• 724.50 KB
  • 2021-05-13 发布

等差数列及其前n项和知识点总结经典高考题解析

  • 9页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
等差数列及其前n项和 ‎【考纲说明】‎ ‎1、理解等差数列的概念,学习等差数列的基本性质.‎ ‎2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3、体会等差数列与一次函数的关系.‎ ‎4、本部分在高考中占5-10分左右.‎ ‎【趣味链接】‎ ‎  高斯7岁那年,父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学,读书不久,高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋,最能证明这一点的是高斯十岁那年,教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题,要求学生把1到 100的所有整数加起来,教师刚叙述完题目,高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动,心想这个小家伙又在捣乱,但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时,才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法,他发现:第一个数加最后一个数是101,第二个数加倒数第二个数的和也是101,……共有50对这样的数,用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法,高斯的才华使彪特耐尔十分激动,下课后特地向校长汇报,并声称自己已经没有什么可教高斯的了。‎ ‎【知识梳理】‎ 一、等差数列的相关概念 ‎1、等差数列的概念 ‎ 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.通常用字母d表示。‎ ‎2、等差中项 ‎ 如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或 推广:‎ ‎3、等差数列通项公式 ‎ 若等差数列的首项是,公差是,则.‎ ‎ 推广:,从而。‎ ‎4、等差数列的前项和公式 ‎ 等差数列的前项和的公式:①;②.‎ ‎5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系 ‎( 数列的前n项的和为).‎ 二、等差数列的性质 ‎ 1、等差数列与函数的关系 ‎ 当公差时,‎ ‎ (1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为;‎ ‎ (2)前和是关于的二次函数且常数项为0。‎ ‎ 2、等差数列的增减性 ‎ 若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,‎ ‎ 若公差,则为常数列。‎ ‎ 3、通项的关系 ‎ 当时,则有,‎ ‎ 特别地,当时,则有.‎ 注:‎ ‎ 4、常见的等差数列 ‎ (1)若、为等差数列,则都为等差数列。‎ ‎ (2)若{}是等差数列,则,…也成等差数列。‎ ‎ (3)数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。‎ ‎ 5、前n项和的性质 ‎ 设数列是等差数列,为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前项的和.‎ ‎①当项数为偶数时,则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当项数为奇数时,则 ‎ ‎ ‎(其中是项数为的等差数列的中间项)‎ ‎6、求的最值(或求中正负分界项)‎ ‎(1)因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性.‎ ‎(2)①“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和 ‎ 即当,由可得达到最大值时的值.‎ ‎②“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.‎ ‎ 即当,由可得达到最小值时的值.‎ 三、等差数列的判定与证明 ‎1、等差数列的判定方法:‎ ‎(1)定义法:若或(常数)是等差数列;‎ ‎(2)等差中项:数列是等差数列;‎ ‎(3)数列是等差数列(其中是常数);‎ ‎(4)数列是等差数列,(其中、是常数).‎ ‎2、等差数列的证明方法:‎ 定义法:若或(常数)是等差数列.‎ ‎【经典例题】‎ ‎【例1】(2006全国)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则a11+a12+a13等于( )‎ A.120 B‎.105 C.90 D.75‎ ‎【解析】B ‎【例2】(2008重庆)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于( )‎ ‎ A.4 B‎.5 ‎ C.6 D.7‎ ‎【解析】C ‎【例3】(2006全国Ⅰ)设是等差数列的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】D ‎【例4】(2012四川)设函数,数列是公差不为0的等差数列,,则( )‎ ‎ A.0 B‎.7 C.14 D.21‎ ‎【解析】D ‎【例5】(2009湖南)设是等差数列的前n项和,已知,,则等于( )‎ ‎ A.13 B.‎35 C.49 D. 63 ‎ ‎【解析】C ‎【例6】(2009全国Ⅰ理) 设等差数列的前项和为,若,则= . ‎ ‎【解析】24‎ ‎【例7】(2009辽宁理)等差数列的前项和为,且则 .‎ ‎【解析】‎ ‎【例8】(2011福建)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.‎ ‎ (I)求数列{an}的通项公式;‎ ‎ (II)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.‎ ‎【解析】(I)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d 由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2,从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n; (II)由(I)可知an=3-2n,所以Sn=n[1+(3−2n)]2=2n-n2, 进而由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5,又k∈N+,故k=7为所求.‎ ‎【例9】(2010山东)已知等差数列满足:,,的前项和为.‎ ‎ (Ⅰ)求及;‎ ‎ (Ⅱ)令(),求数列的前项和为.