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  • 2021-05-13 发布

高考数学一轮专题复习高效测试22平面向量的概念及线性运算

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高效测试22:平面向量的概念及线性运算 一、选择题 ‎1.如图,正六边形ABCDEF中,++=(  )‎ A.0 B. C. D. 解析:由于=,故++=++=.‎ 答案:D ‎2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么(  )‎ A.k=1且c与d同向    B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 解析:∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b),∴,故选D.‎ 答案:D ‎3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=(  )‎ A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析:如图所示,作OG∥EF交DC于G,‎ 由于DE=EO,‎ 得DF=FG,‎ 又由AO=OC得FG=GC,‎ 于是==(-b+a),‎ 那么=+=(a+b)+(-b+a)=a+b.‎ 答案:B ‎4.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ 解析:由++=0得点M是△ABC的重心,可知=(+),+=3,则m=3,选B.‎ 答案:B ‎5.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点C),则=(  )‎ A.λ(+),λ∈(0,1)‎ B.λ(+),λ∈ C.λ(-),λ∈(0,1)‎ D.λ(-),λ∈ 解析:‎ 如图所示,=+,又∵点P在上,∴与同向,且||<||,故=λ(+),λ∈(0,1).‎ 答案:A ‎6.非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是(  )‎ A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0‎ C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0‎ 解析:=λ,得-=λ(-),‎ 即=(1+λ)-λ.‎ 又2=x+y,‎ ‎∴消去λ得x+y=2.‎ 答案:A 二、填空题 ‎7.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________.(用a、b表示)‎ 解析:由=3,‎ 知N为AC的四等分点.‎ =+ ‎=- ‎=-(+)‎ ‎=-+ ‎=-a+b.‎ 答案:-a+b ‎8.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=__________.‎ 解析:=+,=+,=+,于是得,‎ 所以λ+μ=.‎ 答案: ‎9.设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射f:V→V,a∈V,记a的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变换.‎ 现有下列命题:‎ ‎①设f是平面M上的线性变换,则f(0)=0;‎ ‎②对a∈V,设f(a)=‎2a,则f是平面M上的线性变换;‎ ‎③若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f(a)=a-e,则f是平面M上的线性变换;‎ ‎④设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,若a、b共线,则f(a)、f (b)也共线.‎ 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)‎ 解析:对于①,f(0)=f(0·0+0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0,因此①正确.对于②,f(λa+μb)=2(λa+μb)=λ·(‎2a)+μ·(2b)=λf(a)+μf(b),因此②正确.对于③,f(λa+μb)=(λa+μb)-e,λf(a)+μf(b)=λ(a-e)+μ(b-e)=λa+μb-(λ+μ)e,显然(λ+μ)e与e不恒相等,因此③不正确.对于④,当a、b共线时,若a、b中有一个等于0,由于f(0)=0,即此时f(a)、f(b)中有一个等于0,f(a)、f(b)共线;若a、b中均不等于0,设b=λa,则有f(b)=f(λa)=f(λa+0·0)=λf(a)+0·f(0)=λf(a),此时f(a)、f(b)共线,综上所述,当a、b共线时,f(a)、f(b)共线.综上所述,其中的真命题是①②④.‎ 答案:①②④‎ 三、解答题 ‎10.在△ABC中,=,=,BE与CD交于点P,且=a,=b,用a,b表示.‎ 解析:取AE的三等分点M,使|AM|=|AE|,连接DM.‎ 设|AM|=t,则|ME|=2t.‎ 又|AE|=|AC|,‎ ‎∴|AC|=12t,|EC|=9t,且DM∥BE.‎ ‎∴在△DMC中== ‎∴CP=CD ‎∴DP=CD =+=+ ‎=+(+)‎ ‎=+(-+)‎ ‎=+ ‎=a+b.‎ ‎11.如图,已知△OAB中,点C是以A为中心的B的对称点,D是将分成21的一个内分点,DC和OA交于E,=a,=b.‎ ‎(1)用a与b表示向量、;‎ ‎(2)若=λ ,求实数λ的值.‎ 解析:(1)依题意,A是BC中点,‎ ‎∵2=+,即=2-=‎2a-b.‎ =-=-=‎2a-b-b=‎2a-b.‎ ‎(2)设=λ,‎ 则=-=λa-(‎2a-b)=(λ-2)a+b,‎ ‎∵与共线,‎ ‎∴存在实数k,使=k,‎ ‎(λ-2)a+b=k,解得λ=.‎ ‎12.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b.‎ ‎(1)试用a和b表示向量;‎ ‎(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设=λ,=μ,当EF为AD时,λ=1,μ=,此时+=7;当EF为CB时,λ=,μ=1,此时+=7.有人得出结论:不论E、F在线段AC、BD上如何变动,+=7总成立.他得出的这个结论正确吗?请说明理由.‎ 解析:方法一:(1)设=ma+nb,则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb,=-=-=-a+b.‎ ‎∵A、M、D三点共线,∴与共线.‎ 故存在实数t,使得=t,‎ 即(m-1) a+nb=t(-a+b),‎ ‎∴(m-1)a+nb=-ta+tb,‎ ‎∴消去t得m-1=-2n,‎ 即m+2n=1. ①‎ ‎∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb,‎ =-=b-a=-a+b,‎ 又C、M、B三点共线,‎ ‎∴与共线,‎ 同理可得‎4m+n=1. ②‎ 联立①②,解之得:m=,n=.‎ 故=a+b,‎ ‎(2)他得出的结论是正确的.‎ ‎∵=-=a+b-λa=(-λ)a+b,‎ =-=μ-λ=-λa+μb,‎ 又与共线,‎ 故存在实数k,使得=k,即 ‎(-λ)a+b=k(-λa+μb)=-λka+μkb,‎ ‎∴ 消去k得-λ=-λ·,整理即得+=7.‎ 方法二:(1)∵A、M、D三点共线,由直线的向量参数方程式可得:=k+(1-k)=k+=ka+b(k∈R).‎ 同理由于C、M、B三点共线,可得:=t+(1-t)=+(1-t)=a+(1-t)b(t∈R),‎ ‎∴ka+b=a+(1-t)b.‎ 又∵,不共线,即a,b不共线,‎ ‎∴k=且=1-t,解之得k=,t=.‎ ‎∴=a+b.‎ ‎(2)他得出的结论是正确的.‎ ‎∵E、F、M三点共线,由直线的向量参数方程式可得:‎ =k+(1-k),‎ 即a+b=λka+μ(1-k)b(k∈R).‎ 又∵,不共线,即a,b不共线,‎ ‎∴ 消去k整理得+=7. ‎