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- 2021-05-13 发布
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《三角》高考分析及学法指点
七中 孔荣 2012.2.21
一、考试要求.(2014年时可能有些小变化,但大的要求是不可能变的,知识要点没变!)
内容
要求
A
B
C
1.基本初等函数Ⅱ(三角函数)、三角恒等变换
三角函数的有关概念
√
同角三角函数的基本关系式
√
正弦、余弦的诱导公式
√
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
√
函数的图象和性质
√
两角和(差)的正弦、余弦和正切
√
二倍角的正弦、余弦和正切
√
积化和差、和差化积、半角公式(教材对些要求很低)
√
2.解三角形
正弦定理、余弦定理及其应用
√
A级是“了解“,B级是”掌握“,C级是”熟练掌握“,这些同学们可能不是太明白,不用管它,总的来说除两角和与差的三角公式要求最高以外,别的知识只要达到一般的要求就可以了,从知识本身来看,别的知识都比较容易掌握,但两角和与差公式(包括降幂公式)这一节是难点也是重点,高考大题一定与这里的知识有关,所以大家要在这里下大功夫!能学好这里知识,三角无难题了!各知识点具体要求如下:
1.理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.
3.了解周期函数与最小正周期的意义.了解奇函数、偶函数的意义.
4.掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式.
5.能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
6.了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ<2π)的函数的简图,理解A,ω的物理意义.
7.掌握正弦定理、余弦定理,并运用它们解决三角形中的计算、判定、证明问题.
以上知识点,同学们读到上面文字时是否都能一下想到说的是什么呢?能 一下反应过来相关内容的话,说明你基础无大的问题!
二、命题走向(主要让同学们明白三角题在高考中不难,是中等偏易难度)
近几年高考以基础知识、基本方法为主,降低了对三角恒等变形的考查要求,难度较小,位置靠前,重点突出.
三、学习目标:(以下内容主要帮助同学们理清知识要点,不懂的地方请即时花时间补上)
1.清楚角与终边、三角函数的定义域、值域、符号、最值、奇偶性、单调性与周期性.
2.会求简单三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调区间及其周期.
3.会结合三角函数线、三角函数图像的的对称性,解决一些问题.
4.会用三角恒等变换公式化简三角函数式.
(1)三角函数同角关系,平方关系的运用中,务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值,精确确定角的范围,并进行定号”.
(2)三角函数诱导公式的本质是:奇变偶不变,符号看象限.
(3)三角函数变换主要是:角、函数名、次数、系数(常值)的变换,其核心是“角的变换”.
(4)角的变形主要有:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
(5)会求:15o,75o等能撤分成特殊角的三角函数的值.
(6)三角式变形主要有:三角函数名互化(切化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、运算结构的转化(和式与积式的互化).解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:角的线性组合,公式变形使用,化切为弦,用倍角公式将高次降次.
注意:和(差)角的函数结构与符号特征;余弦倍角公式的三种形式选用;降次(升次)公式中的符号特征.“正余弦三个量sinx±cosx,sinx·cosx的内在联系”.
5.清楚三角形中的三角函数.
(1)内角和定理:三角形三角和为π,任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形Û三内角都是锐角Û三内角的余弦值为正值Û任两角和都是钝角Û任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理:===2R(R为三角形外接圆的半径).
注意:已知三角形两边及一角,若运用正弦定理解三角形,可能有两解.
(3)余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA,cosA=,常选用余弦定理判定三角形的形状.
(4)面积公式:S=aha=absinC=.(重点掌握:S=absinC)
四、高考考点分析(让同们知道高考大致怎么在出考题,以及大约考多少分值)
高考中三角部分所占分值在20分左右,通常是2小题(最少1个,最多时达到过3个,最近三年四川都是1个小题)1个解答题的形式出现.主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次:
第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题.如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性、单调区间等.
第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用.如辅助角公式、切化弦等.
第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题.如分段函数值,求复合函数值域等.
五、基本题型与策略:
基本题型一:三角函数基础知识题,以考查三角函数的基本性质(符号、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性)为主.
例1 计算:tan2010°=___________.
说明:利用商数关系、正弦、余弦的诱导公式、商数关系化为tan30°,或直接利用正切函数的周期性化为tan30°.
例2 若cosθ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边所在象限是___________象限.
说明:利用正弦的倍角公式化为cosθ>0,sinθ<0.
例3 设a=sin,b=cos,c=tan,则a,b,c的大小关系是____________.
说明:利用诱导公式化为a=sin,b=cos,c=tan.
例4 (1)函数f(x)=sin(πx-)-1的最小正周期为___________;
(2)若函数f(x)=cos(wx-)(w>0)的最小正周期为,则w=____________.
