‎ ⑤ ‎。‎ ⑥ 等差数列与的公差分别是 则 ； ‎ ‎⑶等比数列 ‎ 1会数项数 ‎ 2五个量、q 、n、、可以“知三求二”,其关键量是首项和公比。‎ ‎ 3三个数成等比数列，通常设为x，xq，；或，x，xq.‎ ‎ 4数列为等比数列的充要条件分别是：‎ ‎ 或者 .‎ ‎ 5通项，推广 ‎ 6两个正数a，b的等比中项为，几何平均数.‎ ‎ 7前n项的和 ， 对于一定要区分q=1及q两种不同情况；理解和会用“错位相减法”求数列的和.‎ ‎ 8派生性质:‎ ① m+n=p+q 则..‎ ‎②……，也成等比数列，其公比为。‎ ‎③……也成等比数列，其公比为 ‎④当q=1时，；当q时，=[与首项无关].‎ ‎ ㈣　三角函数 ‎ ⑴ 三角函数 1 会用等分象限法判断所在象限。‎ ‎2 用“才”字法记忆三角函数符号。‎ ‎3 深刻理解三角函数定义，同角三角函数关系。‎ 4 认识单位圆，利用三角函数线解三角不等式，利用单位圆证明诱导公式。‎ 5 注意sin+cos的取值范围，sincos，sincos，1，‎ 之间的等量转化。‎ ‎ 6 已知，则二式平方和可求的三角函数 值；二式作商可求的三角函数值。‎ ‎7 注意角的相对性，单角可以看作和、差、倍、半角。对于三角函数式的求值、化简与证明，角的灵活变形可以找到解题捷径。‎ 8 熟记公式，掌握公式变式的演变过程。‎ ‎⑵ 三角函数图象 ‎ 1 注意数形结合，能够依三角函数解析式研究它的有关性质，特别是它的特有属性：周期性及对称性；也能依三角函数图象的位置，求出它的一个解析式。‎ ‎ 2掌握“五点法”画图. 对于三角函数 ① 振幅变换[纵向伸缩变换]：A>1伸长，01缩短，0<ω<1伸长。‎ ③ 相位变换[横向平移变换]：φ>0左移， φ<0 右移。‎ ④ 上下平移[纵向平移变换]：B>0 上移， B<0 下移 ⑶ 解三角形 1 直角三角形 ‎ ①C=，A+B=.‎ ‎②， ab=ch， ，，，‎ ‎2R=c，2r+c=a+b.‎ ‎③ΔBDC∽ΔCDA∽ΔBCA 2 任意ΔABC ① A+B+C=π , ‎ ② a+b>c, a+c>b, b+c>a.‎ ③ 若A为最小角,则0b,c>0则ac>bc； a>b,c<0则acb,c=0则ac=bc.‎ ② 则或.‎ ‎2若则.‎ ‎ 若，则；‎ ‎ .‎ 若ab>0 则 ；若ab<0 则.‎ 若00(m<0)时，与同解；‎ ③ 同解；‎ ④ 与同解；‎ ‎⑤与或同解；‎ 与同解；‎ ‎⑥当；‎ ‎ 当时，同解；‎ ① 当与同解；‎ ② 当，与同解；‎ ‎⑨同解；‎ ‎ 同解。‎ ㈦直线和圆的方程 ‎⑴直线 ‎1理解直线倾角、斜率的概念。‎ ‎ 斜率是倾角的函数： 其中 .‎ ‎ 倾角是斜率的函数：；它们互为反函数。‎ ‎ 直线有倾角、未必有斜率。‎ ‎2熟悉和理解各种形式的直线方程及其局限性，比如点斜式、斜截式、截距式都不能表示垂直x轴的直线；截距相等的直线方程为x+y=a或y=kx. 垂直x轴的直线方程为x=a；过关于原点对称的两点的直线必过原点，其方程是y=kx.等等。‎ ‎3熟悉和理解方程中特征量的几何意义。‎ ‎4点、线间的位置关系 ① 点在直线上点的坐标满足直线方程[点到直线的距离为零]；‎ 点不在直线上点的坐标不满足直线方程[点到直线的距离不为零]。‎ ② 研究两条直线的位置关系时，既要考虑斜率存在的直线，又要考虑斜率不存在的直线。比如两条直线垂直或者中一个为零，一个不存在。‎ ③ 两条直线相交，注意“夹角”与“所到角”概念及计算公式的区别。‎ ④ 注意具有某种几何特征的直线系的应用。‎ ⑤ 了解和掌握点关于点、点关于直线、直线关于直线的对称问题。‎ ‎ 5理解和掌握可行解、可行域、线性目标函数的概念，解决简单线性规划问题。‎ ‎⑵圆 ‎ 1确定圆的方程需要三个独立条件。