走向高考2013高三数学人教A版总复习同步练习87圆锥曲线的综合问题理 15页

‎8-7圆锥曲线的综合问题(理)‎ 基础巩固强化 ‎1.(2012·潍坊教学质量监测)椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是(　　)‎ A．3x＋2y－4＝0　　　　　 B．4x＋6y－7＝0‎ C．3x－2y－2＝0 D．4x－6y－1＝0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　依题意得e＝，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，)的连线的斜率为＝，则所求直线的斜率等于－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)，即4x＋6y－7＝0，选B.‎ ‎2．(2011·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　)‎ A．3 B．4‎ C．3 D．4 ‎[答案]　C ‎[解析]　设A(x1,3－x)，B(x2,3－x)，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴解得或设直线AB的斜率为kAB，‎ ‎∴|AB|＝|x1－x2|＝3.故选C.‎ ‎3．设F是抛物线C1：y2＝2px(p>0)的焦点，点A是抛物线C1与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为(　　)‎ A．2 B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意可知，抛物线C1的焦点为F(，0)，因为AF⊥x轴，则A(，±p)，不妨取A(，p)，则双曲线C2的渐近线的斜率为＝，∴＝2，令a＝1，则b＝2，c＝＝，∴e＝＝.‎ ‎4．(2011·南昌检测)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　记|F‎1F2|＝‎2c，则|PF1|＝，|PF2|＝，所以椭圆的离心率为＝＝，选B.‎ ‎5．(2011·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为(　　)‎ A．5　　　　B．‎4　‎　　　C．3　　　　D．2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意设直线l的方程为y＝(x－)，即x＝＋，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2py－p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝p，yB＝－p，所以＝||＝3.‎ ‎6．(2012·东北三校一模)已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝(　　)‎ A. B. C. D．与P点位置有关 ‎[答案]　A ‎[解析]　设点A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(x0，y0)，则由消去x得y2＝，y1＋y2＝0，y1y2＝－，(y1＋y0)(y2＋y0)＝y1y2＋y＋y0(y1＋y2)＝y－，(x1＋x0)(x2＋x0)＝(2y1＋x0)(2y2＋x0)＝4y1y2＋x＋2x0(y1＋y2)＝4y1y2＋x＝x－4×＝9(＋1)－4×＝(y－)，·＝.‎ 由得＝，即＝·，同理有＝·，于是有kPA·kPB＝·＝()2··＝()2×＝，选A.‎ ‎7．已知过双曲线－＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(1，)‎ ‎[解析]　由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即<1，∴<1，∴<2，‎ 即e2<2，∵e>1，∴10，b>0)的左焦点，若椭圆上存在点P，使得直线PF与圆x2＋y2＝b2相切，当直线PF的倾斜角为时，此椭圆的离心率是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　依题意得OP⊥PF，∵直线PF的倾斜角为，∴∠OFP＝，∴sin＝＝，椭圆的离心率e＝＝＝＝＝.‎ ‎10．(2012·昆明一中测试)过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y＝－的距离，∴1＋＝2，∴p＝2，‎ ‎∴抛物线C的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)抛物线C的焦点为F(0,1)，直线l的方程y＝2x＋1，‎ 设点A、B、M的坐标分别为(x1，)、(x2，)、(x0，)，‎ 由方程组消去y得，x2＝4(2x＋1)，‎ 即x2－8x－4＝0，‎ 由韦达定理得x1＋x2＝8，x1x2＝－4.‎ ‎∵MA⊥MB，∴·＝0，‎ ‎∴(x1－x0)(x2－x0)＋(－)(－)＝0，‎ ‎∴(x1－x0)(x2－x0)＋(x1－x0)(x2－x0)(x1＋x0)(x2＋x0)＝0.‎ ‎∵M不与A，B重合，∴(x1－x0)(x2－x0)≠0，‎ ‎∴1＋(x1＋x0)(x2＋x0)＝0，x1x2＋(x1＋x2)x0＋x＋16＝0，‎ ‎∴x＋8x0＋12＝0，∵Δ＝64－48>0.‎ ‎∴方程x＋8x0＋12＝0有解，即抛物线C上存在一点M，使得MA⊥MB.‎ 能力拓展提升 ‎11.(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　方法一：联立 解得或不妨设A在x轴上方，‎ ‎∴A(4,4)，B(1，－2)，‎ ‎∵F点坐标为(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，‎ cos∠AFB＝＝＝－.‎ 方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2，‎ 由余弦定理知，‎ cos∠AFB＝＝－.‎ ‎12.(2012·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是(　　)‎ A．