上海市高考数学模拟试卷5 9页

‎ 上海市2014届高考数学模拟试卷4 ‎ 考生注意：‎ ‎1．每位考生应同时领到试卷与答题纸两份材料，所有解答必须写在答题纸上规定位置，写在试卷上或答题纸上非规定位置一律无效；‎ ‎2．答卷前，考生务必将学校、姓名、学号等相关信息在答题纸上填写清楚；‎ ‎3．本试卷共23道试题，满分150分，考试时间120分钟。‎ 得分 评卷人 ‎ 一、填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题满分4分）‎ ‎1.函数是单调函数的充要条件是 ‎ ‎2.若抛物线的焦点坐标为(1,0)，则=____‎ ‎3.若2、、、、9成等差数列,则___________‎ ‎4.函数的值域是 ‎ ‎5.已知正四棱锥的所有棱长均相等，则侧面与底面所成二面角的余弦值为_________‎ ‎ 6. 设则 ‎ ‎ 7.下图是某市‎5月1日至14日的空气质量指数趋势图 ‎ （空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染）‎ 由图判断从5月 日开始连续三天的空气质量指数方差最大 ‎8.若非零向量满足,则夹角的余弦值为_______‎ ‎9.设,不等式对恒成立,则的取值范围为____________.‎ ‎10.某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 ‎ ‎11.已知为双曲线的左焦点,为上的点,若的长等于虚轴长的2倍,点 在线段上,则的周长为___________‎ ‎12.设a + b = 2, b>0, 则的最小值为______‎ ‎13.若定义在区间上的函数对于上的任意个值总满足，‎ 则称为上的凸函数，现已知在（0，）上是凸函数，则在锐角中，的最大值是_______‎ ‎14.对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称与 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组中有逆序“2，‎1”‎，“4，‎3”‎，“4，‎1”‎，“3，‎2”‎，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是 ‎ 得分 评卷人 ‎ 二、 选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题满分5分）‎ ‎15.方程的解所在区间是 ‎ ‎ A．（0，2） B（1，2） C.（2，3） D.（3，4）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.5‎ ‎1‎ a b c ‎16.在如图的表格中,每格填上一个数字 后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,则a＋b＋c的值为 A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎17.如图，正方体的棱长为，点在棱上，且，点是平面上的动点，且动点到直线 的距离与点到点的距离的平方差为，则动点的轨迹是 ‎ A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线 ‎18.函数，的大致图象是 ‎ x x x x y y y y o o o o A B C D 三、解答题（本大题满分74分，共5小题）‎ 得分 评卷人 ‎ ‎19.(本题满分12分）第（1）小题4分，第（2）小题4分.第（3）小题4分.‎ P A B C D 已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD^平面ABCD，PD=8‎ (1) 连接PB、AC，证明：PB ^ AC (2) 连接PA，求PA与平面PBD所成的角的大小 ‎(3)求点D到平面PAC的距离。‎ 得分 评卷人 ‎ ‎20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.‎ 已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为，面积为S，且满足：‎ ‎.‎ （1） 求的值；‎ （2） 若，试确定∠C的范围.‎ 得分 评卷人 ‎ ‎21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.‎ 设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为，盈利额为。‎ ‎（1）求与之间的函数关系，并用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）‎ ‎（2）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？ 注：可选用数据：.‎ 得分 评卷人 ‎ ‎22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分 已知函数 ‎（1）求；‎ ‎（2）设，，求；‎ ‎（3）设，是否存在最小正整数m，使对任意，有成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。‎ 得分 评卷人 ‎ ‎23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题6分.‎ 已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中。如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，‎ ‎（1）若三角形是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；‎ ‎（2）若，求的取值范围；‎ ‎（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由。‎ y O ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ M x ‎ 参考答案 ‎ 1‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎ 2 ‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎ 5‎ ‎8‎ ‎ ‎ ‎9‎ ‎ ‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎11‎ ‎ 44‎ ‎12‎ ‎ ‎ ‎13‎ ‎ ‎ ‎14‎ ‎ ‎ ‎15‎ ‎ C ‎16‎ ‎ A ‎17‎ ‎ B ‎18‎ ‎ C ‎19.(本题满分12分）第（1）小题4分，第（2）小题4分.第（3）小题4分.‎ ‎(1)证明：连接BD，在正方形ABCD中，AC ^ BD，‎ 又PD^平面ABCD，所以，PD^AC，‎ 所以AC ^平面PBD，故PB ^ AC。‎ P A B C D O ‎(2) 解：因为AC ^平面PBD，设AC与BD交于O，连接PO，则ÐAPO就是PA与平面PBD所成的角 在DAPO中，AO=3，AP = 10‎ 所以 sin ÐAPO = ‎ ÐAPO=arcsin PA与平面PBD所成的角的大小为arcsin ‎(3)解：连接PC，设点D到平面PAC的距离为h，‎ 则有VD–PAC =VP–ACD，即：´ SDPAC ´ h =´PD´AD´DC 在DPAC中，显然PO^AC，PO=‎ h = ‎ 所以点D到平面PAC的距离为 ‎20.(本题满分14分）第（1）小题7分，第（2）小题7分.‎ ‎（1）∵‎ ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴，∴取值范围为 ‎21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题10分，第（2）小题4分.‎ ‎（1）根据题意，当购票人数不多于100时，可设与之间的函数关系为 ‎ . ‎ ‎∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，‎ ‎∴，解得 ‎ ‎∴‎ ‎（2）设每张门票价格提高为元，根据题意，得 ‎ ‎ ‎∴。‎ 从而，每张门票最少要37元。‎ ‎22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分 ‎(1) = (x>0)‎ ‎(2) ‎ ‎ 又 ‎ ‎（3）由， ‎ ‎ =‎ ‎ 即中最大 ‎ 即 存在最小正整数m=8‎ ‎23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题6分.‎ ‎（1） ，‎ ‎，‎ ‎ 于是，所求“果圆”方程为 ‎ ‎ ， ‎ ‎（2）由题意，得 ，即．‎ ‎ ，，得． ‎ ‎ 又． ． ‎ ‎ （3）设“果圆”的方程为，．‎ ‎ 记平行弦的斜率为．‎ 当时，直线与半椭圆的交点是 ‎，与半椭圆的交点是．‎ ‎ 的中点满足 得 ． ‎ ‎ ， ．‎ ‎ 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． ‎ ‎ 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是． ‎ 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，‎ 即不在某一椭圆上．‎ ‎ 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上．‎