已知圆上任意三点，常用圆的一般式方程；已知圆心和半径，常用圆的标准式方程；已知圆关于点或直线对称的圆的方程，可找圆心的对称点，利用圆的标准式方程；已知圆的直径端点，可利用直径所对圆周角是直角的几何条件直接求得=0.‎ ‎ 2理解圆的第二定义：平面上到两定点距离之比为常数[常数大于0且不等于1]的点的轨迹。‎ ‎ 3能够正确判断点、直线、圆与圆之间的位置关系，特别是数形结合，利用圆的有关性质，迅速找到解题突破口。‎ ㈧椭圆、双曲线和抛物线 ‎⑴椭圆 ‎1焦点定义中：当时，为椭圆；当时，为线段；‎ 当时，无轨迹。‎ ‎2焦准定义是指到某焦点与其相应准线距离之比。‎ ‎3椭圆是关于长轴、短轴和中心均对称的圆锥曲线，建立它的方程要分清焦点在x轴[或平行于x轴的直线]上，还是在y轴[或平行于y轴的直线]上，或者二者均有可能。‎ ‎4点P在椭圆上，则点P的坐标满足椭圆的方程。而且：‎ ‎① ②e ③.‎ ‎5几何量长轴、短轴、焦距、离心率、焦准距、通径[正焦弦]是曲线固有的，它们与坐标系的选择无关；而焦点、顶点、中心的坐标以及椭圆、对称轴、准线的方程却随着坐标系的不同而有所改变。‎ ‎ ①用a，b，c表示e，p：[其中]‎ ‎②用e，p表示a，b，c：‎ ‎6从椭圆上的点作切线，其切线方程为；‎ 从椭圆外一点作其切线有两条，若用“点斜式”、“斜截式”求解，注意丢解的情况。‎ ‎7直线ax+by+c=0与椭圆的位置关系有相交、相切、相离三种可能，可联立方程消元得x[或y]的一元二次方程，由其判别式的符号进行判断。‎ ‎⑵双曲线 ‎1焦点定义中：当时，为双曲线；当时，为直线去掉线段的部分；当‎2a=0时，为线段的中垂线；当时，轨迹不存在。‎ ‎ 如果或时，为双曲线的一支。‎ ‎2焦准定义是指到某焦点与其相应准线距离之比。‎ ‎3双曲线是中心对称及轴对称图形。建立它的方程要注意焦点的位置。‎ ‎4设分别是左，右焦点.当点P在双曲线的右支上：‎ ‎① ② ③‎ 当点P在双曲线的左支上：① ②‎ ‎ ③，.‎ ‎5几何量实轴、虚轴、焦距、离心率、焦准距、通径[正焦弦]是曲线固有的，它们与坐标系的选择无关；而焦点、顶点、中心坐标以及双曲线、对称轴、准线、渐近线的方程却随着坐标系的不同而有所改变。‎ ‎ 用a，b，c表示e，p：[其中]‎ ‎ 用e，p表示a，b，c：‎ ‎6已知双曲线，则其渐近线方程为；反之，已知渐近线，其双曲线不能确定，只能写出共渐近线的双曲线方程，再有一个独立条件才能确定之。‎ ‎7在双曲线上的点处作切线，其切线方程为；从双曲线外部[不含焦点的区域]一点作其切线，要注意：‎ ① 所求切线是否是渐近线？如果是渐近线须将其舍去，说明已知点在渐近线上；‎ ② 若用“点斜式”、“斜截式”求切线，注意丢解的情况。‎ ‎8双曲线与是一对共轭双曲线，它们有共同的渐近线 ‎，其实、虚轴互换，离心率满足.‎ ‎9直线与双曲线的位置关系 联立方程消元，如果是x的二次方程，可用判别式判断；如果是x的一次方程，该直线与双曲线仅有一个交点，该直线与一条渐近线是平行的。由此，直线与双曲线仅有一个交点时，有两种情况：‎ ‎ ①直线与双曲线相切；②直线与渐近线之一平行。‎ ‎ 双曲线的切线倾角的范围：‎ ‎10直线与双曲线相交于两点时，方程的二不等实根异号，直线交双曲线每一支于一点；二不等实根同号，直线交双曲线一支于两点。‎ ‎⑶抛物线 ‎1抛物线的定义中，要强调定点不在定直线上，否则不是抛物线。‎ ‎2抛物线是轴对称图形，坐标系的不同其方程有四种不同形式： ‎ ‎ 注意的区别。前者P为焦参数，它表示焦点到准线的距离。‎ ‎3抛物线上的点到焦点 距离等于它到准线距离。‎ ‎4如果直线与抛物线仅有一个交点，那么该直线或与抛物线相切、或与对称轴平行。‎ ㈨直线、平面、简单几何体 ‎1正确理解文字语言、符号语言、图形语言所表示的几何意义，学会识图、作图、理解图、应用图，通过对平面直观图的观察、想象及依理判断点、线、面、体各个几何元素在空间中的位置关系，培养直觉能力、空间想象能力及逻辑推理能力。