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  • 2021-05-13 发布

北京四中数学高考总复习数列的应用之知识讲解例题及答案

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北京四中数学高考总复习:数列的应用之知识讲解、经典例题及答案 知识网络:‎ ‎            目标认知 考试大纲要求:   1.等差数列、等比数列公式、性质的综合及实际应用;   2.掌握常见的求数列通项的一般方法;   3.能综合应用等差、等比数列的公式和性质,并能解决简单的实际问题.   4.用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 重点:   1.掌握常见的求数列通项的一般方法;   3.用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题 难点:   用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题. 知识要点梳理 知识点一:通项与前n项和的关系   任意数列的前n项和;      注意:由前n项和求数列通项时,要分三步进行:   (1)求,   (2)求出当n≥2时的,   (3)如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立,则最后的通项公式可以统一写成一个形式,否则就只能写成分段的形式. ‎ 知识点二:常见的由递推关系求数列通项的方法 1.迭加累加法:   ,   则,,…,     2.迭乘累乘法:   ,   则,,…,    知识点三:数列应用问题   1.数列应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率(复利)以及等值增减等实际问题,需利用数列知识建立数学模型.   2.建立数学模型的一般方法步骤.   ①认真审题,准确理解题意,达到如下要求:   ⑴明确问题属于哪类应用问题;   ⑵弄清题目中的主要已知事项;   ⑶明确所求的结论是什么.   ②抓住数量关系,联想数学知识和数学方法,恰当引入参数变量或适当建立坐标系,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表达.   ③将实际问题抽象为数学问题,将已知与所求联系起来,据题意列出满足题意的数学关系式(如函数关系、方程、不等式). 规律方法指导   1.由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想;   2.数列是一种特殊的函数,学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.   3.加强数列知识与函数、不等式、方程、对数、立体几何、三角等内容的综合.解决这些问题要注意:   (1)通过知识间的相互转化,更好地掌握数学中的转化思想;   (2)通过解数列与其他知识的综合问题,培养分析问题和解决问题的综合能力.‎ 经典例题精析 类型一:迭加法求数列通项公式   1.在数列中,,,求.   解析:∵,      当时,      ,      ,      ,                  将上面个式子相加得到:            ∴(),      当时,符合上式      故.   总结升华:   1. 在数列中,,若为常数,则数列是等差数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等差数列.   2.当数列的递推公式是形如的解析式,而的和是可求的,则可用多式累(迭)加法得.   举一反三:   【变式1】已知数列,,,求.   【答案】‎ ‎   【变式2】数列中,,求通项公式.   【答案】. 类型二:迭乘法求数列通项公式   2.设是首项为1的正项数列,且,求它的通项公式.   解析:由题意      ∴      ∵,∴,      ∴,       ∴,又,      ∴当时,,      当时,符合上式      ∴.   总结升华:   1. 在数列中,,若为常数且,则数列是等比数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等比数列.   2.若数列有形如的解析关系,而的积是可求的,则可用多式累(迭)乘法求得.   举一反三:   【变式1】在数列中,,,求 ‎.   【答案】   【变式2】已知数列中,,,求通项公式.   【答案】由得,∴ ,        ∴,        ∴当时,                       当时,符合上式       ∴ 类型三:倒数法求通项公式   3.数列中,,,求.   思路点拨:对两边同除以得即可.   解析:∵,∴两边同除以得,      ∴成等差数列,公差为d=5,首项,      ∴‎ ‎,      ∴.   总结升华:   1.两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而恰是等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项.   2.若数列有形如的关系,则可在等式两边同乘以,先求出,再求得.   举一反三:   【变式1】数列中,,,求.   【答案】   【变式2】数列中,,,求.   【答案】. 类型四:待定系数法求通项公式   4.已知数列中,,,求.   法一:设,解得      即原式化为 ‎      设,则数列为等比数列,且      ∴   法二:∵  ①        ②      由①-②得:      设,则数列为等比数列      ∴      ∴      ∴   法三:,,,……,      ,      ∴   总结升华:   1.一般地,对已知数列的项满足,(为常数,),则可设得,利用已知得即,从而将数列转化为求等比数列 的通项.第二种方法利用了递推关系式作差,构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.   2.若数列有形如(k、b为常数)的线性递推关系,则可用待定系数法求得.   举一反三:   【变式1】已知数列中,,求   【答案】令,则,       ∴,即       ∴,       ∴为等比数列,且首项为,公比,       ∴,       故.   【变式2】已知数列满足,而且,求这个数列的通项公式.   【答案】∵,∴       设,则,即,       ∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,       ∴,∴‎ ‎.        ∴. 类型五:和的递推关系的应用   5.已知数列中,是它的前n项和,并且, .   (1)设,求证:数列是等比数列;   (2)设,求证:数列是等差数列;   (3)求数列的通项公式及前n项和.   解析:   (1)因为,所以      以上两式等号两边分别相减,得             即,变形得      因为 ,所以      由此可知,数列是公比为2的等比数列.      由,,      所以, 所以,      所以.   (2) ,所以        将 代入得      由此可知,数列是公差为的等差数列,它的首项 ‎,      故.   (3),所以        当n≥2时,      ∴      由于也适合此公式,      故所求的前n项和公式是.   