安徽高考数学文科试卷带详解 9页

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试数学安徽卷（文科）‎ 一、选择题. ‎ ‎1. 设是虚数单位，则复数 ‎ A. 3+3i B. -1+3i C. 3+i D. -1+i ‎ ‎【参考答案】 C ‎【测量目标】 复数的四则运算.‎ ‎【试题解析】 因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2=3+i, 所以选C.‎ ‎2. 设全集，则 ‎ A. {1, 2, 5, 6} B. {1} C. {2} D. {1, 2, 3, 4}‎ ‎【参考答案】 B ‎【测量目标】 集合的运算.‎ ‎【试题解析】 因为={1, 5, 6}, 所以={1}. 故选B.‎ ‎3. 设：<3, ： -1<<3, 则是成立的（ ）‎ ‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 ‎ C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【参考答案】 C ‎【测量目标】 充要条件的判断.‎ ‎【试题解析】 因为： <3, ： -1<<3, 所以但是不能推出，‎ 所以是成立的必要不充分条件，故选C.‎ ‎4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）‎ ‎ A. ㏑ B. +‎1 C. sin D. ‎ ‎【参考答案】 D ‎【测量目标】 函数的奇偶性；零点.‎ ‎【试题解析】 对选项A： ㏑的定义域为（0，），不具有奇偶性，排除A;‎ ‎ 对选项B：+1是偶函数，但+1=0无解，即不存在零点，排除B;‎ ‎ 对选项C：sin是奇函数，排除C; 对选项D：=0，‎ ‎ 所以D正确.‎ ‎5. 已知满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ ‎ A.1 B.2 C.5 D. 1‎ ‎【参考答案】 A ‎【测量目标】 简单的线性规划.‎ ‎【试题解析】 根据题意作出约束条件确定的可行域，‎ 第5题图 ‎ 由，可知在图中点（1,1）处，取到最大值1，故选A.‎ ‎6. 下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【参考答案】 A ‎【测量目标】 渐近线方程.‎ ‎【试题解析】 由双曲线的渐近线的公式知道选项A的渐近线方程为，故选A.‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（ ）‎ ‎ A. 3 B. ‎4 C. 5 D. 6 ‎ 第7题图 ‎ ‎【参考答案】 B ‎【测量目标】 程序框图.‎ ‎【试题解析】 执行第一次循环体：,此时 ；‎ ‎ 执行第二次循环体：,此时 ； ‎ ‎ 执行第三次循环体：,此时 ，不满足判断条件，输出 ‎ , 故选B.‎ ‎8. 直线与圆相切，则b=（ ）‎ ‎ A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12‎ ‎【参考答案】 D ‎【测量目标】 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式.‎ ‎【试题解析】 把圆的方程化为标准形式：，则圆心（1,1），半径为1，又直线与圆相切，所以. 故选D.‎ ‎9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第9题图 ‎ ‎【参考答案】 C ‎【测量目标】 几何体的三视图；锥体的表面积.‎ ‎【试题解析】 由给出的三视图可知该几何体的直观图如下所示. ‎ 第9题图 ‎ 其中侧面PAC底面ABC,且, 由三视图中所给数据可知：PA=PC=AB=BC=, 取AC中点O,连接PO, BO, 则中，PO=BO=1PB=, 所以面积S可计算为. 故选C. ‎ ‎10. 函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ 第10题图 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【参考答案】 A ‎【测量目标】 函数的图形与性质.‎ ‎【试题解析】 由函数的图象可知，令，可知是的两个根，由图可知. 所以由韦达定理得 ‎ ， 故选A.‎ 二、填空题.‎ ‎11. lg+2lg2=________ .‎ ‎【参考答案】1‎ ‎【测量目标】 指数幂运算；对数运算.‎ ‎【试题解析】 原式=lg5lg2+2lg22=lg5+lg22=1 .‎ ‎12. 在中，AB=, , 则AC=________ .‎ ‎【参考答案】 2‎ ‎【测量目标】 正弦定理.‎ ‎【试题解析】 由正弦定理可知：,所以.