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- 2021-05-13 发布
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第1讲 三角函数的图象与性质
1．(2015·山东)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
2．(2015·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z B.，k∈Z
C.，k∈Z D.，k∈Z
3．(2015·安徽)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )
A．f(2)0)的周期是π，将函数y＝3cos(ωx－)(ω>0)的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)等于( )
A．3sin(2x－) B．3sin(2x－)
C．－3sin(2x＋) D．－3sin(2x＋)
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则f()的值为________．
思维升华 (1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
跟踪演练2 (1)若将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，则ω的最小正值为( )
A. B.
C. D.
(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
热点三 三角函数的性质
(1)三角函数的单调区间：
y＝sin x的单调递增区间是[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)；
y＝cos x的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；
y＝tan x的递增区间是(kπ－，kπ＋)(k∈Z)．
(2)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．
y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；
当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．
例3 (2015·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω>0,0<|φ|<)为奇函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴之间的距离为.
(1)求f()的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间．
思维升华 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
跟踪演练3 设函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程．
1．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在(，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．[，] B．[，]
C．(0，] D．(0,2]
2．如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为( )
A. B.
C．8 D．16
3．设函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin2x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[－，]上的值域．
提醒：完成作业 专题三 第1讲
二轮专题强化练
专题三
第1讲 三角函数的图象与性质
A组 专题通关
1．若0≤sin α≤，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( )
A.∪
B.∪(k∈Z)
C.∪
D.∪(k∈Z)
2．为了得到函数y＝cos(2x＋)的图象，可将函数y＝sin 2x的图象( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
3．已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx－2，则函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为( )
A．[－，] B．[－1，]
C．[，1] D．[－，]
4．(2015·湖南)将函数f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ等于( )
A. B.
C. D.
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象如图所示．若方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解x1，x2，则x1＋x2的值为( )
A. B.
C. D.或
6．函数y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________．
7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
8．给出命题：①函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)(x∈R)的最小值等于－1；②函数y＝sin πxcos πx是最小正周期为2的奇函数；③函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上是单调递增的；④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．
9．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性．
10．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
B组 能力提高
11．将函数h(x)＝2sin(2x＋)的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的图象与函数h(x)的图象( )
A．关于直线x＝0对称
B．关于直线x＝1对称
C．关于(1,0)点对称
D．关于(0,1)点对称
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，若f(x0)＝3，x0∈(，)，则sin x0的值为( )
A. B.
C. D.
13．函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则f()＝________.
14．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋)(A>0，ω>0)，g(x)＝tan x，它们的最小正周期之积为2π2，f(x)的最大值为2g()．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)设h(x)＝f2(x)＋2cos2x.当x∈[a，)时，h(x)有最小值为3，求a的值．
学生用书答案精析
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质
高考真题体验
1．B [∵y＝sin＝sin，
∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．]
2．D [由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－0，∴φmin＝，
故f(x)＝Asin(2x＋)．
于是f(0)＝A，f(2)＝Asin(4＋)，f(－2)＝Asin＝Asin，
又∵－<－4<<4－<，
其中f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，
f(－2)＝Asin＝Asin＝Asin.
又f(x)在单调递增，
∴f(2)0，cos <0，
所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，
所以θ＝.
(2)由三角函数定义，
得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝
＝
＝2cos2α＝2×2＝.
例2 (1)B (2)1
解析 (1)由题意可知T＝＝π，所以ω＝2，所以y＝3cos(ωx－)(ω>0)的解析式为y＝3cos(2x－)＝3sin 2x，再把图象沿x轴向右平移个单位后得到
y＝3sin 2(x－)＝3sin(2x－)．
(2)根据图象可知，A＝2，＝－，
所以周期T＝π，由ω＝＝2.
又函数过点(，2)，
所以有sin(2×＋φ)＝1，而0<φ<π，
所以φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)，
因此f()＝2sin(＋)＝1.
跟踪演练2 (1)D (2)C
解析 (2)由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.
∴ymax＝k＋3＝8.
例3 解 (1)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝2[sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)]
＝2sin(ωx＋φ＋)．
因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝2sin(φ＋)＝0，
又0<|φ|<，
可得φ＝－，
所以f(x)＝2sin ωx，由题意得＝2·，所以ω＝2.
故f(x)＝2sin 2x.