a1＋c1>a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2‎ C．a‎1c2a‎2c1‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　依题意得，a1>a2，c1>c2，a1＋c1＞a2＋c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1－c1＝a2－c2；由a1>a2，得<，又a1－c1＝a2－c2，因此<，即有<，a‎1c2，即m2＋n2<5，所以点P(m，n)在圆x2＋y2＝5的内部，而该圆在椭圆＋＝1内部，故点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1一定相交，故公共点的个数是2.‎ ‎14．(2012·安徽文，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可知x1＋1＝3，x1＝2，∴A(2,2)，则直线AF斜率为k＝＝2，‎ 所以AB方程为y＝2(x－1)，‎ 由联立消去y得，2x2－5x＋2＝0，‎ 解之得x1＝2，x2＝，∴B(，－)，‎ 所以|BF|＝x2＋1＝＋1＝.‎ ‎15．已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；‎ ‎(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由已知，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝.‎ 所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 由消去x得，3y2＋2y－1＝0，‎ 解得y1＝－1，y2＝.‎ ‎∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.‎ ‎(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(00，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．‎ ‎(1)求双曲线的标准方程；‎ ‎(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)依题意有 解得a＝1，b＝，c＝2.‎ 所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．‎ 由消去y得，‎ ‎(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①‎ 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有 所以k2>3.②‎ 因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.‎ 又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，‎ 而x0＝＝＝3，∴k2＝9，解得k＝±3.‎ ‎∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．‎ 所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．‎ 即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.‎ ‎1．(2011·辽宁文，7)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. ‎[答案]　C ‎[解析]　如图所示：‎ ‎∵|AF|＝|AK|，|BF|＝|BM|，‎ ‎∴|AK|＋|BM|＝|AF|＋|BF|＝3，‎ ‎∴AB的中点P到准线的距离为：‎ ‎|PN|＝(|AK|＋|BM|)＝ ‎∴点P到y轴的距离为－＝.‎ ‎2.(2012·镇江调研)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过它的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB.‎ ‎(1)证明直线AB过定点；‎ ‎(2)求抛物线顶点O在AB上射影M的轨迹方程．‎ ‎[解析]　(1)不妨设A(2px，2px1)，B(2px，2px2)(x1≠x2)，则直线AB的斜率是，‎ 于是lAB：y－2px2＝(x－2px)，‎ 即(x1＋x2)y＝2px1x2＋x，‎ 又∵OA⊥OB，∴·＝－1.‎ 因此，直线方程为(x1＋x2)y＝－2p＋x，令y＝0得x＝2p，‎ ‎∴lAB恒过定点(2p,0)．‎ ‎(2)由(1)的结论可知，AB过定点N(2p,0)．‎ 设M(x，y)，当AB斜率存在时，由KOM·KAB＝－1可知，‎ ·＝－1，即(x－p)2＋y2＝p2.‎ 当AB⊥x轴时，点M与点N重合，方程也满足．‎ ‎∴点M的轨迹方程是(x－p)2＋y2＝p2.它表示以点(p,0)为圆心，p为半径的圆(去掉坐标原点)．‎ ‎3．已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．‎ ‎[解析]　(1)设点P(x，y)，‎ 依题意有，＝，整理得＋＝1，‎ 所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵点E与点F关于原点O对称，‎ ‎∴点E的坐标为(－，0)．‎ ‎∵M、N是直线l上的两个点，‎ ‎∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．‎ ‎∵·＝0，∴(3，y1)·(，y2)＝0，‎ ‎∴6＋y1y2＝0，即y2＝－.‎ 由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.‎ ‎∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2＝2.‎ 当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．‎ 故|MN|的最小值为2.‎