‎ ‎【解析】(Ⅰ),‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【例10】(2010浙江)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数{an}的前n项和Sn,满足S2S6+15=0.‎ ‎(Ⅰ)若S5=S.求Sn及a1;‎ ‎(Ⅱ)求d的取值范围.‎ ‎【解析】因为SS+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2+1=0. 故(4a1+9d)2=d2-8.所以d2≥8. 故d的取值范围为d≤-2 或d≥2.‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、(2011江西卷)设{}为等差数列,公差d = -2,为其前n项和.若,则 ‎=( )‎ A.18 B‎.20 ‎ C.22 D.24‎ ‎2、(2006重庆)在等差数列中,若a4+a6=12,Sn是数列的前n项和,则S9的值为( )‎ A.48 B‎.54 ‎ C.60 D.66‎ ‎3、(2009福建)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若,则( )‎ A.1 B.‎-1 ‎ C.2 D.‎ ‎4、(2011上海)设数列的首项,则_____________. ‎ ‎5、(2008海南)已知{an}为等差数列,a3 + a8 = 22,a6 = 7,则a5 = __________.‎ ‎6、(2012北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若,S2=a3,则a2=______,Sn=_______.‎ ‎7、(2012浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.‎ ‎(1)求an,bn;‎ ‎(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.‎ ‎8、(2012北京理)已知是等差数列,,;也是等差数列,,.‎ ‎(1)求数列的通项公式及前项和的公式;‎ ‎(2)数列与是否有相同的项? 若有,在100以内有几个相同项?若没有,请说明理由.‎ ‎9、(2006北京)设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.‎ ‎(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式.‎ ‎【课后作业】‎ ‎1、(2007安徽)等差数列的前项和为,若( )‎ ‎ A.12 B.‎10 ‎ C.8 D.6‎ ‎2、(2008广东)记等差数列的前n项和为,若,,则该数列的公 ‎ 差d=( )‎ ‎ A.7 B. ‎6 ‎‎ C. 3 D. 2‎ ‎3、(2009全国)等差数列中,已知,,,则n为( )‎ A.48 B.‎49 C.50 D.51‎ ‎4、(2007四川)等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=( )‎ A.9 B.‎10 C.11 D.12 ‎ ‎5、(2008福建)设Sn是等差数列的前n项和,若( )‎ A.1 B.-‎1 C.2 D.‎ ‎6、(2010北京)已知等差数列{an}满足α1+α2+α3+…+α101=0则有( )‎ A.α1+α101>0  B.α2+α100<‎0 ‎‎ ‎C.α3+α99=0  D.α51=51 ‎ ‎7、(2010全国II理)如果,,…,为各项都大于零的等差数列,公差,则( )‎ ‎ A. B. C.++ D.=‎ ‎8、(2012北京理)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )‎ ‎ A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 ‎9、(2007全国Ⅱ)已知数列的通项an= -5n+2,则其前n项和为Sn= . ‎ ‎10、(2006山东)设为等差数列的前n项和,=14,,则=    .‎ ‎11、(2011全国Ⅰ)等差数列{}的前n项和记为Sn.已知 ‎(Ⅰ)求通项; (Ⅱ)若Sn=242,求n.‎ ‎12、(2008宁夏理)已知数列是一个等差数列,且,.‎ ‎(1)求的通项;(2)求前n项和的最大值.‎ ‎13、(2010全国)设为等差数列,为数列的前项和,已知,,为数列的前项和,求. ‎ ‎【参考答案】‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、B 2、B 3、A 4、153 5、15 6、 ,‎ ‎7、(1)由Sn=,得:当n=1时,;‎ 当n2时,,n∈N﹡.‎ 由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡.‎ ‎(2)由(1)知,n∈N﹡‎ 所以,‎ ‎,‎ ‎,n∈N﹡.‎ ‎8、解:(1)设{an}的公差为d1,{bn}的公差为d2 由a3=a1+2d1得 ‎ 所以,‎ 所以a2=10, a1+a2+a3=30‎ 依题意,得解得,‎ 所以bn=3+3(n-1)=3n ‎(2)设an=bm,则8n-6=3m, 既①,要是①式对非零自然数m、n成立,只需 ‎ m+2=8k,,所以m=8k-2 ,②‎ ‎ ②代入①得,n=3k, ,所以a3k=b8k-2=24k-6,对一切都成立。‎ 所以,数列与有无数个相同的项。‎ 令24k-6<100,得又,所以k=1,2,3,4.即100以内有4个相同项。‎ ‎9.解:(Ⅰ)由S14=98得‎2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,‎ 故解得d=-2,a1=20.‎ 因此,{an}的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3…‎ ‎(Ⅱ)由 得 即 由①+②得-7d<11。即d>-.‎ 由①+③得13d≤-1 即d≤-于是-<d≤-‎ 又d∈Z, 故d=-1将④代入①②得10<a1≤12.‎ ‎ 又a1∈Z,故a1=11或a1=12.‎ 所以,所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…‎ ‎【课后作业】‎ ‎1、C 2、C 3、C 4、B 5、A 6、C 7、B 8、A 9、 10、 54 ‎ ‎11、解:(Ⅰ)由得方程组 ‎ ……4分 解得 所以 ‎ ‎(Ⅱ)由得方程 ‎ ……10分 解得 ‎ ‎12、解:(Ⅰ)设的公差为,由已知条件,得,‎ 解出,.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ).‎ 所以时,取到最大值.‎ ‎13、解:设等差数列的公差为,则 ‎ ‎ ∵ ,,‎ ‎ ∴ 即 ‎ ‎ 解得 ,. ∴ ,‎ ‎ ∵ ,∴ 数列是等差数列,其首项为,公差为,‎ ‎ ∴ . ‎