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  • 2021-05-13 发布

2012高考数学6大解答题最后冲刺文科解析几何28道题详解

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‎2012高考数学文最后冲刺【六大解答题】‎ 解析几何 ‎1..如图,在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为,右准线为。‎ ‎(1)求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。‎ ‎(2)过点作直线交椭圆于点,又直线交于点,若,求线段的长;‎ ‎(3)已知点的坐标为,直线交直线于点,且和椭圆的一个交点为点,是否存在实数,使得,若存在,求出实数;若不存在,请说明理由。‎ 解:(1)由椭圆方程为 可得,,,‎ ‎ ,. ‎ 设,则由题意可知,‎ 化简得点G的轨迹方程为. …………4分 ‎(2)由题意可知,‎ 故将代入,‎ 可得,从而. ……………8分 ‎(3)假设存在实数满足题意.‎ 由已知得 ①‎ ‎ ②‎ 椭圆C: ③‎ 由①②解得,.‎ 由①③解得,. ………………………12分 ‎∴,‎ ‎.‎ 故可得满足题意. ………………………16分 ‎2.设A、B分别为椭圆的左、右顶点,椭圆长半轴长等于焦距,且是它的右准线,‎ ‎(1) 求椭圆方程;‎ ‎(2) 设P为右准线上不同于点(4,0)的任一点,若直线AP、BP分别与椭圆交于异于A、B两点M、N,证明:点B在以MN为直径的圆内.‎ 解:(1)由 得 ‎ 方程为……………………………………………………………………… 6分 ‎(2)A(,0),B(2,0),令 M在椭圆上,,又M异于A、B点,,令 P、A、M三点共线,, …………… 10分 ‎,,>0,…………………… 14分 ‎ B在以MN为直径的圆内 ‎3.如图,已知椭圆的长轴为,过点的直线与轴垂直.直线所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎ ‎ B ‎(2)设是椭圆上异于、的任意一点,轴,为垂足,延长到点使得,连结延长交直线于点,为的中点.试判断直线与以为直径的圆的位置关系.‎ ‎ ‎ ‎(1)将整理得 ‎ 解方程组得直线所经过的定点(0,1),所以.‎ ‎ 由离心率得.‎ 所以椭圆的标准方程为.------------------------------------------4分 ‎(2)设,则.‎ ‎∵,∴.∴‎ ‎∴点在以为圆心,2为半径的的圆上.即点在以为直径的圆上.……6分 又,∴直线的方程为.‎ 令,得.又,为的中点,∴.……8分 ‎∴,.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴.∴直线与圆相切.‎ ‎4.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经 过点,直线交椭圆于不同的两点A,B.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)若直线不过点M,试问是否为定值?并说明理由。 ‎ ‎(Ⅰ),-------------------------2分 依题意设椭圆方程为:把点代入,得 ‎ 椭圆方程为-------------------------------4分 ‎(Ⅱ)把代入椭圆方程得:,‎ 由△可得----------------------------------6分 ‎(Ⅲ)设,A,B与M不重合,‎ ‎,-------------------8分 ‎,‎ 为定值0.---- --------12分 ‎5.已知椭圆的焦点,过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为,过作直线l与椭圆交于A、B两点.‎ ‎(I)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值和直线的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎ (Ⅰ)设椭圆方程为,由题意点在椭圆上,‎ 所以+=1,解得………………5分 ‎(Ⅱ)当直线斜率不存在时,易求,所以 由得,直线的方程为.………………7分 当直线斜率存在时,‎ 所以,‎ 由得 即 因为,所以 此时,直线的方程为 ‎6.已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。‎ ‎ (1)求椭圆C的方程;‎ ‎ (2)求的取值范围;‎ ‎ (3)若B点在于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点。‎ ‎ (1)解:由题意知,∴,即 ‎ 又,∴ 故椭圆的方程为 ‎ ‎(2)解:由题意知直线AB的斜率存在,设直线PB的方程为 由得: 由得: 设A(x1,y1),B (x2,y2),则  ① ∴ ∴ ∵,∴,∴ ∴的取值范围是. ‎ ‎(3)证:∵B、E两点关于x轴对称,∴E(x2,-y2) 直线AE的方程为,令y = 0得: 又,∴ 由将①代入得:x = 1,∴直线AE与x轴交于定点(1,0).‎ ‎7.