总结升华:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条件,通过合理转换,将非等差、等比数列转化为等差、等比数列,求得问题的解决利用等差(比)数列的概念,将已知关系式进行变形,变形成能做出判断的等差或等比数列,这是数列问题中的常见策略.   举一反三:   【变式1】设数列首项为1,前n项和满足.   (1)求证:数列是等比数列;   (2)设数列的公比为,作数列,使,,求的通项公式.   【答案】   (1),      ∴      ∴,      又      ①-②‎ ‎      ∴,      ∴是一个首项为1公比为的等比数列;   (2)      ∴      ∴是一个首项为1公比为的等差比数列      ∴   【变式2】若,  (),求.   【答案】当n≥2时,将代入,        ∴,        整理得        两边同除以得 (常数)        ∴是以为首项,公差d=2的等差数列,        ∴ ,           ∴.   【变式3】等差数列中,前n项和,若.求数列 的前n项和.   【答案】∵为等差数列,公差设为,        ∴,        ∴,           ∴,        若,则,  ∴.        ∵,         ∴,∴ ,        ∴,        ∴  ①                ②        ①-②得                       ∴ 类型六:数列的应用题   6.在一直线上共插13面小旗,相邻两面间距离为10m,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?   思路点拨: 本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.   解析:设将旗集中到第x面小旗处,则       从第一面旗到第面旗处,共走路程为了 ‎,       回到第二面处再到第面处是,       回到第三面处再到第面处是,       ,       从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为,       从第面处到第面处取旗再回到第面处,路程为20×2,              总的路程为:             ∵,∴时,有最小值       答:将旗集中到第7面小旗处,所走路程最短.   总结升华:本题属等差数列应用问题,应用等差数列前项和公式,在求和后,利用二次函数求最短路程.   举一反三:   【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍,则该企业2007年年度产值的月平均增长率为(    )   A.   B.   C.    D.   【答案】D;   解析:从2月份到12月份共有11个月份比基数(1月份)有产值增长,设为,       则   【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币,年利率为,到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税(税率为)共计元,则该人存款的本金为(   )   A.1.5万元   B.2万元  C.3万元  ‎ ‎ D.2.5万元   【答案】B;   解析:本金利息/利率,利息利息税/税率      利息(元),      本金(元)   【变式3】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量(万件)近似地满足.按比例预测,在本年度内,需求量超过万件的月份是( )   A.5月、6月    B.6月、7月   C.7月、8月    D.9月、10月   【答案】C;   解析:第个月份的需求量超过万件,则            解不等式,得,即.   【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元,汽车的维修费平均为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依次成等差数列递增,问这种汽车使用多少年后报废最合算?(即年平均费用最少)   【答案】设汽车使用年限为年,为使用该汽车平均费用.                当且仅当,即(年)时等到号成立.     ‎ ‎   因此该汽车使用10年报废最合算.   【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米,计划从2007年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.   (1)分别求2007年底和2008年底的住房面积;   (2)求2026年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到0.01)   【答案】   (1)2007年底的住房面积为1200(1+5%)-20=1240(万平方米),      2008年底的住房面积为1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米),      ∴2007年底的住房面积为1240万平方米;      2008年底的住房面积为1282万平方米.   (2)2007年底的住房面积为[1200(1+5%)-20]万平方米,      2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,      2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3-20(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,      …………      2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米      即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20            ≈2522.64(万平方米),      ∴2026年底的住房面积约为2522.64万平方米.‎ 高考题萃   1.(2008四川)设数列的前项和为.   (Ⅰ)求;   (Ⅱ)证明:是等比数列;   (Ⅲ)求的通项公式.   解析:   (Ⅰ)因为,      ∴      由知,得  ①      所以,      ,      ∴   (Ⅱ)由题设和①式知 ‎      所以是首项为2,公比为2的等比数列.   (Ⅲ)   2.(2008全国II)设数列的前项和为.已知,,.   (Ⅰ)设,求数列的通项公式;   (Ⅱ)若,,求的取值范围.   解析:   (Ⅰ)依题意,,即,      由此得.      因此,所求通项公式为,.①   (Ⅱ)由①知,,      于是,当时,      ,      ,      当时,.      又.      综上,所求的的取值范围是.   3.(2008天津)已知数列中,,,且.   (Ⅰ)设,证明 是等比数列;   (Ⅱ)求数列的通项公式;   (Ⅲ)若是与的等差中项,求的值,并证明:对任意的,是与的等差中项.   解析:   (Ⅰ)由题设,得,      即.      又,,      所以是首项为1,公比为的等比数列.   (Ⅱ)由(Ⅰ),,,……,.      将以上各式相加,得.      所以当时,      上式对显然成立.   (Ⅲ)由(Ⅱ),当时,显然不是与的等差中项,故.      