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  • 2021-05-13 发布

安徽高考数学文科试卷带详解

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‎2015年普通高等学校招生全国统一考试数学安徽卷(文科)‎ 一、选择题. ‎ ‎1. 设是虚数单位,则复数 ‎ A. 3+3i B. -1+3i C. 3+i D. -1+i ‎ ‎【参考答案】 C ‎【测量目标】 复数的四则运算.‎ ‎【试题解析】 因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2=3+i, 所以选C.‎ ‎2. 设全集,则 ‎ A. {1, 2, 5, 6} B. {1} C. {2} D. {1, 2, 3, 4}‎ ‎【参考答案】 B ‎【测量目标】 集合的运算.‎ ‎【试题解析】 因为={1, 5, 6}, 所以={1}. 故选B.‎ ‎3. 设:<3, : -1<<3, 则是成立的( )‎ ‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 ‎ C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【参考答案】 C ‎【测量目标】 充要条件的判断.‎ ‎【试题解析】 因为: <3, : -1<<3, 所以但是不能推出,‎ 所以是成立的必要不充分条件,故选C.‎ ‎4. 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )‎ ‎ A. ㏑ B. +‎1 C. sin D. ‎ ‎【参考答案】 D ‎【测量目标】 函数的奇偶性;零点.‎ ‎【试题解析】 对选项A: ㏑的定义域为(0,),不具有奇偶性,排除A;‎ ‎ 对选项B:+1是偶函数,但+1=0无解,即不存在零点,排除B;‎ ‎ 对选项C:sin是奇函数,排除C; 对选项D:=0,‎ ‎ 所以D正确.‎ ‎5. 已知满足约束条件,则的最大值是( )‎ ‎ A.1 B.2 C.5 D. 1‎ ‎【参考答案】 A ‎【测量目标】 简单的线性规划.‎ ‎【试题解析】 根据题意作出约束条件确定的可行域,‎ 第5题图 ‎ 由,可知在图中点(1,1)处,取到最大值1,故选A.‎ ‎6. 下列双曲线中,渐近线方程为的是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【参考答案】 A ‎【测量目标】 渐近线方程.‎ ‎【试题解析】 由双曲线的渐近线的公式知道选项A的渐近线方程为,故选A.‎ ‎7. 执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为( )‎ ‎ A. 3 B. ‎4 C. 5 D. 6 ‎ 第7题图 ‎ ‎【参考答案】 B ‎【测量目标】 程序框图.‎ ‎【试题解析】 执行第一次循环体:,此时 ;‎ ‎ 执行第二次循环体:,此时 ; ‎ ‎ 执行第三次循环体:,此时 ,不满足判断条件,输出 ‎ , 故选B.‎ ‎8. 直线与圆相切,则b=( )‎ ‎ A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12‎ ‎【参考答案】 D ‎【测量目标】 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式.‎ ‎【试题解析】 把圆的方程化为标准形式:,则圆心(1,1),半径为1,又直线与圆相切,所以. 故选D.‎ ‎9. 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 第9题图 ‎ ‎【参考答案】 C ‎【测量目标】 几何体的三视图;锥体的表面积.‎ ‎【试题解析】 由给出的三视图可知该几何体的直观图如下所示. ‎ 第9题图 ‎ 其中侧面PAC底面ABC,且, 由三视图中所给数据可知:PA=PC=AB=BC=, 取AC中点O,连接PO, BO, 则中,PO=BO=1PB=, 所以面积S可计算为. 故选C. ‎ ‎10. 函数的图象如图所示,则下列结论成立的是( )‎ 第10题图 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【参考答案】 A ‎【测量目标】 函数的图形与性质.‎ ‎【试题解析】 由函数的图象可知,令,可知是的两个根,由图可知. 所以由韦达定理得 ‎ , 故选A.‎ 二、填空题.‎ ‎11. lg+2lg2=________ .‎ ‎【参考答案】1‎ ‎【测量目标】 指数幂运算;对数运算.‎ ‎【试题解析】 原式=lg5lg2+2lg22=lg5+lg22=1 .‎ ‎12. 在中,AB=, , 则AC=________ .‎ ‎【参考答案】 2‎ ‎【测量目标】 正弦定理.‎ ‎【试题解析】 由正弦定理可知:,所以.‎ ‎13. 已知数列{}中,,则数列{}的前9项和等于_____.