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)过点的动直线L交椭圆C于 A.B两点.问:是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在,求点T坐标;若不存在,说明理由。‎ 解析:(Ⅰ)由 因直线相切,,∴,‎ ‎………………2分 ‎∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 ‎ 形,∴ 故所求椭圆方程为 ‎ ‎ (Ⅱ)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:‎ 当L与x轴垂直时,以AB为直径的圆的方程: ‎ 由 即两圆公共点(0,1)‎ 因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1) ‎ ‎ (ⅰ)当直线L斜率不存在时,以AB为直径的圆过点T(0,1)‎ ‎ (ⅱ)若直线L斜率存在时,可设直线L:‎ 由 ‎ 记点. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴TA⊥TB, ‎ ‎ 综合(ⅰ)(ⅱ),以AB为直径的圆恒过点T(0,1).‎ ‎8.设椭圆的两个焦点是,且椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为 ‎ (1)求椭圆的方程;‎ ‎ (2)若直线与椭圆C交于不同的两点M、N,线段MN垂直平分线恒过点A(0,-1),求实数m的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎9.已知椭圆的短轴长等于焦距,椭圆C上的点到右焦点的最短距离为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点且斜率为的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点,证明:三点共线.‎ ‎ (I)由题可知: …………2分 解得,‎ ‎ 椭圆C的方程为…………………………4分 ‎ (II)设直线:,,,,,‎ 由得.…………6分 所以,. ……………………8分 ‎ 而 ‎,,…………10分 ‎∴三点共线 ‎10.椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为.点P(1,)、A、B在椭圆E上,且+=m(m∈R).‎ ‎(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率;‎ ‎(2)当m=-3时,证明原点O是△PAB的重心,并求直线AB的方程.‎ 解:(1)由=及解得a2=4,b2=3, ‎ 椭圆方程为;…………………………………………………………2分 设A(x1,y1)、B(x2,y2), 由得 ‎(x1+x2-2,y1+y2-3)=m(1,),即 ‎ 又,,两式相减得 ‎; ………………………6分 ‎(2)由(1)知,点A(x1,y1)、B(x2,y2)的坐标满足,‎ 点P的坐标为(1,), m=-3, 于是x1+x2+1=3+m=0,y1+y2+=3++=0, ‎ 因此△PAB的重心坐标为(0,0).即原点是△PAB的重心.‎ ‎∵x1+x2=-1,y1+y2=-,∴AB中点坐标为(,),………………………10分 ‎ ‎ 又,,两式相减得 ‎; ‎ ‎∴直线AB的方程为y+=(x+),即x+2y+2=0.‎ ‎11.已知抛物线,点关于轴的对称点为,直线过点交抛物线于两点.‎ ‎(1)证明:直线的斜率互为相反数;‎ ‎(2)求面积的最小值;‎ ‎(3)当点的坐标为,且.根据(1)(2)推测并回答下列问题(不必说明理由):‎ ‎①直线的斜率是否互为相反数? ②面积的最小值是多少?‎ ‎(1)设直线的方程为.‎ 由 可得 .‎ 设,则.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎.‎ 又当垂直于轴时,点关于轴,显然.‎ 综上,. ---------------- 5分 ‎(2)=.‎ 当垂直于轴时,.‎ ‎∴面积的最小值等于. ------10分 ‎(3)推测:①;‎ ‎②面积的最小值为. ------- 13分 ‎12.已知椭圆E:=1(a>b>o)的离心率e=,且经过点(,1),O为坐标原点。‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆E的标准方程;‎ ‎ (Ⅱ)圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆,M是直线 x=-4在x轴上方的一点,过M作圆O的两条切线,‎ 切点分别为P、Q,当∠PMQ=60°时,求直线PQ的方程.‎ 解:(1)椭圆的标准方程为:‎ ‎ (2)连接QM,OP,OQ,PQ和MO交于点A,‎ 有题意可得M(-4,m),∵∠PMQ=600‎ ‎∴∠OMP=300,∵,‎ ‎∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4)‎ ‎∴直线OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,‎ ‎,设直线PQ的方程为y=x+n ‎∵∠OMP=300,∴∠POM=600,∴∠OPA=300,‎ ‎,即O到直线PQ的距离为,‎ ‎(负数舍去),∴PQ的方程为x-y+2=0‎ ‎13.