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- 2021-05-13 发布
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高效测试22:平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1.如图,正六边形ABCDEF中,++=( )
A.0 B. C. D.
解析:由于=,故++=++=.
答案:D
2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向
解析:∵c∥d,∴c=λd,即ka+b=λ(a-b),∴,故选D.
答案:D
3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则=( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
解析:如图所示,作OG∥EF交DC于G,
由于DE=EO,
得DF=FG,
又由AO=OC得FG=GC,
于是==(-b+a),
那么=+=(a+b)+(-b+a)=a+b.
答案:B
4.已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:由++=0得点M是△ABC的重心,可知=(+),+=3,则m=3,选B.
答案:B
5.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点C),则=( )
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈
解析:
如图所示,=+,又∵点P在上,∴与同向,且||<||,故=λ(+),λ∈(0,1).
答案:A
6.非零向量,不共线,且2=x+y,若=λ(λ∈R),则点Q(x,y)的轨迹方程是( )
A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0
解析:=λ,得-=λ(-),
即=(1+λ)-λ.
又2=x+y,
∴消去λ得x+y=2.
答案:A
二、填空题
7.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=________.(用a、b表示)
解析:由=3,
知N为AC的四等分点.
=+
=-
=-(+)
=-+
=-a+b.
答案:-a+b
8.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=__________.
解析:=+,=+,=+,于是得,
所以λ+μ=.
答案:
9.设V是已知平面M上所有向量的集合.对于映射f:V→V,a∈V,记a的象为f(a).若映射f:V→V满足:对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变换.
现有下列命题:
①设f是平面M上的线性变换,则f(0)=0;
②对a∈V,设f(a)=2a,则f是平面M上的线性变换;
③若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f(a)=a-e,则f是平面M上的线性变换;
④设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,若a、b共线,则f(a)、f (b)也共线.
其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)
解析:对于①,f(0)=f(0·0+0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0,因此①正确.对于②,f(λa+μb)=2(λa+μb)=λ·(2a)+μ·(2b)=λf(a)+μf(b),因此②正确.对于③,f(λa+μb)=(λa+μb)-e,λf(a)+μf(b)=λ(a-e)+μ(b-e)=λa+μb-(λ+μ)e,显然(λ+μ)e与e不恒相等,因此③不正确.对于④,当a、b共线时,若a、b中有一个等于0,由于f(0)=0,即此时f(a)、f(b)中有一个等于0,f(a)、f(b)共线;若a、b中均不等于0,设b=λa,则有f(b)=f(λa)=f(λa+0·0)=λf(a)+0·f(0)=λf(a),此时f(a)、f(b)共线,综上所述,当a、b共线时,f(a)、f(b)共线.综上所述,其中的真命题是①②④.
答案:①②④
三、解答题
10.在△ABC中,=,=,BE与CD交于点P,且=a,=b,用a,b表示.
解析:取AE的三等分点M,使|AM|=|AE|,连接DM.
设|AM|=t,则|ME|=2t.
又|AE|=|AC|,
∴|AC|=12t,|EC|=9t,且DM∥BE.
∴在△DMC中==
∴CP=CD
∴DP=CD
=+=+
=+(+)
=+(-+)
=+
=a+b.
11.如图,已知△OAB中,点C是以A为中心的B的对称点,D是将分成21的一个内分点,DC和OA交于E,=a,=b.
(1)用a与b表示向量、;
(2)若=λ ,求实数λ的值.
解析:(1)依题意,A是BC中点,
∵2=+,即=2-=2a-b.
=-=-=2a-b-b=2a-b.
(2)设=λ,
则=-=λa-(2a-b)=(λ-2)a+b,
∵与共线,
∴存在实数k,使=k,
(λ-2)a+b=k,解得λ=.
12.如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用a和b表示向量;
(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设=λ,=μ,当EF为AD时,λ=1,μ=,此时+=7;当EF为CB时,λ=,μ=1,此时+=7.有人得出结论:不论E、F在线段AC、BD上如何变动,+=7总成立.他得出的这个结论正确吗?请说明理由.
解析:方法一:(1)设=ma+nb,则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb,=-=-=-a+b.
∵A、M、D三点共线,∴与共线.
故存在实数t,使得=t,
即(m-1) a+nb=t(-a+b),
∴(m-1)a+nb=-ta+tb,
∴消去t得m-1=-2n,
即m+2n=1. ①
∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb,
=-=b-a=-a+b,
又C、M、B三点共线,
∴与共线,
同理可得4m+n=1. ②
联立①②,解之得:m=,n=.
故=a+b,
(2)他得出的结论是正确的.
∵=-=a+b-λa=(-λ)a+b,
=-=μ-λ=-λa+μb,
又与共线,
故存在实数k,使得=k,即
(-λ)a+b=k(-λa+μb)=-λka+μkb,
∴
消去k得-λ=-λ·,整理即得+=7.
方法二:(1)∵A、M、D三点共线,由直线的向量参数方程式可得:=k+(1-k)=k+=ka+b(k∈R).
同理由于C、M、B三点共线,可得:=t+(1-t)=+(1-t)=a+(1-t)b(t∈R),
∴ka+b=a+(1-t)b.
又∵,不共线,即a,b不共线,
∴k=且=1-t,解之得k=,t=.
∴=a+b.
(2)他得出的结论是正确的.
∵E、F、M三点共线,由直线的向量参数方程式可得:
=k+(1-k),
即a+b=λka+μ(1-k)b(k∈R).
又∵,不共线,即a,b不共线,
∴
消去k整理得+=7.