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- 2021-05-13 发布
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选修 第1章 第2节 知能训练·提升
考点一:求离散型随机变量的期望
1.如图,A、B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2、3、4、3、2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过最大信息总量为ξ.
(1)写出最大信息总量ξ的分布列;
(2)求最大信息总量ξ的数学期望.
解:(1)由已知ξ的取值为7、8、9、10.
∵P(ξ=7)==,
P(ξ=8)==,
P(ξ=9)==,P(ξ=10)==.
∴ξ的分布列为
ξ
7
8
9
10
P
(2)E(ξ)=×7+×8+×9+×10==8.4.
2.甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是,,.
(1)求3人都没有投进的概率;
(2)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ.
解:(1)记“甲投篮1次投进”为事件A1,“乙投篮1次投进”为事件A2,“丙投篮1次投进”为事件A3,“3人都没有投进”为事件A,
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
∴P(A)=P(··)=P()·P()·P()
=[1-P(A1)]·[1-P(A2)]·[1-P(A3)]
=(1-)(1-)(1-)=,
∴3人都没有投进的概率为.
(2)解法一:随机变量ξ的可能值有0,1,2,3.则Eξ=np=3×=.
解法二:ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0×+1×+2×+3×=.
考点二:求离散型随机变量的方差
3.某IT
公司对其网络服务器开放的3个外网络端口的安全进行监控,以便在发现黑客入侵及时跟踪锁定.今分析得知在今后某段时间段内,这3个网络端口各自将受到黑客入侵的概率均为0.1,在今后该时间段内,
(1)恰有2个网络端口受到黑客入侵的概率是多少?
(2)求被入侵的网络端口个数ξ的概率分布及ξ的数学期望与方差.
解:(1)设一个网络端口被入侵的事件为A,则P(A)=0.1,P()=0.9,
∵各个网络端口被入侵的概率均为0.1且相互独立,故网络端口被入侵的事件相当于独立重复试验.
∴恰有2个网络端口受到黑客入侵的概率为P3(2)=C×0.12×0.9=0.027.
(2)依题意得ξ的(3,0.1),其分布列为:
Ξ
0
1
2
3
P
0.729
0.243
0.027
0.001
∴Eξ=3×0.1=0.3,Dξ=3×0.1×0.9=0.27.
4.(2010·黄冈质量检测)某大学毕业生响应国家号召,到某村参加村委会主任应聘考核.考核依次分为笔试、面试、试用共三轮进行,规定只有通过前一轮考核才能进入下一轮考核,否则将被淘汰,三轮考核都通过才能被正式录用.设该大学毕业生通过三轮考核的概率分别为、、,且各轮考核通过与否相互独立.
(1)求该大学毕业生未进入第三轮考核的概率;
(2)设该大学毕业生在应聘考核中考核次数为ξ,求ξ的数学期望和方差.
解:(1)记“该大学毕业生通过笔试”为事件A,
“该大学毕业生通过面试”为事件B,
“该大学毕业生通过试用”为事件C.
则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
那么该大学生未进入第三轮考核的概率是
P=P(+A·)=P()+P(A)P()=1-+×(1-)=.
(2)ξ的可能取值为1,2,3.
P(ξ=1)=P()=1-P(A)=,
P(ξ=2)=P(A·)=P(A)(1-P(B))=,
P(ξ=3)=P(A·B)=P(A)P(B)=,
或P(ξ=3)=P(A·B·+A·B·C)=.
ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=.
ξ的方差Dξ=(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×=.
考点三:期望与方差性质的应用
5.(1)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1,2,…,8),求Eξ和E(3ξ+2);
(2)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=(k=1,2,…,n),求Eξ和Dξ.
解:(1)Eξ=1×+2×+…+8×=…=4.5,
E(3ξ+2)=3Eξ+2=3×4.5+2=15.5;
(2)Eξ=(1+2+…+n)=,
Dξ=Eξ2-(Eξ)2=[12+22+…+n2]-()2=(n2-1)
6.最近,李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资,提出了三种方案:
第一种方案:李师傅的儿子认为:根据股市收益大的特点,应该将10万元全部用来买股票.据分析预测:投资股市一年可能获利40%,也可能亏损20%(只有这两种可能),且获利的概率为.
