2013高考数学理一轮复习第十三篇推理证明算法复数数学归纳法 9页

第 4 讲 数学归纳法 【2013 年高考会这样考】 1．数学归纳法的原理及其步骤． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【复习指导】 复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的 一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧． 基础梳理 1．归纳法 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查 的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法． 2．数学归纳法 (1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题 P1(或 P0)成 立；②在假设 Pk 成立的前提下，推出 Pk＋1 也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立． (2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： ①归纳奠基：证明当取第一个自然数 n0 时命题成立； ②归纳递推：假设 n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当 n＝k＋1 时，命题成立； ③由①②得出结论． 两个防范 数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第 二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点： (1)第一步验证 n＝n0 时，n0 不一定为 1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明 n＝k＋1 时，命题也成立的过程中 一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”． 三个注意 运用数学归纳法应注意以下三点： (1)n＝n0 时成立，要弄清楚命题的含义． (2)由假设 n＝k 成立证 n＝k＋1 时，要推导详实，并且一定要运用 n＝k 成立的结论． (3)要注意 n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项数． 双基自测 1．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为  1 32 n n 条时，第一步检验第一个值 0n 等于 ( ) A．1 B．2 C．3 D．0 解析 边数最少的凸 n 边形是三角形． 答案 C 2．利用数学归纳法证明不等式  1 1 11 ...2 3 2 1n f n      *2,n n N  的过程，由 n k 到 1n k  时，左边增加了( )． A．1 项 B．k 项 C．2k－1 项 D．2k 项 解析 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2k＋1－1 － 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2k－1 ＝1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋…＋ 1 2k＋1－1 ，共增加了 2k 项，故选 D. 答案 D 3．用数学归纳法证明：“ 2 2 1 11 ... 1 n n aa a a a          *1,a n N  ”在验证 1n  时，左端计 算所得的项为( )． A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案 C 4．某个命题与自然数n有关，若  *n k k N  时命题成立，那么可推得当 1n k  时该命题也 成立，现已知 5n  时，该命题不成立，那么可以推得( )． A． 6n  时该命题不成立 B． 6n  时该命题成立 C． 4n  时该命题不成立 D． 4n  时该命题成立 解析 法一 由 n＝k(k∈N*)成立，可推得当 n＝k＋1 时该命题也成立．因而若 n＝4 成立， 必有 n＝5 成立．现知 n＝5 不成立，所以 n＝4 一定不成立． 法二 其逆否命题“若当 n＝k＋1 时该命题不成立，则当 n＝k 时也不成立”为真，故“n＝5 时不成立”⇒“n＝4 时不成立”． 答案 C 5．用数学归纳法证明不等式 1 1 1 13...1 2 24n n n n       的过程中，由n k 推导 1n k  时， 不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 － 1 k＋1 ＝ 1 2k＋12k＋2 ，故填 1 2k＋12k＋2. 答案 1 2k＋12k＋2 考向一 用数学归纳法证明等式 【例 1】用数学归纳法证明： tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝tan nα tan α －n(n∈N*，n≥2)． [审题视点] 注意第一步验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知． 证明 (1)当 n＝2 时，右边＝tan 2α tan α －2＝ 2 1－tan2α －2＝ 2tan2α 1－tan2α ＝tan α·tan 2α＝左边，等式成 立． (2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥2)时，等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝tan kα tan α －k， 那么当 n＝k＋1 时， tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝tan kα tan α －k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝tan kα tan α ＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1) ＝tan kα tan α ＋tank＋1α－tan kα tan[k＋1α－kα] －(k＋1) ＝tank＋1α tan α －(k＋1)． 这就是说，当 n＝k＋1 时等式也成立． 由(1)(2)知，对任何 n∈N*且 n≥2，原等式成立． 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证 n0 的值，如本题要取 n0＝2，在第 (2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式． 【训练 1】 用数学归纳法证明： 对任意的 n∈N*， 1 1×3 ＋ 1 3×5 ＋…＋ 1 2n－12n＋1 ＝ n 2n＋1. 