‎ ‎2解决立几问题要通过平移、展开、投影、割补、等积变换等手段，将空间图形问题转化为平面图形问题或熟知的几何体给予解决。平面图形如直角三角形、等腰三角形、正三角形、梯形、等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆的几何性质[特别是中位线，等腰三角形的高、中线、顶角平分线合一] 要非常熟悉。对于棱柱、棱锥、球的几何性质也要非常熟悉。‎ ‎3角和距离的计算是线面位置关系的量化，解决这类问题要“一作、二证、三计算”。‎ ① 异面直线所成角：平移异面直线或补形后再平移异面直线，将它们归到一个可解的三角形中，其中定点位置的选取很重要。‎ ② 线面角：关键是寻找垂线，有了垂足和斜足，便找到射影得到所求角及所在的直角三角形。‎ ③ 二面角：Ⅰ.依定义作出二面角的平面角；‎ ‎ Ⅱ.利用三垂线定理作出二面角的平面角；‎ ‎ Ⅲ作二面角棱的垂面得二面角的平面角；‎ ‎ Ⅳ.过二面角内的一点分别向二面角的两个面作垂线，其夹角的补角为二面角的平面角；‎ ‎ Ⅴ.利用公式，求二面角的平面角. ‎ ‎4 点、线、面之间的距离有七种情况：①两点间的距离，②点到直线的距离，③平行线间的距离，④异面直线间的距离，⑤点到平面的距离，⑥直线与平面的距离，⑦平行平面间的距离。通常依等积变换或平移变换化归为求两点间的距离。‎ ‎5 对于立几证明题，通常多采用综合与分析的方法，即由已知条件想到性质定理逐步向求证结论转化；另一方面由求证结论想到判定定理，逐步向已知条件靠拢；有时也可以同时从条件及结论两边推理，到中间会合而“缩短”解题进程。‎ 4 三垂线定理及其逆定理主要描述了平面的斜线及其在该平面上的射影、平面内的直线间的位置关系，它们与平面的位置无关。要善于分析、发现和应用不同位置平面上的“三垂线”，其关键是寻找该平面的垂线，因为它是寻找斜线及射影的媒介。‎ 5 正确理解、掌握和应用空间向量有关的定义、定理及公式，通过向量的坐标表示，运用计算的方法研究图形的性质或位置关系。‎ ㈩排列、组合、二项式定理和概率 ‎⑴排列与组合 ‎1理解和掌握分类计数原理及分步计数原理。分类时要避免“重复”和“遗漏”，因此①完成这件事的任何一种方法必属于某一类，②分别属于不同类 的两种方法是不同的；分步时要注意各个步骤的连续性。‎ ‎2注意排列、组合间的区别与联系。‎ ‎3分析解决排列组合问题的思路通常是：①先组合、再排列； ②先分类、再分步；③先特殊[特殊元素、特殊位置]、再一般；④先顺向、再逆向，以简捷为原则。‎ ‎ 方法常有：直接法、间接法；捆绑法、插空法和插板法等。‎ ‎4熟悉排列组合计算公式，并能迅速准确计算。‎ ‎⑵二项式定理 ‎1二项式定理：‎ ‎ ……+.通项.‎ ‎ ……+.通项.‎ ‎2重要性质：‎ ① 展开共有n+1项，每项次数为n，其中a的指数由n→0,b的指数由0→n.‎ ② 与首末两端“等距离”的项的二项系数相等，即，，……，.‎ ③ 当n为偶数时，中间项的二项系数最大，为；‎ ‎ 当n为奇数时，中间两项的二项系数最大，为.‎ ‎④ ……+； ……=+…….‎ ‎⑤注意二项系数与项的系数的区别和联系。‎ ‎3二项式定理的应用 ① 求二项展开式中的任何一项，特别是常数项、系数最大[小]项、有理项；‎ ② 证明整除或求余数；‎ ③ 利用赋值法证明某些组合恒等式；‎ ④ 近似计算。‎ ‎⑶　概率 ‎ 概率是从数量上反映一个事件发生的可能性的大小。‎ ‎1 正确理解必然事件、不可能事件、随机事件、基本事件、等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件等概念，其中互斥事件是指两个事件不可能同时发生；相互独立事件是指一个事件的发生对另一个事件发生的概率无影响。