2008年重庆高考理科数学试题及答案 11页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学试题卷（理工农医类）‎ 数学试题卷(理工农医类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。‎ ‎2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。‎ ‎4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。‎ ‎5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 ‎ 参考公式：‎ 如果事件A、B互斥，那么　　　P(A+B)=P(A)+P(B) 　‎ 如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) ‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率　　‎ Pn(K)=kmPk(1-P)n-k 以R为半径的球的体积V=πR3.‎ 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）复数1+=‎ ‎(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3‎ ‎(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的 ‎(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 ‎ ‎(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎ (3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是 ‎(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 ‎ ‎(4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(＜3＝‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是 ‎(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数 ‎(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数 ‎ ‎(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为 ‎(A)－ (B) － (C) (D) ‎ ‎(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为 ‎（A）－=1 (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎ (9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是 ‎（A）V1= (B) V2=‎ ‎（C）V1> V2 （D）V1< V2‎ ‎(10)函数f(x)=() 的值域是 ‎（A）[-] (B)[-1,0]‎ ‎（C）[-] （D）[-]‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 ‎（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB)= .‎ ‎（12）已知函数f(x)=(当x0时) ，点在x=0处连续，则 .‎ ‎(13)已知(a>0) ，则 .‎ ‎(14)设Sn=是等差数列{an}的前n项和，a12=-8,S9=-9,则S16= .‎ ‎（15）直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .‎ ‎(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）‎ 设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：‎ ‎（Ⅰ）的值；‎ ‎（Ⅱ）cotB+cot C的值.‎ ‎（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）‎ 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：‎ ‎（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；‎ ‎（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.‎ ‎（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）‎ 如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使 ‎,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：‎ ‎（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.‎ ‎ ‎ ‎（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）‎ ‎　　　设函数曲线y=f(x)通过点（0，‎2a+3），且在点（-1，f（-1））‎ 处的切线垂直于y轴.‎ ‎（Ⅰ）用a分别表示b和c；‎ ‎（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间.‎ ‎（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎　　　如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求点P的坐标.‎ ‎（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）‎ ‎　　　设各项均为正数的数列{an}满足.‎ ‎（Ⅰ）若，求a3，a4，并猜想a2cos的值（不需证明）；‎ ‎（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题（理工农医类）答案 一、选择题：每小题5分，满分50分.‎ ‎（1）A （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C ‎（7）A （8）C （9）D （10）B 二、填空题：每小题4分，满分24分.‎ ‎（11） （12） （13）3 （14）-72 （15）x-y+1=0 （16）216‎ 三、解答题：满分76分.‎ ‎（17）（本小题13分）‎ ‎　　　解：（Ⅰ）由余弦定理得 ‎＝‎ 故 ‎（Ⅱ）解法一：‎ ‎　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　＝‎ ‎　　　　　　由正弦定理和（Ⅰ）的结论得 ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　故 ‎　　解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有 ‎　　　　　‎ ‎　　　　　　　＝‎ ‎　　　　　故 ‎　　　　　同理可得 ‎　　　　‎ ‎　　　　　‎ ‎　　　　　从而 ‎（18）（本小题13分）‎ ‎　　　解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.‎ ‎　　　　（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比 赛还未停止的概率为 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且 ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　‎ ‎ 　　　故有分布列 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　从而（局）.‎ ‎（19）（本小题13分）‎ ‎　　　解法一：‎ ‎　　（Ⅰ）在答（19）图1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，从而 AD⊥DE.‎ 在第（19）图2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，从 而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB为异面直线AD与BC的公垂线.‎ 下求DB之长.在答（19）图1中，由，得 又已知DE=3,从而 ‎ ‎ 因 ‎（Ⅱ）在第（19）图2中，过D作DF⊥CE,交CE的延长线于F，连接AF.由（1）知，‎ AD⊥底面DBCE,由三垂线定理知AF⊥FC,故∠AFD为二面角A-BC-B的平面 角.‎ 在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,‎ 因此 从而在Rt△DFE中，DE=3,‎ 在 因此所求二面角A-EC-B的大小为arctan 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一.‎ ‎（Ⅱ）如答（19）图3.由（Ⅰ）知，以D点为坐标原点，的方向为x、‎ y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（0，0，4），‎ ‎，E（0，3，0）.‎ 过D作DF⊥CE,交CE的延长线 于F，连接AF.‎ 设从而 ‎ ，有 ‎ ①‎ ‎ 又由 ②‎ ‎ 联立①、②，解得 ‎ 因为,故,又因,所以为所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以 ‎ 因此所求二面角A-EC-B的大小为 ‎(20)（本小题13分）‎ 解：(Ⅰ)因为 ‎ 又因为曲线通过点（0，‎2a+3）,‎ ‎ 故 ‎ 又曲线在（-1，f(-1)）处的切线垂直于y轴，故 ‎ 即‎-2a+b=0,因此b=‎2a.‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ‎ 故当时，取得最小值-.‎ ‎ 此时有 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 令，解得 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 由此可见，函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）.‎ ‎(21)（本小题12分）‎ ‎ 解：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长‎2a=6的椭圆.‎ ‎ 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=，‎ ‎ 所以椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)由得 ‎ ①‎ ‎ 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，‎ ‎ ②‎ ‎ 将①代入②，得 ‎ ‎ ‎ 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.‎ ‎ 由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以 ‎ 由方程组 解得 ‎ 即P点坐标为 ‎(22)(本小题12分)‎ ‎ 解：(Ⅰ)因 ‎ ‎ ‎ 由此有，故猜想的通项为 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）令 ‎ 由题设知x1=1且 ‎ ①‎ ‎ ‎ ‎ ②‎ ‎ 因②式对n=2成立，有 ‎ ③‎ ‎ 下用反证法证明：‎ ‎ 由①得 ‎ 因此数列是首项为，公比为的等比数列.故 ‎ ④‎ ‎ 又由①知 ‎ ‎ 因此是是首项为，公比为-2的等比数列,所以 ‎ ⑤‎ ‎ 由④-⑤得 ‎ ⑥‎ ‎ 对n求和得 ‎ ⑦‎ ‎ 由题设知 ‎ ‎ ‎ 即不等式 ‎ ‎ ‎22k+1＜‎ 对kN*恒成立.但这是不可能的，矛盾.‎ 因此x2≤,结合③式知x2=,因此a2=2*2=‎ 将x2=代入⑦式得 Sn=2－(nN*),‎ 所以bn=2Sn=22－(nN*)‎