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝ 1 1×3 ＝1 3 ，右边 1 2×1＋1 ＝1 3 ，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*且 k≥1)时等式成立，即有 1 1×3 ＋ 1 3×5 ＋…＋ 1 2k－12k＋1 ＝ k 2k＋1 ， 则当 n＝k＋1 时， 1 1×3 ＋ 1 3×5 ＋…＋ 1 2k－12k＋1 ＋ 1 2k＋12k＋3 ＝ k 2k＋1 ＋ 1 2k＋12k＋3 ＝ k2k＋3＋1 2k＋12k＋3 ＝ 2k2＋3k＋1 2k＋12k＋3 ＝ k＋1 2k＋3 ＝ k＋1 2k＋1＋1 ， 所以当 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切 n∈N*等式都成立． 考向二 用数学归纳法证明整除问题 【例 2】►是否存在正整数 m 使得 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 对任意自然数 n 都能被 m 整除，若存在， 求出最大的 m 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由． [审题视点] 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项． 解 由 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜 想：m＝36. 下面用数学归纳法证明： (1)当 n＝1 时，显然成立； (2)假设 n＝k(k∈N*且 k≥1)时，f(k)能被 36 整除，即 f(k)＝(2k＋7)·3k＋9 能被 36 整除；当 n ＝k＋1 时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k －1－1)， 由于 3k－1－1 是 2 的倍数，故 18(3k－1－1)能被 36 整除，这就是说，当 n＝k＋1 时，f(n)也能被 36 整除． 由(1)(2)可知对一切正整数 n 都有 f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除，m 的最大值为 36. 证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题获证． 【训练 2】 用数学归纳法证明 an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a＋1 整除． 证明 (1)当 n＝1 时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1 可被 a2＋a＋1 整除． (2)假设 n＝k(k∈N*且 k≥1)时， ak＋1＋(a＋1)2k－1 能被 a2＋a＋1 整除， 则当 n＝k＋1 时， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak ＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知 a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被 a2＋a＋1 整除，(a2 ＋a＋1)(a＋1)2k－1 也能被 a2＋a＋1 整除， ∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1 也能被 a2＋a＋1 整除， 即 n＝k＋1 时命题也成立， ∴对任意 n∈N*原命题成立． 考向三 用数学归纳法证明不等式 【 例 3 】 ► 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 对 一 切 大 于 1 的 自 然 数 ， 不 等 式 1＋1 3 1＋1 5 ·…· 1＋ 1 2n－1 > 2n＋1 2 均成立． [审题视点] 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”． 证明 (1)当 n＝2 时，左边＝1＋1 3 ＝4 3 ；右边＝ 5 2 . ∵左边>右边，∴不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N*)时不等式成立， 即 1＋1 3 1＋1 5 ·…· 1＋ 1 2k－1 > 2k＋1 2 . 则当 n＝k＋1 时， 1＋1 3 1＋1 5 ·…· 1＋ 1 2k－1 1＋ 1 2k＋1－1 > 2k＋1 2 ·2k＋2 2k＋1 ＝ 2k＋2 2 2k＋1 ＝ 4k2＋8k＋4 2 2k＋1 > 4k2＋8k＋3 2 2k＋1 ＝ 2k＋3 2k＋1 2 2k＋1 ＝ 2k＋1＋1 2 . ∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)(2)知，对于一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立． 在由 n＝k 到 n＝k＋1 的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳 法证明不等式问题时，从 n＝k 到 n＝k＋1 的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、 分析法、综合法、放缩法等． 【训练 3】 已知函数 f(x)＝1 3x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较 1 1＋a1 ＋ 1 1＋a2 ＋ 1 1＋a3 ＋…＋ 1 1＋an 与 1 的大小，并说明理由． 解 ∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1. ∵函数 g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x 在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由 a1≥1，得 a2≥(a1＋1)2 －1≥22－1，进而得 a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： ①当 n＝1 时，a1≥21－1＝1，结论成立； ②假设 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时结论成立，即 ak≥2k－1，则当 n＝k＋1 时，由 g(x)＝(x＋1)2－1 在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即 n＝k＋1 时，结论也 成立． 由①、②知，对任意 n∈N*，都有 an≥2n－1. 即 1＋an≥2n，∴ 1 1＋an ≤ 1 2n ， ∴ 1 1＋a1 ＋ 1 1＋a2 ＋ 1 1＋a3 ＋…＋ 1 1＋an ≤1 2 ＋ 1 22 ＋ 1 23 ＋…＋ 1 2n ＝1－ 1 2 n＜1. 