设抛物线C1:x 2=4 y的焦点为F,曲线C2与C1关于原点对称.‎ ‎(Ⅰ) 求曲线C2的方程;‎ ‎(Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P(异于原点),过点P作C1的两条切线PA,PB,切点A,B,满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ (Ⅰ)解;因为曲线与关于原点对称,又的方程,‎ 所以方程为. …………5分 ‎(Ⅱ)解:设,,,.‎ 的导数为,则切线的方程,‎ 又,得,‎ 因点在切线上,故.‎ 同理, .‎ 所以直线经过两点,‎ 即直线方程为,即,‎ 代入得,则,,‎ 所以 ,‎ 由抛物线定义得,.‎ 所以,‎ 由题设知,,即,‎ 解得,从而.‎ 综上,存在点满足题意,点的坐标为 ‎ 或 .‎ ‎ …………15分 ‎14.在平面直角坐标系中,已知圆和圆,‎ ‎(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;‎ ‎(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和 ‎,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎ (1)设直线的方程为:,即 由垂径定理,得:圆心到直线的距离,‎ 结合点到直线距离公式,得: ‎ 化简得:[]‎ 求直线的方程为:或,即或 ‎(2) 设点P坐标为,直线、的方程分别为:‎ ‎,即:‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心到直线与直线的距离相等。 ‎ 故有:,‎ 化简得:‎ 关于的方程有无穷多解,有: ‎ 解之得:点P坐标为或。‎ ‎(方法二)因为为数列中的项,‎ 故为整数,又由(1)知:为奇数,所以 经检验,符合题意的正整数只有。‎ ‎15.已知,椭圆C过点A,两个焦点为(-1,0),(1,0)。‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)E、F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。‎ 解:(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为,解得,(舍去)‎ 所以椭圆方程为。 ……………4分 ‎(Ⅱ)设直线AE方程为:,代入得 ‎ 设,,因为点在椭圆上,所以 ‎ ‎ ‎ ………8分 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以—K代K,可得 所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值,其值为。‎ ‎16.已知双曲线:的左焦点为,左准线与轴的交点是圆的圆心,圆恰好经过坐标原点,设是圆上任意一点.‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与直线交于点,且为线段的中点,求直线被圆所截得的弦长;‎ ‎(Ⅲ)在平面上是否存在定点,使得对圆上任意的点有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(Ⅰ)由双曲线E:,得: ,,.……2分 又圆C过原点,所以圆C的方程为. ……………………4分 ‎(Ⅱ)由题意,设,代入,得,…………5分 所以的斜率为,的方程为.………………6分 所以到的距离为, ……………………………………7分 直线FG被圆C截得的弦长为 ……………………………9分 ‎(Ⅲ)设P(s,t),G(x0,y0),则由,得 整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ① ………………11分 又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上,所以x02+y02+8x0=0 ②‎ ‎②代入①,得(2s+24)x0+2ty0+144-s2-t2=0. ……………………………………13分 又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知,…………………………14分 解得:s= -12, t=0. …………………………………………………………………15分 所以在平面上存在一定点P,其坐标为(-12,0).‎ ‎17. 椭圆:()的左、右焦点分别为、,右顶点为,为椭圆上任意一点.已知的最大值为,最小值为.‎ ‎ (1)求椭圆的方程;‎ ‎ (2)若直线:与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.‎ 解析:(1) 是椭圆上任一点,且,‎ ‎……………………2分 当时,有最小值;当或时, 有最大值.‎ ‎, , .‎ 椭圆方程为。……………………4分 ‎(2) 设,,将代入椭圆方程得 ‎.‎ ‎………………6分 ‎,,,‎ 为直径的圆过点,,‎ 或都满足,……………………9分 若直线恒过定点不合题意舍去,‎ 若直线:恒过定点。‎ ‎18. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.