‎ ‎【参考答案】 27‎ ‎【测量目标】 等差数列的定义与前n项和.‎ ‎【试题解析】 由知道数列{}是以1为首项,为公差的等差数列.‎ ‎ 则其通项公式为,所以前9项和.‎ ‎14. 在平面直角坐标系中,若直线与函数的图象只有一个交点,则的值为________.‎ ‎【参考答案】 ‎ ‎【测量目标】 函数与方程;函数的图象.‎ ‎【试题解析】 在同一坐标系内,作出所给直线与函数的大致图象如图,则.‎ 第14题图 ‎ ‎15. 是边长为2的等边三角形,已知向量满足, 则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)‎ ‎ ① 为单位向量; ② 为单位向量; ③ ; ④ ; ⑤ .‎ ‎【参考答案】 ①④⑤ ‎ ‎【测量目标】 平面向量的基本概念和性质.‎ ‎【试题解析】 由题意可知:等边三角形ABC的边长为2,,则,所以=1, 故①正确;‎ ‎, 故②错误,④正确;的夹角为,故③错误;‎ ‎,, 故⑤正确.‎ 三、解答题.‎ ‎16. 已知函数 ‎ (1)求的最小正周期;‎ ‎ (2)求在区间[0, ]上的最大值和最小值.‎ ‎【参考答案】 (1); (2)最大值为,最小值为0.‎ ‎【测量目标】 (1)三角函数的性质;‎ ‎(2)三角函数在区间上的最值.‎ ‎【试题解析】(1)化简可得,则最小正周期;‎ ‎ (2),‎ ‎ 故的最大值为,最小值为0.‎ ‎17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问了50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为 ‎ [40,50], [50,60], [60,70], … ,[80,90],[90,100].‎ 第17题图 ‎ ‎ (1)求频率分布图中的值;‎ ‎ (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;‎ ‎ (3)从评分在[40, 60]的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在[40, 50]的概率.‎ ‎【测量目标】 (1)频率分布直方图;‎ ‎(2)古典概型;‎ ‎(3)随机事件的概率.‎ ‎【试题解析】 (1)由频率分布直方图可知:(0.004++0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得.‎ ‎ (2)由分布直方图可知,评分不低于80的人数为(0.022+0.018)×10×50=20(人),‎ ‎ 所以评分不低于80分的概率为.‎ ‎ (3)在[40, 50]、[50,60]内的人数分别为:0.004×10×50=2,0.006×10×50=3,故在[40,60]内的受访职工中随机抽取2人,此2人评分均在[40,50]之间的概率为:‎ ‎ .‎ ‎18. 已知数列{}是递增的等比数列,且.‎ ‎ (1)求数列{}的通项公式;‎ ‎ (2)设为数列{}的前n项和,,求数列{}的前n项和.‎ ‎【测量目标】(1)等比数列的通项公式;(2)裂项相消法求和.‎ ‎【试题解析】 (1){}是递增的等比数列,且,‎ ‎ , .‎ ‎ (2)由(1)可知,‎ ‎ ,‎ ‎ =.‎ ‎19. 如图三棱锥P-ABC中,PA平面ABC, PA=1,AB=1,AC=2,.‎ ‎ (1)求三棱锥P-ABC的体积;‎ ‎ (2)证明:在线段PC上存在点M, 使得ACBM, 并求的值.‎ 第19题图 ‎ ‎【测量目标】(1)三棱锥的体积公式;‎ ‎(2)线面垂直的判定定理和性质.‎ ‎【试题解析】 (1)在中, AB=1, AC=2, ,‎ ‎ . 又因为PA面ABC,‎ ‎ .‎ ‎ (2)过点B作BN垂直AC于点N, 过N作NMPA交PC于M, 则有 第19题图 ‎ ‎ .‎ ‎ 此时M即为所要找的点,在中,.‎ ‎20. 设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为(),‎ ‎ 点B的坐标为(0, ),点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.‎ ‎ (1)求E的离心率e;‎ ‎ (2)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,证明:.‎ ‎【测量目标】 (1)椭圆的离心率;‎ ‎(2)直线与椭圆的位置关系. ‎ ‎【试题解析】 (1),‎ ‎ 又OM的斜率为,.‎ ‎ (2)由题意可知N点的坐标为(),,‎ ‎ ‎ ‎21. 已知函数 ‎ (1)求的定义域,并讨论的单调性;‎ ‎ (2)若,求在内的极值.‎ ‎【测量目标】 (1)导数在函数单调性中的应用;‎ ‎(2)函数的极值. ‎ ‎【试题解析】(1)由题意可知,所以函数的定义域为.‎ ‎ , ‎ ‎ 令的单调递增区间为;‎ ‎ 令和,的单调递减区间为和.‎ ‎ (2)由(1)可知在内的极大值为. 且在内无极小值.‎