考向四 归纳、猜想、证明 【例 4】►数列{an}满足 Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)计算 a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式 an； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． [审题视点] 利用 Sn 与 an 的关系式求出{an}的前几项，然后归纳出 an，并用数学归纳法证明． 解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 当 n＝2 时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝3 2. 当 n＝3 时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝7 4. 当 n＝4 时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝15 8 . 由此猜想 an＝2n－1 2n－1 (n∈N*)． (2)证明 ①当 n＝1 时，左边＝a1＝1，右边＝21－1 20 ＝1，左边＝右边，结论成立． ②假设 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时，结论成立，即 ak＝2k－1 2k－1 ，那么 n＝k＋1 时， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak， ∴ak＋1＝2＋ak 2 ＝ 2＋2k－1 2k－1 2 ＝2k＋1－1 2k ， 这表明 n＝k＋1 时，结论成立， 由①②知猜想 an＝2n－1 2n－1 成立． (1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存 在性问题，本例从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律． (2)数列是定义在 N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式 与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决． 【训练 4】 由下列各式 1＞1 2 ， 1＋1 2 ＋1 3 ＞1， 1＋1 2 ＋1 3 ＋1 4 ＋1 5 ＋1 6 ＋1 7 ＞3 2 ， 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 15 ＞2， 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 31 ＞5 2 ， …，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明． 答案 猜想：第 n 个不等式为 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2n－1 ＞n 2(n∈N*)． (1)当 n＝1 时，1＞1 2 ，猜想正确． (2)假设当 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时猜想正确， 即 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2k－1 ＞k 2 ， 那么，当 n＝k＋1 时， 1＋1 2 ＋1 3 ＋…＋ 1 2k－1 ＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋…＋ 1 2k＋1－1 ＞k 2 ＋ 1 2k ＋ 1 2k＋1 ＋…＋ 1 2k＋1－1 ＞k 2 ＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋1 ＋…＋ 1 2k＋1 ＝k 2 ＋ 2k 2k＋1 ＝k 2 ＋1 2 ＝k＋1 2 . 即当 n＝k＋1 时，不等式成立． ∴对于任意 n∈N*，不等式恒成立． 阅卷报告 20——由于方法选择不当导致失误 【问题诊断】 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的 构成规律，等式的两边各有多少项，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式的两边会增加多少项，增加 怎样的项，其难点在于归纳假设后，如何推证对下一个正整数值命题也成立. 【防范措施】 把归纳假设当做已知条件参加推理.明确对下一个正整数值命题成立的目标， 通过适当的变换达到这个目标，这里可以使用综合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使 用数学归纳法. 【示例】► 在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1 成等差数列，bn，an＋1，bn＋1 成等比数列(n∈N*)． (1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论； (2)证明： 1 a1＋b1 ＋ 1 a2＋b2 ＋…＋ 1 an＋bn ＜ 5 12. 实录 (1)由条件得 2bn＝an＋an＋1，a2n＋1＝bnbn＋1. 由此可得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立． ②假设当 n＝k(k≥1 且 k∈N*)时，结论成立， 即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝a2k＋1 bk ＝(k＋2)2， 所以当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②，可知 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2 对一切正整数都成立． 错因 第二问由于不等式的右端为常数，结论本身是不能用数学归纳法证明的，可考虑用放 缩法证明，也可考虑加强不等式后，用数学归纳法证明．(2)当 n＝1 时 1 a1＋b1 ＝1 6 ＜ 5 12 假设 n＝k(k∈N*)时不等式成立 即 1 a1＋b1 ＋ 1 a2＋b2 ＋…＋ 1 ak＋bk ＜ 5 12 当 n＝k＋1 时 1 a1＋b1 ＋ 1 a2＋b2 ＋…＋ 1 ak＋bk ＋ 1 ak＋1＋bk＋1 ＜ 5 12 ＋ 1 ak＋1＋bk＋1 到此无法用数学归纳法证明． 正解 (1)用实录(1) (2)证明： 1 a1＋b1 ＝1 6 ＜ 5 12. n≥2 时，由(1)知 an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故 1 a1＋b1 ＋ 1 a2＋b2 ＋…＋ 1 an＋bn ＜1 6 ＋1 2 1 2×3 ＋ 1 3×4 ＋…＋ 1 nn＋1 ＝1 6 ＋1 2 1 2 －1 3 ＋1 3 －1 4 ＋…＋1 n － 1 n＋1 ＝1 6 ＋1 2 1 2 － 1 n＋1 ＜1 6 ＋1 4 ＝ 5 12. 综上，原不等式成立．