因此f()＝2sin＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f(x－)的图象，
所以g(x)＝f(x－)＝2sin[2(x－)]＝2sin(2x－)．
当2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
g(x)单调递增，
因此g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
跟踪演练3 解 (1)f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a
＝sin(2x＋)＋1＋a，
则f(x)的最小正周期T＝＝π，
且当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
f(x)单调递增．
所以[kπ－，kπ＋](k∈Z)为f(x)的单调递增区间．
(2)当x∈[0，]时⇒≤2x＋≤，
当2x＋＝，即x＝时sin(2x＋)＝1.
所以f(x)max＝＋1＋a＝2⇒a＝1－.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
故y＝f(x)的对称轴方程为x＝＋，
k∈Z.
高考押题精练
1．A [f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin(ωx＋)，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得＋≤x≤＋(k∈Z)．
由题意，函数f(x)在(，π)上单调递减，故(，π)为函数单调递减区间的一个子区间，故有
解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．
由4k＋<2k＋，解得k<.
由ω>0，可知k≥0，
因为k∈Z，
所以k＝0，故ω的取值范围为[，]．]
2．B [由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0)．
则M(，－)，由两点间距离公式得，
PM＝ ＝2，解得a＝8，由此得，＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝，
由P(2,0)得φ＝－，
代入f(x)＝Asin(ωx＋φ)得，
f(x)＝Asin(x－)，
从而f(0)＝Asin(－)＝－8，
得A＝.]
3．解 (1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x－cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)．
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，
得到函数g(x)＝sin[2(x－)＋]＝－cos 2x的图象，
即g(x)＝－cos 2x.
当x∈[－，]时，
2x∈[－，]，
可得cos 2x∈[－，1]，
所以－cos 2x∈[－，]，
即函数g(x)在区间[－，]上的值域是[－，]．
二轮专题强化练答案精析
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第1讲 三角函数的图象与性质
1．A [根据题意并结合正弦线可知，α满足
∪(k∈Z)，
∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是
∪.
故选A.]
2．C [y＝cos(2x＋)
＝sin[＋(2x＋)]
＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)]，
因此，把y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到
y＝cos(2x＋)的图象．]
3．A [f(x)＝cos2x＋sinxcosx－2＝＋sin πx－2＝sin πx＋cos πx－＝sin(πx＋)－，令－≤πx＋≤，
解得x∈[－，]．]
4．D [因为g(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)，
所以|f(x1)－g(x2)|＝|sin 2x1－sin(2x2－2φ)|＝2.
因为－1≤sin 2x1≤1，－1≤sin(2x2－2φ)≤1，
所以sin 2x1和sin(2x2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x1＝1，sin(2x2－2φ)＝－1，则2x1＝2k1π＋，k1∈Z,2x2－2φ＝2k2π－，k2∈Z,2x1－2x2＋2φ＝2(k1－k2)π＋π，(k1－k2)∈Z，
得|x1－x2|＝.
因为0<φ<，
所以0<－φ<，
故当k1－k2＝0时，|x1－x2|min＝－φ＝，
则φ＝，
故选D.]
5．D [要使方程f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解，只需函数y＝f(x)与函数y＝m的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x＝或关于x＝对称，因此x1＋x2＝2×＝或x1＋x2＝2×＝.]
6．2＋
解析 因为0≤x≤9，所以－≤－≤，
因此当－＝时，
函数y＝2sin(－)取最大值，
即ymax＝2×1＝2，当－＝－时，
函数y＝2sin(－)取最小值，
即ymin＝2sin(－)＝－，
因此y＝2sin(－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2＋.
7．[－，3]
解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x－)，那么当x∈[0，]时，－≤2x－≤，
所以－≤sin(2x－)≤1，故f(x)∈[－，3]．
8．①④
解析 对于①，函数y＝2sin(－x)－cos(＋x)
＝sin(－x)，所以其最小值为－1；
对于②，函数y＝sin πxcos πx＝sin 2πx是奇函数，但其最小正周期为1；
对于③，函数y＝sin(x＋)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减；
对于④，由⇒cos α<0，
sin α>0，所以α一定为第二象限角．
9．解 (1)f(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－，
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，
f(x)单调递增，
当≤2x－≤π，即≤x≤时，
f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．
10．解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，
∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ
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