第二种方案:李师傅认为:现在股市风险大,基金风险小,应将10万元全部用来买基金.据分析预测:投资基金一年后可能获利20%,可能损失10%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,.
第三种方案:李师傅的妻子认为:投入股市、基金均有风险,应该将10万元全部存入银行一年,现在存款年利率为4%,存款利息税率为5%.
针对以上三种投资方案,请你为李师傅家选择一种合理的理财方案,并说明理由.
解:若按方案一执行,设收益ξ万元,则其分布列为
ξ
4
-2
P
∴Eξ=4×+(-2)×=1万元.
若按方案二执行,设收益为η万元,则其分布列为:
η
2
0
-1
P
Eη=2×+0×+(-1)×=1万元.
若按方案三执行,收益y=10×4%×(1-5%)=0.38万元.
由Eξ=Eη>y.
Dξ=Eξ2-(Eξ)2=16×+4×-12=9.
Dη=Eη2-(Eη)2=4×()+0×+1×-1=.
由上知Dξ>Dη.这说明虽然方案一、二收益相等,但方案二更稳妥.所以,建议李师傅家选择方案二投资较为合理.
7.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级,对每种产品,两道工序加工结果都为A级时,产品为一等品,其余为二等品.
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(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙;
表1
工序
效率
产品
一工序
第二工序
甲
0.8
0.85
乙
0.75
0.8
(2)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润,在(1)条件下,求ξ、η的分布列及Eξ、Eη:
表2
等级
利润
产品
一等
二等
甲
5(万元)
2.5(万元)
乙
2.5(万元)
1.5(万元)
(3)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表3所示,该工厂有工人40名,可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(2)条件下,x,y为何值时,z=xEξ+yEη最大?最大值是多少?(解答时须给出图示)
表3
项目
用量
产品
工人(名)
资金(万元)
甲
8
5
乙
2
10
解:(1)P甲=0.8×0.85=0.68.P乙=0.75×0.8=0.6.
(2)随机变量ξ,η的分布列是
ξ
5
2.5
P
0.68
0.32
η
2.5
1.5
P
0.6
0.4
Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2,
Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1.
(3)由题设知
目标函数为
z=xEξ+yEξ=4.2x+2.1y.
作出可行域(如图):
作直线l:4.2x+2.1y=0.
将l向右上方平移至l1位置时,直线经过可行域上的点M且与原点距离最大,此时z=4.2x+2.1y有最大值.
解方程组
得x=4,y=4,即x=4,y=4时,z取最大值,z的最大值为25.2.
8.设排球队A与B进行比赛,若有一队胜四场则比赛结束(不出现平局).通常,若两队技术水平相差悬殊,则比赛需要的场数较少;若两队技术水平相当,则比赛需要场数较多.试用你学过的概率统计知识解释这一现象.
解:设在每场比赛中,A胜B的概率为p,B胜A的概率为q=1-p(0≤p≤1),进行n场比赛,可看作是进行n次独立重复试验,其中,A胜Bk场的概率为Cpkqn-k.
设比赛结束时,比赛场数为随机变量ξ,∵比赛至少要进行4场,∴ξ≥4.
又如果比赛进行了7场,两队中总有一队要胜4场,比赛结束,∴ξ≤7,即ξ的取值集合为{4,5,6,7}.
“ξ=k”表示比赛k场即决出胜负,即A在第k场取胜,在前k-1场中又胜了3场,或者B在第k场取胜,在前k-1场中又胜了3场,∴P(ξ=k)=Cp4qk-4+Cq4pk-4(k=4,5,6,7).
ξ
4
5
6
7
p
p4+q4
4pq(p3+q3)
10p2q2(p2+q2)
20p3q3(p+q)
Eξ=4(p4+q4)+20pq(p3+q3)+60p2q2(p2+q2)+140p3q3(p+q),又p+q=1,∴p2+q2=1-2pq,p3+q3=1-3pq,p4+q4=1-4pq+2p2q2,∴Eξ=20p3q3+8p2q2+4pq+4.
设t=pq=p(1-p)=-(p-)2,0≤t≤.
当t接近于0时,说明双方水平相差悬殊,当t接近于时,说明双方水平相当.