‎ ‎2 正确计算各种事件的概率 ‎ 必然事件： 不可能事件： 随机事件： ‎ ‎ 等可能事件： 互斥事件：.‎ 相互独立事件：‎ n次独立重复试验发生k次事件：‎ ‎3 正确判断发生的事件是哪种形式，以便选择相应计算公式。‎ ‎4正确理解“全是，不全是，全不是，至少，最多”的涵义。‎ ‎[十一]概率和统计 ‎1 理解离散型随机变量的意义，会求某些简单离散型随机变量的概率分布[分布列]，它给出了随机变量所有可能取值的概率，它们具有下列性质：‎ ‎ ① ②‎ ‎2 n次独立重复试验发生k次事件的概率分布为二项分布 ‎ ‎ ‎3了解离散型随机变量的期望、方差的意义，期望反映了随机变量取值的平均水平，；方差反映了随机变量取值的集中与分散状况，即反映了取值的稳定性，；期望与方差间的关系满足 ‎4理解简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的定义，会用这三种抽样方法从总体中抽取样本。‎ ‎[十二]极限 ‎⑴数学归纳法 ‎1 正确理解数学归纳法原理中两个步骤的作用，其第二步是论证的关键，要论证有据。‎ ‎2 数学归纳法主要用于证明与自然数有关的数学命题，比如①‎ 代数恒等式，经常用拆项、凑项、补项，解方程等方法；②三角恒等式，经常用和差倍半公式，特别是和差与积的互化；③不等式，经常用基本不等式、比较法及放缩法；④数[式]的整除，经常用“提因数[式]凑假设，析余项出除数[式]”；⑤几何图形，常用分析法等 ‎3对于与自然数有关的数学命题，要会观察、探索、归纳、猜想及证明。‎ ‎⑵极限 ‎1数列[函数]极限运算法则是对有限个数列[函数]的和、差、积、商求极限，对无限多个数列[函数]的和、差、积、商求极限不能用此性质，但是可以先将n个数列和差积商求出之后，再求时的极限值。‎ ‎2极限运算法则的前提是已知数列[函数]的极限存在。‎ ‎3会求“”型的极限。‎ ‎4无穷等比数列中公比，则.‎ ‎5了解函数连续的意义及性质 ① 闭区间上的连续函数存在最值；‎ ② 若，则有使得[根的存在定理]。‎ ‎[十三]导数 ‎1理解导数的几何意义，它是相应点处函数图象切线的斜率。要注意“在”和“过”曲线上已知点的切线的区别：前者已知点是切点，后者可能是切点，也可能过此点而切于曲线的另一点。‎ ‎2 是函数为增[减]函数的充分条件，而不是充要条件。在讨论连续函数单调性时，为了避免疏漏，要注意找出导数为零或不存在的点，并将这些点自小到大依次插入定义域中分成若干子区间，根据的符号确定各子区间的单调性，并考虑以上各点左右相邻子区间的符号：若符号不同单调性不一样，若符号相同，则二相邻子区间单调性一致须将它们合并为一个单调区间。‎ ‎3注意函数图象与导函数图象的区别与联系，会用导数工具研究函数的性质。‎ ‎[十四]复数 ‎1复数的本质是二元数，复数a+bi，点，向量之间建立一一对应的关系。‎ ‎2复数只有等与不等的区别，无大小之分。‎ ‎3熟悉复数代数形式的四则运算法则，熟知虚数单位i及1的立方虚根的有关性质。‎ ‎4 ①； ②‎ ‎③若.‎ ‎5理解距离公式及复数方程：‎ ‎ 圆：； .‎ ‎ 椭圆：.‎ ‎ 双曲线：.‎ 五、结束语；‎ 综上所述，高考数学复习是对中学数学知识和思想方法的梳理、拓展及深化过程。‎ ‎ 要切实提高高三数学总复习的质量，教师首先要端正自己的复习指导思想，认真学习教学大纲和高考说明，反复钻研教材，全面了解学生。猜题押宝要不得，因为科学是老老实实的学问，来不得半点虚假和侥幸；低水平派查式的高强度训练要不得，因为“熟”未必能生“巧”，高考更注意考查概念的内涵和学科的本质，它需要的是理解、迁移和创新；借鉴他人的经验也不能生搬硬套，而是要根据实际情况，拟定切实可行的复习计划，脚踏实地地付诸实施，必能收到较好的效果。‎ 参考资料：‎ ‎1.教育部考试中心：《高考数学测量理论与实践》.‎ ‎2.北京教育考试院：《普通高校招生全国统一考试北京卷考试说明》.‎