高考数学模拟试题6苏教版 13页

‎2015年高考模拟试卷(6)‎ 南通市数学学科基地命题 ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．‎ ‎1. 已知集合,，，则 . ‎ ‎2. 已知复数（为虚数单位），则复数的模为 . ‎ ‎3. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的值是 .‎ ‎ ‎甲 乙 ‎ 5 7 6‎ ‎9 8 8 5 9‎ a 8 9 8 7‎ ‎4．如图所示茎叶图是甲乙两组各5名学生的数学竞赛成绩（70分～99分），若甲乙两组的平均成绩一样，则a= ；甲乙两组成绩中相对整齐的是 .‎ ‎5. 假设在6分钟内的任意时刻，两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场，若这两架飞机进入机场的时间之差不小于2分钟，飞机不会受到干扰；则飞机受到干扰的概率为_______.‎ ‎6. 若将函数y＝sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的最小值为_____________.‎ ‎7. 实数x，y满足如果目标函数z=x—y的最小值为-2，则实数m的值为______.‎ ‎8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于，母线与轴的夹角为，则这个圆台的高为____________.‎ ‎9．在平面直角坐标系中，圆C的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是__________.‎ ‎10. 在矩形中，已知，点E是BC的中点，点F在CD上，若则的值是 . ‎ ‎11．曲线在点处的切线方程为________． ‎ ‎12.在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且若的面积为，则的最小值为_________.‎ ‎13. 若对任意的x∈D，均有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的“折中函数”．已知函数f(x)＝(k－1)x－1，g(x)＝0，h(x)＝(x＋1)ln x，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”，则实数k的取值集合为________．‎ ‎14. 已知并且m+3n=1则的最小值__________ .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.‎ ‎15．(本小题满分14分)在中，的对边分别是，已知向量，，且．‎ ‎ （1）求A；‎ ‎（2）若，求sinBsinC的值.‎ ‎16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，‎ 侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.‎ ‎⑴求证：PA∥平面BDE；‎ ‎⑵求证：平面BDE⊥平面PBC. ‎ ‎17．（本小题满分14分）如图是一块镀锌铁皮的边角料，其中都是线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在直线是该抛物线的对称轴. 经测量，‎2米，米，，点到的距离的长均为‎1米．现要用这块边角料裁一个矩形（其中点在曲线段或线段上，点在线段上，点在线段上）. 设的长为米，矩形的面积为平方米.‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）当为多少米时，取得最大值，最大值是多少？‎ A B C D E F G R 第17题 H ‎ 18．(本小题满分16分) 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、．‎ ‎（1）当切线PA的长度为时，求点的坐标；‎ ‎（2）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）求线段长度的最小值．‎ ‎19．(本小题满分16分)已知函数，函数，函数 ‎（1）当函数在时为减函数，求a的范围；‎ ‎（2）若a=e(e为自然对数的底数）；‎ ‎①求函数g(x)的单调区间；‎ ‎ ②证明：‎ ‎ ‎ ‎20．(本小题满分16分) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＋n＝2an(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：数列{an＋1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式>2 010的n的最小值．‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ‎ A．（选修４－１：几何证明选讲）如图在中，AB=AC，过点A的直线与的外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.求证 B．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵， (1)求逆矩阵错误！未找到引用源。；（2）若矩阵满足，试求矩阵．‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程） 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标系方程;‎ ‎(2)已知为椭圆上一点,求到直线的距离的最小值.‎ D．（选修４－５：不等式选讲）已知x，yR，且|x＋y|≤， |x－y|≤，求证：|5x＋y|≤1．‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.‎ ‎22. （本小题满分10分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。每个球在每一次被取出的机会是等可能的。用x表示甲，乙最终得分差的绝对值．‎ ‎ (1)求袋中原有白球的个数；‎ ‎ (2)求随机变量x的概率分布列及期望Ex．‎ ‎[来源:Z*xx*k.Com]‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知．‎ ‎⑴求及；‎ ‎⑵试比较与的大小，并说明理由．