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- 2021-05-13 发布
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2015年高考数学第9章解析几何
专题6双曲线
〖考纲解读〗
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.[来源:学科网]
2.理解数形结合的思想.
〖备考明向〗
1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,在解答题中考查,一般难度较大,与其他知识结合起来考查,在考查平面解析几何基础知识的同时,又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能力.
2.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合,在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.
〖知识梳理〗
1. 双曲线的概念[来源:学#科#网]
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线()。
注意:①(*)式中是差的绝对值,在条件下;时为双曲线的一支(含的一支);时为双曲线的另一支(含的一支);②当时,表示两条射线;③当时,不表示任何图形;④两定点叫做双曲线的焦点,叫做焦距。
椭圆和双曲线比较:[来源:学科网ZXXK]
椭 圆
双 曲 线
定义
]
方程
焦点
注意:如何有方程确定焦点的位置!
2.双曲线的性质
①范围:从标准方程,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线的外侧。即,即双曲线在两条直线的外侧。
②对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线的方程里,对称轴是轴,所以令得,因此双曲线和轴有两个交点,他们是双曲线的顶点。
令,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
(1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
(2)实轴:线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看,双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线:
(1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:;
(2)等轴双曲线的性质:
渐近线方程为: ;
渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
(3)注意到等轴双曲线的特征,则等轴双曲线可以设为: ,当时交点在
轴,当时焦点在轴上。
⑥注意与的区别:三个量中不同(互换)相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。
〖分析考向〗
考向一:双曲线的定义
【典型例题】已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1、F2、P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积等于( )
A.24 B.36
C.48 D.96
【典型例题】已知为双曲线 .
【迁移训练1】点P是双曲线-y2=1的右支上一点,M、N分别是圆(x+)2+y2=1和(x-)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值是
( )
A.2 B.4
C.6 D.8
考向二:双曲线的标准方程
【典型例题】求与双曲线-=1共渐近线且过点A(2,-3)的双曲线的方程及其离心率.
【典型例题】双曲线的离心率大于的充分必要条件是( )
(A) (B) (C) (D)[来源:学科网ZXXK]
【迁移训练1】设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M,F(,0),且P为L上动点,求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.
考向三:双曲线的几何性质
几何性质:对称性,范围,焦点与焦距;离心率;渐近线
【典型例题】如图,已知F1、F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线
交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°,求双曲线的渐近线方程.
【典型例题】已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为( )
(A) (B) (C) (D)
【迁移训练1】已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,2)
C.[2,+∞) D.(2,+∞)
考向四:直线与双曲线的关系
(1)联立方程,用判别式来判断
(2)利用数形结合,比较和渐近线的斜率以及相切的位置
【典型例题】已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
【迁移训练】P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M、N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
〖考题回放〗
2014年高考题组
1. 【2014高考北京卷文第10题】设双曲线的两个焦点为,,一个顶点式,则
的方程为 .
2. 【2014高考大纲卷文第11题】双曲线C:的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )
A. 2 B. C.4 D.
3. 【2014高考广东卷文第8题】若实数满足,则曲线与曲线的( )
A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
4. 【2014高考江西卷文第9题】过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于.若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
5. 【2014高考全国1卷文第4题】已知双曲线的离心率为2,则( )
A. 2 B. C. D. 1
6. 【2014高考天津卷卷文第6题】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7. 【2014高考重庆卷文第8题】设分别为双曲线的左、右焦点,双曲线上存在一点使得 则该双曲线的离心率为( )
A. B. C.4 D.
8. 【2014高考广东卷理第4题】若实数满足,则曲线与曲线的( )
A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等
9. 【2014大纲高考理第9题】已知双曲线C的离心率为2,焦点为、,点A在C上,若,则( )
A. B. C. D.
10. 【2014高考福建理第19题】已知双曲线的两条渐近线分别为
.
(1)求双曲线的离心率;
(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一,
四象限),且的面积恒为8,试探究:是否存在总与直线有且只有一个公
共点的双曲线?若存在,求出双曲线的方程;若不存在,说明理由.
2013年高考题组[来源:学科网]
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 】双曲线的离心率为 .
2.【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】双曲线的两条渐近线的方程为 .
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)】设F1,F2是双曲线C, (a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为________________.
4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)】双曲线( )
A. B. C. D.
5.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】
已知双曲线的左、右焦点分别为离心率为直线与C的两个交点间的距离为
(I)求;
(II)设过的直线l与C的左、右两支分别相交有A、B两点,且证明:
〖复习小结〗
明确高考:
1.双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点,双曲线的离心率、渐近线或与其他知识结合是高考的热点;
2.选择题、填空题、解答题均有所考查
解题经验:
1.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e=⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
2.定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.
3.待定系数法:先确定焦点是在x轴上还是在y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为-=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值.
4.区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆a,b,c关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
5.双曲线的离心率大于1,而椭圆的离心率e∈(0,1).
6.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,-=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x.