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  • 2021-05-13 发布

新课标备战高考数学知识总结专题11复数

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‎11. 复 数 知识要点 ‎1. ⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即.‎ ‎⑵复数及其相关概念:‎ ① 复数—形如a + bi的数(其中);‎ ② 实数—当b = 0时的复数a + bi,即a;‎ ③ 虚数—当时的复数a + bi;‎ ④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi,即bi.‎ ⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)‎ ⑥ 复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.‎ ‎⑶两个复数相等的定义:‎ ‎.‎ ‎⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.‎ 注:①若为复数,则若,则.(×)[为复数,而不是实数]‎ 若,则.(√)‎ ‎②若,则是的必要不充分条件.(当,‎ 时,上式成立)‎ ‎2. ⑴复平面内的两点间距离公式:.‎ 其中是复平面内的两点所对应的复数,间的距离.‎ 由上可得:复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程:.‎ ‎⑵曲线方程的复数形式:‎ ‎①为圆心,r为半径的圆的方程.‎ ‎②表示线段的垂直平分线的方程.‎ ‎③为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段).‎ ‎④表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线).‎ ‎⑶绝对值不等式:‎ 设是不等于零的复数,则 ‎①.‎ 左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.‎ ‎②.‎ 左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.‎ 注:.‎ ‎3. 共轭复数的性质:‎ ‎ ‎ ‎,(a + bi) ‎ ‎ ‎ ‎() ‎ 注:两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]‎ ‎4 ⑴①复数的乘方:‎ ‎②对任何,及有 ‎③ ‎ 注:①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论.‎ ‎②在实数集成立的. 当为虚数时,,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.‎ ‎⑵常用的结论:‎ ‎ ‎ 若是1的立方虚数根,即,则 .‎ ‎5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件:‎ ‎①.‎ ‎②若,是纯虚数.‎ ‎⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数. 特例:零向量的方向是任意的,其模为零.‎ 注:. ‎ ‎6. ⑴复数的三角形式:.‎ 辐角主值:适合于0≤<的值,记作.‎ 注:①为零时,可取内任意值.‎ ‎②辐角是多值的,都相差2的整数倍.‎ ‎③设则.‎ ‎⑵复数的代数形式与三角形式的互化:‎ ‎,,.‎ ‎⑶几类三角式的标准形式:‎ ‎7. 复数集中解一元二次方程:‎ 在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题:‎ ‎①当时,若>0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若<0,则有二相等复数根(为共轭复数).‎ ‎②当不全为实数时,不能用方程根的情况.‎ ‎③不论为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.‎ ‎8. 复数的三角形式运算:‎ 棣莫弗定理:‎