‎ 若直线的斜率为1,求的长;‎ 是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,说明理由. ‎ 解:解:(1)由题意,可设抛物线方程为. …………1分 由,得. …………2分 抛物线的焦点为,. …………3分 抛物线D的方程为. …………4分 ‎(2)设,. …………5分 直线的方程为:, …………6分 联立,整理得: …………7分 ‎=.…………9分 ‎ ‎ ‎19.已知圆C1的方程为,定直线l的方程为.动圆C与圆C1外切,且与直线l相切.‎ ‎(Ⅰ)求动圆圆心C的轨迹M的方程;‎ ‎(II)斜率为k的直线l与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线l的垂线恰好经过点A(0,6),并交轨迹M于异于点P的点Q,记为POQ(O为坐标原点)的面积,求的值.‎ 解(Ⅰ)设动圆圆心C的坐标为,动圆半径为R,则 ‎ ,且 ————2分 A ‎ 可得 .‎ 由于圆C1在直线l的上方,所以动圆C的圆心C应该在直线l的上方,所以有,从而得,整理得,即为动圆圆心C的轨迹M的方程. ————5分 ‎(II)如图示,设点P的坐标为,则切线的斜率为,可得直线PQ的斜率为,所以直线PQ的方程为 ‎.由于该直线经过点A(0,6),所以有,得.因为点P在第一象限,所以,点P坐标为(4,2),直线PQ的方程为. —————9分 把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得,解得或4,可得点Q的坐标为.所以 ‎ ‎ ‎20.已知椭圆经过点,它的焦距为,它的左、右顶点分别为,是该椭圆上的一个动点(非顶点),点 是点关于轴的对称点,直线相交于点.‎ ‎(Ⅰ)求该椭圆的标准方程.(Ⅱ)求点的轨迹方程.‎ 解:‎ ‎(Ⅰ)由题意得:c=1, ① ②‎ ‎····················3分 由①、②得 所以所求椭圆的标准方程为···········6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,设 所以 两式相乘得:‎ 由于点在椭圆上,所以代入上式得 ‎····················13分 ‎21.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上,离心率e = ‎,椭圆上的点到焦点的最短距离为1-, 直线l与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且. ‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)若,求m的取值范围.‎ ‎(1)设C:+=1(a>b>0),设c>0,c2=a2-b2,由条件知a-c=,=,‎ ‎∴a=1,b=c=,故C的方程为:y2+=1  5′‎ ‎(2)由=λ,‎ ‎∴λ+1=4,λ=3 或O点与P点重合= 7′‎ 当O点与P点重合=时,m=0‎ 当λ=3时,直线l与y轴相交,则斜率存在。‎ 设l与椭圆C交点为A(x1,y1),B(x2,y2)‎ 得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0‎ Δ=(‎2km)2-4(k2+2)(m2-1)=4(k2-‎2m2‎+2)>0 (*)‎ x1+x2=, x1x2=  11′‎ ‎∵=3 ∴-x1=3x2 ∴ 消去x2,得3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3()2+4=0‎ 整理得4k‎2m2‎+‎2m2‎-k2-2=0  13′‎ m2=时,上式不成立;m2≠时,k2=,‎ 因λ=3 ∴k≠0 ∴k2=>0,∴-1‎2m2‎-2成立,所以(*)成立 即所求m的取值范围为(-1,-)∪(,1)∪{0} ‎ ‎22.设抛物线M方程为,其焦点为F,P((为直线与抛物线M的 一个交点,‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q,使得QAB 为等边三角形,若存在求出Q点的坐标,若不存在请说明理由.‎ y x B Q O F A 解:(1) (舍去)‎ ‎ --5分 ‎ (2)若直线的斜率不存在,则Q只可能为,此时不是等边三角形,舍去,--7分 若直线的斜率存在,设直线的方程为(),设直线与抛物线的交点坐标为A()、B()‎ ‎ ,‎ 设存在,,设Q到直线的距离为 有题意可知:‎ ‎---10分 ‎ 由①可得:------③‎ ‎③代入②得:,‎ 化简得:----14分,‎ 为所求点-----15分 ‎23.已知点,点在轴上,点在轴的正半轴上,点在直线上,且满足.‎ ‎(Ⅰ)当点在轴上移动时,求点的轨迹的方程;‎ ‎(Ⅱ)设、为轨迹上两点,且>1, >0,,求实数,使,且.‎ 解:(Ⅰ)设点,由得. …………2分 ‎ 由,得,即. …………… 4分 ‎ 又点在轴的正半轴上,∴.故点的轨迹的方程是 ‎. …………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由题意可知为抛物线:的焦点,且、为过焦点的直线与抛物 线的两个交点,所以直线的斜率不为. ……………………………………7分 ‎ 当直线斜率不存在时,得,不合题意; ……8分 ‎ 当直线斜率存在且不为时,设,代入得 ‎ ,‎ ‎ 则,解得. …………9分 ‎ 代入原方程得,由于,所以,由,‎ ‎ 得,∴. ……………………………………………………12分 ‎24.