新课标备战高考数学知识总结专题11复数 4页

‎11. 复 数 知识要点 ‎1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.‎ ‎⑵复数及其相关概念：‎ ① 复数—形如a + bi的数（其中）；‎ ② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；‎ ③ 虚数—当时的复数a + bi；‎ ④ 纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.‎ ⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）‎ ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.‎ ‎⑶两个复数相等的定义：‎ ‎.‎ ‎⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.‎ 注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]‎ 若，则.（√）‎ ‎②若，则是的必要不充分条件.（当，‎ 时，上式成立）‎ ‎2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.‎ 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.‎ 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.‎ ‎⑵曲线方程的复数形式：‎ ‎①为圆心，r为半径的圆的方程.‎ ‎②表示线段的垂直平分线的方程.‎ ‎③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.‎ ‎④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.‎ ‎⑶绝对值不等式：‎ 设是不等于零的复数，则 ‎①.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ ‎②.‎ 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.‎ 注：.‎ ‎3. 共轭复数的性质：‎ ‎ ‎ ‎，（a + bi） ‎ ‎ ‎ ‎（） ‎ 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]‎ ‎4 ⑴①复数的乘方：‎ ‎②对任何，及有 ‎③ ‎ 注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.‎ ‎②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.‎ ‎⑵常用的结论：‎ ‎ ‎ 若是1的立方虚数根，即，则 .‎ ‎5. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：‎ ‎①.‎ ‎②若，是纯虚数.‎ ‎⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.‎ 注：. ‎ ‎6. ⑴复数的三角形式：.‎ 辐角主值：适合于0≤＜的值，记作.‎ 注：①为零时，可取内任意值.‎ ‎②辐角是多值的，都相差2的整数倍.‎ ‎③设则.‎ ‎⑵复数的代数形式与三角形式的互化：‎ ‎，，.‎ ‎⑶几类三角式的标准形式：‎ ‎7. 复数集中解一元二次方程：‎ 在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：‎ ‎①当时，若＞0，则有二不等实数根；若=0，则有二相等实数根；若＜0，则有二相等复数根（为共轭复数）.‎ ‎②当不全为实数时，不能用方程根的情况.‎ ‎③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.‎ ‎8. 复数的三角形式运算：‎ 棣莫弗定理：‎