令Eξ=f(t)=20t3+t2+4t+4(t∈[0,]),则f′(t)=60t2+16t+4>0(t∈[0,]),∴f(t)在[0,]上是增函数.
故当双方水平差距逐渐缩小时,比赛的平均场数逐渐增多.特别地,当某队占绝对优势即t=0时,Eξ=4,平均只需比赛4场;当两队水平一样时,即t=,Eξ≈5.813,平均需要比赛6场.
高考链接
1.(2009·湖南)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.
(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求ξ的分布列及数学期望.
解:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai,Bi,Ci,i=1,2,3,由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立,C1,C2,C3相互独立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P(Ai)=,P(Bi)=,P(Ci)=.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3!P(A1B2C3) =6P(A1)P(B2)P(C3)=6×××=.
(2)解法一:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η,由已知,η~B(3,),且ξ=3-η,
所以P(ξ=0)=P(η=3)=C()3=,
P(ξ=1)=P(η=2)=C()2()=,
P(ξ=2)=P(η=1)=C()()2=,
P(ξ=3)=P(η=0)=C()3=.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=2.
解法二:记第i名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件Di,i=1,2,3.
由已知,D1,D2,D3相互独立,且
P(Di)=P(Ai+Ci)=P(Ai)+P(Ci)=+=.
所以ξ~B(3,),即P(ξ=k)=C()k()3-k,k=0,1,2,3.
故ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望Eξ=3×=2.
2.(2009·湖北)一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数2,3,4,5;另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片,分别标有数3,4,5,6.现从一个盒子中任取一张卡片,其上面的数记为x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为y,记随机变量η=x+y,求η的分布列和数学期望.
解:依题意,η可取5,6,7,8,9,10,11,
则有P(η=5)==,P(η=6)=,P(η=7)=,P(η=8)=,P(η=9)=,P(η=10)=,P(η=11)=.
∴η的分布列为
η
5
6
7
8
9
10
11
P
Eη=5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×=8.
3.(2009·全国卷Ⅱ)某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(3)记ξ表示抽取的3名工人中女工人数,求ξ的分布列及数学期望.
解:(1)由于甲组有10名工人,乙组有5名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核,则从甲组抽取2名工人,乙组抽取1名工人.
(2)记A表示事件:从甲组抽取的工人中恰有1名女工人,则P(A)==.
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.
Ai表示事件:从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人,i=0,1,2.
B表示事件:从乙组抽取的是1名男工人.
Ai与B独立,i=0,1,2.
P(ξ=0)=P(A0·)=P(A0)·P()=·=,
P(ξ=1)=P(A0·B+A1·)=P(A0)·P(B)+P(A1)·P()=·+·=,
P(ξ=3)=P(A2B)=P(A2)·P(B)=·=,
P(ξ=2)=1-[P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=3)]=.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=.
1.某车间在两天内,每天生产10件某产品,其中第一天、第二天分别生产出了1件 、2件次品,而质检部门每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过.
(1)求第一天产品通过检查的概率;
(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分;通过1天、2天分别得1分、2分.求该车间这两天的所得分ξ的数学期望.
解:(1)∵随意抽取4件产品检查是随机事件,而第一天有9件正品,
∴第一天通过检查的概率为P1==.
(2)第二天通过检查的概率为P2==.
两天的所得分ξ的可取值分别为0,1,2.
∵P(ξ=0)=×=,
P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×=.
∴Eξ=0×+1×+2×=
2.高三(1)班和高三(2)班各已选出3名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛,比赛规则是:
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛;
②代表队中每名对员至少参加一盘比赛,但不得参加两盘单打比赛;
③先胜两盘的队获胜,比赛结束.已知每盘比赛双方胜出的概率均为.
(1)根据比赛规则 ,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容?
(2)高三(1)班代表队连胜两盘的概率为多少?
(3)设高三(1)班代表队获胜的盘数为ξ,求ξ的分布列和期望.
解析:(1)参加单打的队员有A种方法,参加双打的队员有C处方法.
所以,高三(1)班出场阵容的共有A·C=12(种).
(2)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜.所以,连胜两盘的概率为×+××=.
(3)ξ的取值可能为0,1,2,
P(ξ=0)=×=.
P(ξ=1)=××+××=.
P(ξ=2)=×+××+××=.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴Eξ=0×+1×+2×=.