‎ ‎13. 已知数列{}中，，则数列{}的前9项和等于_____.‎ ‎【参考答案】 27‎ ‎【测量目标】 等差数列的定义与前n项和.‎ ‎【试题解析】 由知道数列{}是以1为首项，为公差的等差数列.‎ ‎ 则其通项公式为，所以前9项和.‎ ‎14. 在平面直角坐标系中，若直线与函数的图象只有一个交点，则的值为________.‎ ‎【参考答案】 ‎ ‎【测量目标】 函数与方程；函数的图象.‎ ‎【试题解析】 在同一坐标系内，作出所给直线与函数的大致图象如图，则.‎ 第14题图 ‎ ‎15. 是边长为2的等边三角形，已知向量满足, 则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)‎ ‎ ① 为单位向量； ② 为单位向量； ③ ； ④ ； ⑤ .‎ ‎【参考答案】 ①④⑤ ‎ ‎【测量目标】 平面向量的基本概念和性质.‎ ‎【试题解析】 由题意可知：等边三角形ABC的边长为2，，则，所以=1， 故①正确；‎ ‎, 故②错误，④正确；的夹角为，故③错误；‎ ‎，, 故⑤正确.‎ 三、解答题.‎ ‎16. 已知函数 ‎ （1）求的最小正周期；‎ ‎ （2）求在区间[0, ]上的最大值和最小值.‎ ‎【参考答案】 （1）； （2）最大值为，最小值为0.‎ ‎【测量目标】 (1)三角函数的性质;‎ ‎(2)三角函数在区间上的最值.‎ ‎【试题解析】（1）化简可得,则最小正周期；‎ ‎ （2），‎ ‎ 故的最大值为，最小值为0.‎ ‎17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问了50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 ‎ [40,50], [50,60], [60,70], … ,[80,90],[90,100].‎ 第17题图 ‎ ‎ （1）求频率分布图中的值；‎ ‎ （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；‎ ‎ （3）从评分在[40, 60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40, 50]的概率.‎ ‎【测量目标】 (1)频率分布直方图；‎ ‎(2)古典概型;‎ ‎(3)随机事件的概率.‎ ‎【试题解析】 （1）由频率分布直方图可知：（0.004++0.018+0.022×2+0.028）×10=1,解得.‎ ‎ （2）由分布直方图可知，评分不低于80的人数为（0.022+0.018）×10×50=20(人)，‎ ‎ 所以评分不低于80分的概率为.‎ ‎ （3）在[40, 50]、[50,60]内的人数分别为：0.004×10×50=2，0.006×10×50=3，故在[40,60]内的受访职工中随机抽取2人，此2人评分均在[40,50]之间的概率为：‎ ‎ .‎ ‎18. 已知数列{}是递增的等比数列，且.‎ ‎ （1）求数列{}的通项公式；‎ ‎ （2）设为数列{}的前n项和，，求数列{}的前n项和.‎ ‎【测量目标】(1)等比数列的通项公式；(2)裂项相消法求和.‎ ‎【试题解析】 （1）{}是递增的等比数列，且，‎ ‎ ， .‎ ‎ （2）由（1）可知，‎ ‎ ，‎ ‎ =.‎ ‎19. 如图三棱锥P-ABC中，PA平面ABC, PA=1，AB=1，AC=2，.‎ ‎ （1）求三棱锥P-ABC的体积；‎ ‎ （2）证明：在线段PC上存在点M, 使得ACBM, 并求的值.‎ 第19题图 ‎ ‎【测量目标】(1)三棱锥的体积公式；‎ ‎(2)线面垂直的判定定理和性质.‎ ‎【试题解析】 （1）在中， AB=1， AC=2， ,‎ ‎ . 又因为PA面ABC，‎ ‎ .‎ ‎ （2）过点B作BN垂直AC于点N, 过N作NMPA交PC于M, 则有 第19题图 ‎ ‎ .‎ ‎ 此时M即为所要找的点，在中，.‎ ‎20. 设椭圆E的方程为，点O为坐标原点，点A的坐标为（），‎ ‎ 点B的坐标为(0, ),点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.‎ ‎ （1）求E的离心率e；‎ ‎ （2）设点C的坐标为，N为线段AC的中点，证明：.‎ ‎【测量目标】 (1)椭圆的离心率；‎ ‎(2)直线与椭圆的位置关系. ‎ ‎【试题解析】 （1），‎ ‎ 又OM的斜率为，.‎ ‎ （2）由题意可知N点的坐标为（），，‎ ‎ ‎ ‎21. 已知函数 ‎ （1）求的定义域，并讨论的单调性；‎ ‎ （2）若，求在内的极值.‎ ‎【测量目标】 (1)导数在函数单调性中的应用；‎ ‎(2)函数的极值. ‎ ‎【试题解析】(1)由题意可知，所以函数的定义域为.‎ ‎ , ‎ ‎ 令的单调递增区间为；‎ ‎ 令和，的单调递减区间为和.‎ ‎ （2）由（1）可知在内的极大值为. 且在内无极小值.‎