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- 2021-05-13 发布
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等差数列及其前n项和
【考纲说明】
1、理解等差数列的概念,学习等差数列的基本性质.
2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3、体会等差数列与一次函数的关系.
4、本部分在高考中占5-10分左右.
【趣味链接】
高斯7岁那年,父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学,读书不久,高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋,最能证明这一点的是高斯十岁那年,教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把1到 100的所有整数加起来,教师刚叙述完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101,……共有50对这样的数,用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法,高斯的才华使彪特耐尔十分激动,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
【知识梳理】
一、等差数列的相关概念
1、等差数列的概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.通常用字母d表示。
2、等差中项
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或
推广:
3、等差数列通项公式
若等差数列的首项是,公差是,则.
推广:,从而。
4、等差数列的前项和公式
等差数列的前项和的公式:①;②.
5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
二、等差数列的性质
1、等差数列与函数的关系
当公差时,
(1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为;
(2)前和是关于的二次函数且常数项为0。
2、等差数列的增减性
若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,
若公差,则为常数列。
3、通项的关系
当时,则有,
特别地,当时,则有.
注:
4、常见的等差数列
(1)若、为等差数列,则都为等差数列。
(2)若{}是等差数列,则,…也成等差数列。
(3)数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。
5、前n项和的性质
设数列是等差数列,为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前项的和.
①当项数为偶数时,则
②当项数为奇数时,则
(其中是项数为的等差数列的中间项)
6、求的最值(或求中正负分界项)
(1)因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性.
(2)①“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当,由可得达到最大值时的值.
②“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.
即当,由可得达到最小值时的值.
三、等差数列的判定与证明
1、等差数列的判定方法:
(1)定义法:若或(常数)是等差数列;
(2)等差中项:数列是等差数列;
(3)数列是等差数列(其中是常数);
(4)数列是等差数列,(其中、是常数).
2、等差数列的证明方法:
定义法:若或(常数)是等差数列.
【经典例题】
【例1】(2006全国)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于( )
A.120 B.105 C.90 D.75
【解析】B
【例2】(2008重庆)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】C
【例3】(2006全国Ⅰ)设是等差数列的前项和,若,则( )
A. B. C. D.
【解析】D
【例4】(2012四川)设函数,数列是公差不为0的等差数列,,则( )
A.0 B.7 C.14 D.21
【解析】D
【例5】(2009湖南)设是等差数列的前n项和,已知,,则等于( )
A.13 B.35 C.49 D. 63
【解析】C
【例6】(2009全国Ⅰ理) 设等差数列的前项和为,若,则= .
【解析】24
【例7】(2009辽宁理)等差数列的前项和为,且则 .
【解析】
【例8】(2011福建)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(I)求数列{an}的通项公式;
(II)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
【解析】(I)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d
由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2,从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n;
(II)由(I)可知an=3-2n,所以Sn=n[1+(3−2n)]2=2n-n2,
进而由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5,又k∈N+,故k=7为所求.
【例9】(2010山东)已知等差数列满足:,,的前项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令(),求数列的前项和为.
【解析】(Ⅰ),
(Ⅱ)
【例10】(2010浙江)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数{an}的前n项和Sn,满足S2S6+15=0.
(Ⅰ)若S5=S.求Sn及a1;
(Ⅱ)求d的取值范围.
【解析】因为SS+15=0,
所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0.
故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8.
故d的取值范围为d≤-2 或d≥2.
【课堂练习】
1、(2011江西卷)设{}为等差数列,公差d = -2,为其前n项和.若,则
=( )
A.18 B.20 C.22 D.24
2、(2006重庆)在等差数列中,若a4+a6=12,Sn是数列的前n项和,则S9的值为( )
A.48 B.54 C.60 D.66
3、(2009福建)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则( )
A.1 B.-1 C.2 D.
4、(2011上海)设数列的首项,则_____________.
5、(2008海南)已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则a5 = __________.
6、(2012北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若,S2=a3,则a2=______,Sn=_______.
7、(2012浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
8、(2012北京理)已知是等差数列,,;也是等差数列,,.
(1)求数列的通项公式及前项和的公式;
(2)数列与是否有相同的项? 若有,在100以内有几个相同项?若没有,请说明理由.
9、(2006北京)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.
【课后作业】
1、(2007安徽)等差数列的前项和为,若( )
A.12 B.10 C.8 D.6
2、(2008广东)记等差数列的前n项和为,若,,则该数列的公
差d=( )
A.7 B. 6 C. 3 D. 2
3、(2009全国)等差数列中,已知,,,则n为( )
A.48 B.49 C.50 D.51
4、(2007四川)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=( )
A.9 B.10 C.11 D.12
5、(2008福建)设Sn是等差数列的前n项和,若( )
A.1 B.-1 C.2 D.
6、(2010北京)已知等差数列{an}满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )
A.α1+α101>0 B.α2+α100<0 C.α3+α99=0 D.α51=51
7、(2010全国II理)如果,,…,为各项都大于零的等差数列,公差,则( )
A. B. C.++ D.=
8、(2012北京理)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
9、(2007全国Ⅱ)已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= .
10、(2006山东)设为等差数列的前n项和,=14,,则= .
11、(2011全国Ⅰ)等差数列{}的前n项和记为Sn.已知
(Ⅰ)求通项; (Ⅱ)若Sn=242,求n.
12、(2008宁夏理)已知数列是一个等差数列,且,.
(1)求的通项;(2)求前n项和的最大值.
13、(2010全国)设为等差数列,为数列的前项和,已知,,为数列的前项和,求.
【参考答案】
【课堂练习】
1、B 2、B 3、A 4、153 5、15 6、 ,
7、(1)由Sn=,得:当n=1时,;
当n2时,,n∈N﹡.
由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡.
(2)由(1)知,n∈N﹡
所以,
,
,n∈N﹡.
8、解:(1)设{an}的公差为d1,{bn}的公差为d2 由a3=a1+2d1得
所以,
所以a2=10, a1+a2+a3=30
依题意,得解得,
所以bn=3+3(n-1)=3n
(2)设an=bm,则8n-6=3m, 既①,要是①式对非零自然数m、n成立,只需
m+2=8k,,所以m=8k-2 ,②
②代入①得,n=3k, ,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切都成立。
所以,数列与有无数个相同的项。
令24k-6<100,得又,所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。
9.解:(Ⅰ)由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,
故解得d=-2,a1=20.
因此,{an}的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3…
(Ⅱ)由 得 即
由①+②得-7d<11。即d>-.
由①+③得13d≤-1 即d≤-于是-<d≤-
又d∈Z, 故d=-1将④代入①②得10<a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以,所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
【课后作业】
1、C 2、C 3、C 4、B 5、A 6、C 7、B 8、A 9、 10、 54
11、解:(Ⅰ)由得方程组
……4分 解得 所以
(Ⅱ)由得方程
……10分 解得
12、解:(Ⅰ)设的公差为,由已知条件,得,
解出,.
所以.
(Ⅱ).
所以时,取到最大值.
13、解:设等差数列的公差为,则
∵ ,,
∴ 即
解得 ,. ∴ ,
∵ ,∴ 数列是等差数列,其首项为,公差为,
∴ .