由可得,      由得   ①      整理得,      解得或(舍去),于是.      另一方面,,      .      由①可得 ‎.      所以对任意的,是与的等差中项.   4.(2008陕西)已知数列的首项,,.   (Ⅰ)求的通项公式;   (Ⅱ)证明:对任意的,,;   (Ⅲ)证明:.‎ 解析:   (Ⅰ),,,      又,是以为首项,为公比的等比数列.      ,.   (Ⅱ)由(Ⅰ)知,            ,      原不等式成立.   另解:设 ‎,      则      ,当时,;当时,,      当时,取得最大值.      原不等式成立.   (Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的,有            .      令,则,      .      原不等式成立. ‎ 学习成果测评 基础达标:   1.若数列中,且(n是正整数),则数列的通项=____.   2.对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列 的前n项和的公式是____________.   3. 设是等比数列,是等差数列,且,数列的前三项依次是,     且,则数列的前10项和为____________.   4. 如果函数满足:对于任意的实数,都有,且,则     ____________   5.已知数列中,, (),求通项公式.   6.已知数列中,,,,求的通项公式.   7.已知各项均为正数的数列的前项和满足,且,,求的通项公式.   8.设数列满足,.   (Ⅰ)求数列的通项;   (Ⅱ)设,求数列的前项和. 能力提升:   9.数列的前项和为,,.   (Ⅰ)求数列的通项;   (Ⅱ)求数列的前项和 ‎.   10.数列的前n项和为, 已知是各项为正数的等比数列,试比较与的大小关系.   11.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为,以后每年交纳的数目均比上一年增加,因此,历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为,那么,在第年末,第一年所交纳的储备金就变为,第二年所交纳的储备金就变为,…….以表示到第年末所累计的储备金总额.   (Ⅰ)写出与的递推关系式;   (Ⅱ)求证:,其中是一个等比数列,是一个等差数列.   12.2007年底某县的绿化面积占全县总面积的40%,从2008年开始,计划每年将非绿化面积的8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的2%被非绿化.   (1)设该县的总面积为1,2007年底绿化面积为,经过n年后绿化的面积为,试用表示;   (2)求数列的第n+1项;   (3)至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过60%.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 综合探究:   13.已知函数,设曲线在点处的切线与x轴的交点为,其中为正实数.   (Ⅰ)用表示;   (Ⅱ)若,记,证明数列成等比数列,并求数列 的通项公式;   (Ⅲ)若,,是数列的前n项和,证明. 参考答案: 基础达标:   1.   答案:   解析:由题设的递推公式可得              ∴  即,   2.   答案:2n+1-2   解析:,       曲线在x=2处的切线的斜率为,切点为(2,-2n),       所以切线方程为y+2n=k(x-2),      令x=0得,令.       数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2   3. 答案:978   4. 答案:   5.   解析:将递推关系整理为       两边同除以得       当时,       ,,……,‎ ‎       将上面个式子相加得到:       ,即,       ∴().       当时,符合上式       故.   6.   解析:由题设                                 ∴.       所以数列是首项为,公比为的等比数列,       ∴,       即的通项公式为,.   7.   解析:由,解得或,       由假设,因此,       又由,       得,即或,       因,故不成立,舍去.       因此,从而是公差为,首项为 的等差数列,       故的通项为.   8.   解析:   (Ⅰ),          ①       ∴当时,   ②       ①-②得,.       在①中,令,得符合上式       ∴.   (Ⅱ),∴.       ,    ③       .   ④       ④-③得.       即,. 能力提升:   9.   解析:   (Ⅰ),,       又,       数列是首项为,公比为 的等比数列,       ∴.       当时,,          (Ⅱ),       当时,;       当时,       , …………①       ,…………②       得:                 .       .       又也满足上式,       .   10.   解析:∵为各项为正数的等比数列,设其首项为,公比为,       则有, ,(),          ∴,即      (1)当时,,‎ ‎,          而,         ∴                      ∴时,.      (2)当时,,,         ∴                  ①当时,, ∴         ②当时,,  ∴         ③当时,,∴         综上,(1)在时恒有            (2)在时,①若则;              ②若则;              ③若则.   11.   解析:‎ ‎   (Ⅰ).   (Ⅱ),       对反复使用上述关系式,得               ,        ①       在①式两端同乘,得           ②       ②①,得             .       即.       如果记,,则.       其中是以为首项,以为公比的等比数列;       是以为首项,为公差的等差数列.   12.   解析:   (1)设2007年底非绿化面积为b1,经过n年后非绿化面积为.      于是a1+b1=1,      依题意,是由两部分组成:      一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分后剩余面积 ‎,      另一部分是新绿化的面积,      ∴.   (2),.      数列是公比为,首项的等比数列.      ∴.   (3)由,得,,      ,      ∴至少需要7年的努力,才能使绿化率超过60%. 综合探究:   13.   解析:   (Ⅰ)由题可得.       所以曲线在点处的切线方程是:.      即.      令,得,即.      显然,∴.   (Ⅱ)由,知,      同理 ‎.      故.      从而,即.      所以,数列成等比数列.      故,即.      从而,所以   (Ⅲ)由(Ⅱ)知,∴      ∴      当时,显然.      当时,      ∴.       综上,.‎