高考数学理平面向量线性运算及综合应用问题目二轮提高练习题目 5页

‎　平面向量线性运算及综合应用问题 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是 ‎(　　)．‎ A．a∥b B．a⊥b ‎ C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b ‎2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝‎ ‎(　　)．‎ A．1 B. C. D．2‎ ‎3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝‎ ‎(　　)．‎ A. B. C．－ D．－ ‎4．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝‎ ‎(　　)．‎ A. B. C. D. ‎5．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为 ‎(　　)．‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.‎ ‎7．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．‎ ‎8．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．‎ 三、解答题(本题共3小题，共35分)‎ ‎9．(11分)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1，0)．‎ ‎(1)若x＝，求向量a，c的夹角；‎ ‎(2)当x∈，时，求函数f(x)＝‎2a·b＋1的最大值．‎ ‎10．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1,0)．‎ ‎(1)求向量b＋c的长度的最大值；‎ ‎(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．[]‎ ‎11．(12分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin Ccos C－cos‎2C＝，且c＝3.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a、b的值．‎ 参考答案 ‎1．B　[两边平方求解．由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简得a·b＝0，又a，b都是非零向量，所以a⊥b.]‎ ‎2．C　[如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|＝1，‎ ‎∴△AOB为正三角形，‎ ‎∴|a－b|2＝a2＋b2－‎2a·b＝2－‎2a·b＝1，‎ ‎∴a·b＝，‎ ‎∴|a＋b|2＝a2＋b2＋‎2a·b＝1＋1＋2×＝3，‎ ‎∴|a＋b|＝.]‎ ‎3．A　[由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.]‎ ‎4．C　[依题意得，sin Acos B＋cos Asin B＝1＋cos(A＋B)，‎ sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sin C＋cos C＝1，‎ ‎2sinC＋＝1，sinC＋＝.又＜C＋＜，‎ 因此C＋＝，C＝，选C.]‎ ‎5．B　[由(a＋2b)·(a－b)＝|a|2＋a·b－2|b|2＝－2，得a·b＝2，即|a|·|b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝.故〈a，b〉＝.]‎ ‎6．解析　a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，‎ 又∵a－2b与c共线，∴a－2b∥c，‎ ‎∴×－3×k＝0，解得k＝1.‎ 答案　1‎ ‎7．解析　由题意：c＝－(a＋b)，又因为(a－b)⊥c，a⊥b，‎ 可得⇒ ‎⇒|c|2＝(－a－b)2＝2，所以|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.‎ 答案　4‎ ‎8．解析　以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，‎ ‎0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2)(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝.‎ 答案　 ‎9．解　(1)当x＝时，‎ cos〈a，c〉＝＝ ‎＝－cos x＝－cos ＝cos .‎ 因为0≤〈a，c〉≤π，所以〈a，c〉＝.‎ ‎(2)f(x)＝‎2a·b＋1＝2(－cos2x＋sin xcos x)＋1‎ ‎＝2sin xcos x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin2x－.‎ 因为x∈，，所以2x－∈，2π，‎ 故sin2x－∈－1，.所以，当2x－＝，‎ 即x＝时，[f(x)]max＝1.‎ ‎10．解　(1)b＋c＝(cos β－1，sin β)，则 ‎|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．‎ ‎∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，‎ 即0≤|b＋c|≤2.‎ 当cos β＝－1时，有|b＋c|＝2，‎ 所以向量b＋c的长度的最大值为2.‎ ‎(2)由已知可得b＋c＝(cos β－1，sin β)，‎ a·(b＋c)＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.‎ ‎∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，‎ 即cos(α－β)＝cos α.‎ 由α＝，得cos－β＝cos ，‎ 即β－＝2kπ±(k∈Z)．‎ ‎∴β＝2kπ＋或β＝2kπ(k∈Z)，‎ 于是cos β＝0或cos β＝1.‎ ‎11．解　(1)∵sin Ccos C－cos‎2C＝，‎ ‎∴sin ‎2C－cos ‎2C＝1，即sin‎2C－＝1，‎ ‎∵0＜C＜π，∴ 2C－＝，解得C＝.‎ ‎(2)∵m与n共线，∴sin B－2sin A＝0，‎ 由正弦定理＝，得b＝‎2a，①‎ ‎∵c＝3，由余弦定理，得9＝a2＋b2－2abcos ，②‎ 联立方程①②，得