‎ ‎2015年高考模拟试卷(6)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎1.； 2. ； 3. 8； 4．5,甲； 5. ； 6. 3； 7. 8； 8. ； 9． ； 10. ； 11.； 12. 4； 13. {2}； 14. .‎ 二、解答题 ‎ ‎15． (1)‎ ‎ =sinCcosB+cosCsinB ‎ =sin(C+B)= sinA ‎=2sinAcosA2sinaAcosA=sinA 在△ABC中，sinA≠0，‎ cosA＝． ‎ A(0，π)，A＝． ‎ ‎(2) , . ‎ 由正弦定理可得 , ‎ ‎16． ⑴连接AC，设AC与BD的交点为O，连接OE.‎ ‎∵在△PCA中，OE是△PCA的中位线，∴PA∥OE.‎ 又PA不在平面BDE内，∴PA∥平面BDE. ‎ ‎⑵∵PD⊥底面ABCD。∴CB⊥PD.‎ 又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.‎ ‎,∴DE⊥BC 在△PDC中，PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC.‎ ‎ 因此有DE⊥平面PBC.‎ ‎∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面PBC. ‎ ‎17．（1）以点为坐标原点，所在直线为轴，‎ 建立平面直角坐标系. ‎ 设曲线段所在抛物线的方程为，‎ A B C D E F G R H x y 将点代入，得，‎ 即曲线段的方程为. ‎ 又由点得线段的方程 为. ‎ 而，‎ 所以 ‎ ‎（2）①当时，因为，‎ 所以，由，得， ‎ 当时，，所以递增；‎ 当时，，所以递减，所以当时，； ‎ ‎②当时，因为，‎ 所以当时，； ‎ 综上，因为，所以当米时，平方米. ‎ ‎18．（1）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），‎ 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,‎ 所以MP＝，解得 ‎　　　所以.‎ ‎　（2）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，‎ 其方程为： ‎ ‎ 即　　‎ ‎　　　　　由， ‎ 解得或，所以圆过定点 .‎ ‎（3）因为圆方程为 ‎ 即 . ‎ ‎　　　　　圆：，即.‎ ‎②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：‎ ‎ ‎ 点M到直线AB的距离,‎ ‎ 相交弦长即：‎ ‎ 　‎ 当时，AB有最小值.‎ ‎19．（1）因为函数在时为减函数，所以. ‎ ‎ . ‎ ‎ 因为,所以,即. ‎ ‎（i）当a=e时，‎ ‎ 所以=‎ 记，则，当 当所以>0. ‎ 所以在,在；‎ 即g(x)的单调増区间为单调减区间为 ‎（ii）证明：由（i）得欲证，‎ 只需证 即证.‎ 记，则 当，，‎ 当，。即 由（i）得.所以. ‎ ‎ ‎ ‎20.(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得an＝2an－1＋1.‎ 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．‎ 因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.‎ a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.‎ 所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ①‎ ‎2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ②‎ ‎①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1‎ ‎＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.‎ 所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.‎ 若>2 010，‎ 则>2 010，即2n＋1>2 010.‎ 由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.‎ 所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ B．（1）设=，则==．‎ ‎∴解得∴=,‎ ‎（2） .‎ C.(1)直线l的极坐标方程,则, ‎ 即,所以直线l的直角坐标方程为; ‎ ‎(2)P为椭圆上一点,设,其中, ‎ 则P到直线l的距离,‎ 所以当时,的最小值为 ‎ D. 因为|x＋5y|＝|3(x＋y)+2(x－y)|． ‎ 由绝对值不等式性质，得 ‎|x＋5y|＝|3(x＋y)+2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|‎ ‎＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1．‎ 即|x＋5y|≤1． ‎ ‎22．（1）设袋中原有n个白球，由题意,知，‎ ‎ 解之得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3个白球；‎ ‎ (2)由（1）可知，袋中有3个白球、4个黑球。甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白.相应的分数之和为4分、5分、6分、7分；与之对应的乙取球情况：3个白球、1黑2白、2黑1白、3黑，相应分数之和为6分、5分、4分、3分；即x可能的取值是0,2,4.‎ ‎ ；‎ ‎ ；，‎ x ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎ 所以x的概率分布列为：‎ ‎ .‎ ‎23．⑴令，则，令，则，所以． ‎ ‎⑵要比较与的大小，只要比较与的大小．‎ 当时，，‎ 当或时，，当n=4或5时，‎ 猜想：当时，．下面用数学归纳法证明： ‎ ‎①由上述过程可知，当时，结论成立． ‎ ‎②假设当时结论成立，即，‎ 两边同乘以，得，‎ 而 ‎，‎ 所以，‎ 即时结论也成立．‎ 由①②可知，当时，成立． ‎ 综上所述，当时，；当或时，；‎ 当时，． ‎