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- 2021-05-13 发布
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第35讲 数列模型及综合应用
1.某工厂2009年年底制订生产计划,要使工厂的总产值到2019年年底在原有基础上翻两番,则年平均增长率为( )
A.5-1 B.4-1
C.3-1 D.4-1
2.设a1,a2,…,a50是以-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+…+a50=9,且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则a1,a2,…,a50当中取零的项共有( )
A.11个 B.12个
C.15个 D.25个
3.从2006年到2009年期间,甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄.若年利率为q保持不变,且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期,到2010年6月1日,甲去银行不再存款,而是将每年所有的存款的本息全部取回,则取回的金额是( )
A.m(1+q)4 B.m(1+q)5
C. D.
4.已知函数f(x)=3x2+bx+1是偶函数,g(x)=5x+c是奇函数.若a1=1,f(an+an+1)-g(an+1·an+an2)=1,则正数数列{an}的通项公式为( )
A.()n-1 B.()n-1
C.()n D.()n
5.(2012·合肥八中)如图,一个树形图依据下列规律不断生长:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点,1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.则第11行的实心圆点的个数是______.
6.用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,……,依此类推,每一层都用去了前一层剩下的一半多一块,如果到第九层恰好砖用完,那么共用去砖的块数为________.
7.某产品具有一定的时效性,在这个时效期内,由市场调查可知,在不做广告宣传且每件获利a元的前提下,可卖出b件;若做广告宣传,广告费为n千元比广告费为n-1千元时多卖出(n∈N*)件.
(1)试写出销售量Sn与n的函数关系式;
(2)当a=10,b=4000时,厂家应生产多少件这种产品,做几千元的广告,才能获利最大?
1.如下图,对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”,仿此,
(1)记53的“分裂”中的最小数为a,而52的“分裂”中最大的数是b,则a+b=______;
(2)若m3的“分裂”中最小的数是211,则m的值为______. 2.为喜迎广州亚运会,花匠老王计划用600盆鲜花在公园设计一个鲜花摆放造型,其中主题花坛由一批花坛堆成六角垛:顶层一个,以下各层堆成正六边形,逐层底边增加一个花盆(如图所示),在充分利用的基础上,最少可以剩余______盆鲜花.
3.(2012·湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
第35讲
巩固练习
1.B 2.A 3.D
4.A 解析:f(x)是偶函数⇒b=0,所以f(x)=3x2+1,
g(x)是奇函数⇒c=0,所以g(x)=5x,
又f(an+an+1)-g(an+1an+an2)=1,
即3(an+an+1)2+1-5(an+1an+an2)=1,
(an+an+1)[3(an+an+1)-5an]=0.
由于{an}为正数数列,即an>0,
故3(an+an+1)=5an,=,又a1=1,
所以{an}是等比数列,且an=()n-1(n∈N*).
5.55
解析:设用an表示第n行实心圆点的个数,由题意,数列{an}为:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,故a11=55.
6.1022
解析:设每一层用去的砖块数构成数列{an},全部砖块数为S,
则a1=S+1,an+1=[S-(a1+a2+…+an)]+1,
即an+1=S-Sn+1,
所以an=S-Sn-1+1(n≥2),
两式相减,得an+1-an=-an,
即an+1=an(n≥2).
又适合上式,所以{an}是首项a1=S+1,公比为的等比数列,所以(S+1)·=S,解得S=1022.
7.解析:(1)设S0表示广告费为0元时的销售量.
由题意知Sn-Sn-1=,Sn-1-Sn-2=,…,S2-S1=,S1-S0=,
将上述各式相加得,
Sn=b+++…+==b·(2-).
(2)当a=10,b=4000时,设获利为Tn元.
由题意知Tn=10Sn-1000n=40000·(2-)-1000n.
欲使Tn最大,
则,代入解得.
所以n=5,此时S5=7875.
即厂家应生产7875件这种产品,做5千元的广告,才能获利最大.
提升能力
1.(1)30 (2)15
解析:(1)由题意,52=1+3+5+7+9,故b=9;
53=21+23+25+27+29,故a=21,所以a+b=30.
(2)由题意,m3=211+213+215+…,共m个相邻奇数,
由等差数列求和公式得m3=211m+×2,
整理得m2-m-210=0,解得m=15,m=-14(舍去).
2.88
解析:设第n层有an盆鲜花,
则有a2-a1=6,a3-a2=12,
a4-a3=18,…,an-an-1=6(n-1).
则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=6(n-1)+6(n-2)+…+6+1
=3n2-3n+1.
所以Sn=3(12+22+…+n2)-3(1+2+…+n)+n
=n(n+1)(2n+1)-n(n+1)+n
=n3≤600(n∈N*).
所以n≤8,而S8=83=512,
所以最少还剩600-512=88(盆).
3.解析:(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,
a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4500-d,
an+1=an(1+50%)-d=an-d.
(2)由(1)得an=an-1-d
=()2an-2-d-d
=(an-2-d)-d
=…
=()n-1a1-d[1++()2+…+()n-1].
整理得an=()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]
=()n-1(3000-3d)+2d.
由题意,am=4000,
所以()m-1(3000-3d)+2d=4000,
解得d==.
故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000元.