如图,在中,,以、为焦点的椭圆恰好过的中点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过椭圆的右顶点作直线与圆 相交于、两点,试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗?若能,求出直线的方程;若不能,请说明理由.‎ y P A B C O x 解(1)∵∴‎ ‎∴∴‎ 依椭圆的定义有: ‎ ‎∴, 又,∴ ‎ ‎∴椭圆的标准方程为……………………………………………7分 ‎(求出点p的坐标后,直接设椭圆的标准方程,将P点的坐标代入即可求出椭圆方程,‎ 也可以给满分.)‎ 椭圆的右顶点,圆圆心为,半径.‎ 假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧,‎ 则,圆心到直线的距离 ‎ 当直线斜率不存在时,的方程为,‎ 此时圆心到直线的距离(符合)‎ 当直线斜率存在时,设的方程为,即,‎ ‎∴圆心到直线的距离,无解 综上:点M、N能将圆分割成弧长比值为的两段弧,此时方程为 x A(4,2)‎ O y P F ‎25.如图所示,是抛物线的焦点,点为抛物线内一定点,点为抛物线上一动点,的最小值为8.‎ ‎(1)求抛物线方程;‎ ‎(2)若为坐标原点,问是否存在定点,使过点的动直线与抛物线交于两点,且以为直径的圆恰过坐标原点, 若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:设抛物线的准线为,过作于,过作于,‎ B x A(4,2)‎ O y P F ‎ (1)由抛物线定义知 C ‎(折线段大于垂线段),当且仅当三点共线取等号.由题意知,即抛物线的方程为: 5分 ‎(2)假设存在点,设过点的直线方程为,‎ 显然,,设,,由以为直径的圆恰过坐标 原点有 ① 6分 把代人得 由韦达定理 ② 7分 又 ③ ‎ ‎②代人③得 ④‎ ‎②④代人①得 ‎ 动直线方程为必过定点 10分 当不存在时,直线交抛物线于,仍然有, ‎ 综上:存在点满足条件 12分 注:若设直线BC的方程为可避免讨论.‎ ‎26.已知椭圆上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为,。‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)如果直线与椭圆相交于,若,证明直线与直线的交点必在一条确定的双曲线上;‎ ‎(3)过点作直线(与轴不垂直)与椭圆交于两点,与轴交于点,若,,证明:为定值。‎ 解:(1)由已知 ‎………………………3分 所以椭圆方程为。………………………5分 ‎(2)依题意可设,且有 又 ‎,将代入即得 所以直线与直线的交点必在双曲线上。……………………10分 ‎(3)依题意,直线的斜率存在,故可设直线的方程为,……………11分 设、、,则两点坐标满足方程组 消去并整理,得, ‎ 所以, ① , ② ……………………13分 因为,所以,‎ 即所以,又与轴不垂直,所以,‎ 所以,同理。 …………………………14分 所以。‎ 将①②代入上式可得。 …………………………16分 ‎27.已知抛物线C:y=4x,F是C的焦点,过焦点F的直线l与C交于 A,B两点,O为坐标原点。‎ ‎(1)求·的值;(2)设=,求△ABO的面积S的最小值;‎ ‎(3)在(2)的条件下若S≤,求的取值范围。‎ ‎⑴根据抛物线的方程可得焦点F(1,0),设直线l的方程为x=my+1,将其与C的方程联立,消去x可得-4my-4=0.‎ 设A、B点的坐标分别为(,),(,)(﹥0﹥),则=-4.‎ 因为=4,=4,所以==1,‎ 故·=+=-3 ………………………………………………4分 ‎(2)因为=,所以(1-,-)=(-1,)即 1-=-①‎ ‎ -=②‎ 又=4③ =4④ ,由②③④消去,后,得到=,将其代入①,注意到﹥0,解得=。‎ 从而可得=-,=2,故△OAB的面积S=·=‎ 因为≧2恒成立,故△OAB的面积S的最小值是2………(8分).(3)由 ≦解之的≦≦ ‎ ‎28. 已知抛物线的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)已知动直线过点,交抛物线于、两点.‎ 若直线的斜率为1,求的长;‎ 是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,说明理由.‎ ‎ 解:解:(1)由题意,可设抛物线方程为. …………1分 由,得. …………2分 抛物线的焦点为,. …………3分 抛物线D的方程为. …………4分 ‎(2)设,. …………5分 直线的方程为:, …………6分 联立,整理得: …………7分 ‎=.…………9分 ‎ (ⅱ) 设存在直线满足题意,则圆心,过作直线的垂线,垂足为,设直线与圆的一个交点为.可得: …………10分 ‎ …………11分 即=‎ ‎=‎ ‎== …………13分 当时, ,此时直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值.‎ ‎ …………14分 因此存在直线满足题意 …………15分