说明:直接利用周期公式.课本只给出了函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,w>0,0≤φ<2π)的周期公式.
例5 函数f(x)=sin(2x-)-1在区间[0,π]上的单调增区间为___________;
说明:将2x-看作一个变量t,求出t的范围,结合t=2x-是x单调增函数,求y=sint的单调增区间与t的值域的交集.
基本策略:(1)诱导公式的特点是“奇变偶不变,符号看象限”;判定一个角的位置,要用这个角的两个三角函数值的符号来判定;(3)比较几个三角函数值的大小,常常化为锐角的同名三角函数值比较大小,或化为同一个锐角的三角函数值比较大小,找一个中间量,如的三角函数值;(4)利用周期公式求函数的最小正周期时,要掌握掌握正弦、余弦、正切的周期;(5)要能熟练地写出正弦、余弦、正切函数的单调区间.
基本题型二:经过简单的三角恒等变形、化简后,求值、研究性质.
例6 计算:tan70ocos10o+sin10otan70o-2cos40o=________________.
说明:提取tan70o,利用辅助角公式.
例7 若sin(-α)=,则cos(+2α)=___________.
说明:设-α=β,则α=-β,从而+2α=π-2β.利用倍角公式.
例8 函数f(x)=sin(πx-)-1的奇偶性为___________;
说明:f(x)=-cosx-1.
基本策略:(1)切化弦,和差公式的逆应用;(2)已知组合角的三角函数值,求另一个组合角的三角函数值,常常用对用已知值的角线性表示未知值的角;(3)对于与三角函数有关的函数奇偶性的判别,一般先化简,再结合正弦、余弦函数的奇偶性进行判别.
基本题型三:综合考查三角恒等变形和三角函数的基本性质.
例9 (1)已知tan(+α)=2,求的值.
(2)已知tan(+α)=.(Ⅰ)求tanα的值;(Ⅱ)求的值.
说明:(1)由tan(+α)=2,求出tanα=,从而cosα=3sinα.又cos2α+sin2α=1,得sin2α=,从而2sinαcosα+cos2α=6sin2α+9sin2α=15sin2α=.
例10 已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[,π],求sin(2α+)的值.
说明:cosα=2sinα或cosα=-sinα.因为α∈[,π],所以sinα>0,cosα>0,所以cosα=2
sinα.又cos2α+sin2α=1,得sin2α=,从而sin(2α+)=sin2α+cos2α=sinαcosα+(1-2sin2α)=sin2α+=+.
例11 函数f(x)=sin2(x+)-sin2(x-)的最小正周期是_______,奇偶性是______.
说明:f(x)=sin2(x+)-sin2(x-)=cos2(x-)-sin2(x-)=cos2(x-)=-cos2x.
例12 求函数y=sin4x+2sinxcosx-cos4x的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.
说明:先化简,y=sin4x-cos4x+2sinxcosx=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+2sinxcosx=sin2x-cos2x=2sin(2x-),在分别求最小正周期、最小值以及在[0,π]上的单调递增区间.
基本策略:(1)单角的“切”给出了“弦”的比例关系,是“明线”,而“弦”的平方关系是“暗线”,利用这两个关系,可以求出单角“弦”的平方,从而求出倍角的“弦”;(2)利用恒等变形,化为“一个角的一个三角函数的一次式y=Asin(ωx+φ)+k(w>0,0≤φ<2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法.其中,对于函数f(x)=sin(ωx+φ)(w>0,0≤φ<2π)的单调性,要用整体化的观点,将ωx+φ看作是一个角的大小,结合y=sinx的单调区间和ωx+φ关于x的单调性进行判断.
基本题型四:三角函数的图像变换与解析式.
例13 把函数y=sinx,x∈R的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是_____.
说明:sinx→sin(x+)→sin(x+).
例14 将函数y=sin(2x+)的图象按向量a=(m,0)(其中|m|≤π)平移后所得的图象关于点(-,0)中心对称,则m=____________.
说明:y=sin(2x+)→y=sin[2(x-m)+]=sin(2x+-2m).令2×(-)+-2m=kπ,k∈Z,得m=(-k)π,k∈Z.由于|m|≤π,所以k=0,从而m=.
方法二:函数y=sin(2x+)的周期是π,图象的一个对称中心为(-,0),从而m=.
1
y
x
-
O
例15 若函数f(x)=sin(ωx+φ)(w>0,0≤φ<2π)的图象(部分)如图所示,则ω=_________,φ=_________.
说明:方法一 由图知T=4×[-(-)]=2π,所以ω=1,从而
eq f(2π,3)+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=2kπ-,k∈Z.因为0≤φ<2π,所以φ=.
方法二 由图知T=4×[-(-)]=2π,所以ω=1,所以f(x)的图像可以看作是sinx的图像向右移了个单位,即向左移了个单位,.因为0≤φ<2π,所以φ=.
基本策略:根据函数的图像先确定振幅A,再确定周期T.利用周期求出角速度ω,最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值.一般不用平衡点(零点)来确定.三角函数图像的变换,每一次变换前,应先将“已知”函数一般化,写成f(x)的形式,再分别按照f(x)→f(x-a),f(x)→f(ωx),f(x)→f(x)+k,f(x)→Af(x)的变化特征写出变换后的函数解析式.
基本题型五:三角形中的三角函数与正弦定理、余弦定理的应用.
例16 (1)在ΔABC中,“A>30º”是“sinA>”的___________条件.
(2)在ΔABC中,已知BC=12,A=60o,B=45o,则AC=___________.
说明:(1)必要不充分条件;(关于条件和结论的关系这在以后会学到,不懂的可暂跳过此题)(2)利用正弦定理,先求出AC,再利用正弦定理或余弦定理求出.
例17 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=c.
(Ⅰ)求tanAcotB的值;(Ⅱ)求tan(A-B)的最大值.
说明:利用正弦定理转化为三角函数的等式.
α
β
θ
例18 (07海南·宁夏)如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得CD=s,ÐBCD=α,ÐCDB=β,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
说明 先在△BCD中求出BC,再在△ABC中求出AB.
基本策略:条件中给出了三角形中的边角关系,应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角.在三角应用题中,应根据已知条件构造确定的三角形,构造的依据是全等三角形的条件.
基本题型六:三角知识与向量、数列、不等式等知识的综合应用.
(数列、不等式知识在后面马上就会学到,但主要是向量和三角的结合)
例19 已知向量a=(cosx,sinx),b=(cosx,-sinx),且x∈[0,].
(Ⅰ)求a·b及|a+b|;(Ⅱ)若f(l)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-,求λ的值.
说明 (Ⅰ)a·b=cosxcosx-sinxsinx=cos2x,x∈[0,].
因为a+b=(cosx+cosx,sinx-sinx),所以
|a+b|===2|cosx|=2cosx,x∈[0,].
(Ⅱ)f(l)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx=2cos2x-4λcosx-1=2(cosx-λ)2-2λ2-1.
因为x∈[0,],所以cosx∈[0,1],以下分类讨论.
基本策略:先根据向量的运算建立目标函数,转化为三角函数式,或基本初等函数Ⅰ对三角函数的复合函数,综合利用恒等变形、变量代换、基本不等式、导数等知识解决问题.
以上这么多可能同学们看得有点晕,我这里再给大家简化下,其实三角的考题重点掌握三类:(1)求值类。
(2)三角函数的图象和性质。
这类题大多先要进行三角变换将三角式化简,最后才研究三角函数的性质,比如求最值,以及化简后的函数如何由y=sinx经过平移和放缩变换得到,等等。三角最值问题主要有两类:化为正弦型y=Asin(ωx+φ)+B或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+B;转化为以形如sinx或cosx为变量的二次函数。
(3)三角形内的三角问题。
此时一定要充分利用正弦定理和余弦定理实现边角转化,大多转化为角的关系再探究。
以上三类问题主要用到的公式是诱导公式,同角基本关系,三角函数符号规律,两角和与差的三角公式,二倍角公式,降幂公式,正、余弦定理。但最核心的公式是两角和与差,二倍角公式和降幂公式。
六、近三年四川高考理科试题:
2011年试题:
1.(第6题)在ABC中..则A的取值范围是 ( )
A.(0,] B.[ ,) C.(0,] D.[ ,)
答案:C
解析:由题意正弦定理
2.(本小题共12分)(第17题)
已知函数
(1)求的最小正周期和最小值;
(2)已知,求证:
解析:
(2)
2010年试题:
(6)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是
(A) (B)
(C) (D)
(19)(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明两角和的余弦公式;
由推导两角和的正弦公式.
(Ⅱ)已知△ABC的面积,且,求.
2009年试题:
4.已知函数,下面结论错误的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数
C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数
答案选:(D)
17. (本小题满分12分)
在中,为锐角,角所对应的边分别为,且
(I)求的值;
(II)若,求的值。
本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。
解:(Ⅰ)、为锐角,,
又,
,,
…………………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.
由正弦定理得
,即,
,
,
……………………
以上给同学们展示的近三年的四川高考试题,主要是让大家感受一下高考试题到底在考什么,难度有多大,希望大家按照我平时对大家的要求去做,抓好基础,三角这一节是能学得很好的,相信大家高考时都有希望把这20来分全抓到手的!有什么学习上的问题请主动跟我说,在群里提也行,只要我有时间,我定会帮大家的!同学们,我们一起加油!!!