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  • 2021-05-13 发布

高考数学第九章平面解析几何第2课时直线的方程更多资料关注微博高中学习资料库

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第九章 平面解析几何第2课时 直线的方程 考情分析 考点新知 掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围;能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程;了解直线方程的斜截式与一次函数的关系.‎ ‎① 在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素.‎ ‎②掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.‎ ‎1. 把直线方程Ax+By+C=0(ABC≠0)化成斜截式为________________,化成截距式为________________.‎ 答案:y=-x-+=1‎ 解析:因为ABC≠0,即A≠0,B≠0,C≠0,按斜截式、截距式的形式要求变形即可.斜截式为y=-x-,截距式为+=1.‎ ‎2. (必修2P88习题13改编)过点(3,6)作直线l,使l在x轴,y轴上截距相等,则满足条件的直线方程为__.‎ 答案:x+y-9=0,y=2x 解析:设该直线方程为+=1(a≠0),则+=1,所以a =9,则该直线方程为x+y-9=0;又若过原点,则该直线方程为y=2x.‎ ‎3. 下列四个命题:‎ ‎①过点P(1,-2)的直线可设为y+2=k(x-1);‎ ‎②若直线在两轴上的截距相等,则其方程可设为+=1(a≠0);‎ ‎③经过两点P(a,2),Q(b,1)的直线的斜率k=;‎ ‎④如果AC<0,BC>0,那么直线Ax+By+C=0不通过第二象限.‎ 其中正确的是_____________.(填序号)‎ 答案:④‎ ‎4. (必修2P82第1题改编)已知直线l过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为________.‎ 答案:3x+4y-14=0‎ 解析:由y-5=-(x+2),得3x+4y-14=0.‎ ‎5. 经过两点(-1,8)和(4,-2)的直线的两点式方程是____________________,截距式方程是__________________,一般式方程是____________________.‎ 答案:=+=1 2x+y-6=0‎ ‎1. 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线x=x0‎ 斜截式 y-y0=k(x-x0)‎ 不含垂直于x轴的直线 两点式 = 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)‎ 截距式 +=1‎ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)‎ 平面直角坐标系内的直线都适用 ‎2. 过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 ‎(1) 若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程为x=x1.‎ ‎(2) 若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程为y=y1.‎ ‎(3) 若x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程为x=0.‎ ‎(4) 若x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程为y=0.‎ ‎3. 线段的中点坐标公式 若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式.‎ 题型1 直线方程 例1 求经过点A(2,m)和B(n,3)的直线方程.‎ 解:(解法1)利用直线的两点式方程.直线过点A(2,m)和B(n,3).‎ ‎①当m=3时,点A的坐标是A(2,3),与点B(n,3)的纵坐标相等,则直线AB的方程是y=3.‎ ‎②当n=2时,点B的坐标是B(2,3),与点A(2,m)的横坐标相等,则直线AB的方程是x=2.‎ ‎③当m≠3,n≠2时,由直线的两点式方程=得=.‎ ‎(解法2)利用直线的点斜式方程.‎ ‎①当n=2时,点A、B的横坐标相同,直线AB垂直于x轴,则直线AB的方程为x=2.‎ ‎②当n≠2时,过点A,B的直线的斜率是k=.又∵ 过点A(2,m),∴由直线的点斜式方程y-y1=k(x-x1),得过点A,B的直线的方程是y-m=(x-2).‎ 过点P(1,4)引一条直线,使它在两条坐标轴上的截距为正值,且它们的和最小,求这条直线的方程.‎ 解:(解法1)设所求的直线方程为y-4=k(x-1).显见,上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1-、4-k.由于1->0且4-k>0可得,k<0.直线在两坐标轴上的截距之和为S=+(4-k)=5+(-k)+≥5+4=9,当且仅当-k=-,即k=-2时,S有最小值9.故所求直线方程为y-4=-2(x-1),即2x+y-6=0.‎ ‎(解法2)设所求的直线方程为+=1(a>0,b>0).‎ 据题设有+=1,① 令S=a+b.②‎ ‎①×②,有S=(a+b)=5++≥5+4=9.当且仅当=时,即‎2a=b,且+=1,也即a=3,b=6时,取等号.‎ 故所求的直线方程为+=1,即2x+y-6=0.‎ 例2 求过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.‎ 解:①截距不为0时,设直线l的方程为+=1.‎ ‎∵ l过A(5,2),∴+=1.‎ ‎∴ a=3.∴ l的方程为x-y-3=0.‎ ‎②截距为0时,l的方程为2x-5y=0.‎ 综上①②可得直线l的方程是x-y-3=0或2x-5y=0.‎ 直线l经过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.‎ 解:解法1:(借助点斜式求解)‎ 由于直线l在两轴上有截距,因此直线不与x、y轴垂直,斜率存在,且k≠0.设直线方程为y-2=k(x-3),‎ 令x=0,则y=-3k+2;令y=0,则x=3-.‎ 由题设可得-3k+2=3-,解得k=-1或k=.‎ 故l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3).‎ 即直线l的方程为x+y-5=0或2x-3y=0.‎ 解法2:(利用截距式求解)‎ 由题设,设直线l在x、y轴的截距均为a.‎ 若a=0,则l过点(0,0).又过点(3,2),‎ ‎∴l的方程为y=x,即l:2x-3y=0.‎ 若a≠0,则设l为+=1.‎ 由l过点(3,2),知+=1,故a=5.‎ ‎∴l的方程为x+y-5=0.‎ 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.‎ 题型2 直线方程的形式 例3 求经过点A(-2,2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程.‎ 解:(解法1)设所求直线方程为+=1(a<0,b>0),‎ ‎∵+=1,∴ a=.又a<0,∴ b>2.S△=-ab=-·==(b+2)+=+4≥2+4=8. 当且仅当b-2=,即b=4时S最小.此时a=-4,b=4,故x-y+4=0为所求直线方程.‎ ‎(解法2)设所求直线方程为y-2=k(x+2),显然k>0,由题意,S△=|2k+2|·=4+2(k+)≥8.当且仅当k=1时取等号,‎ 故x-y+4=0为所求直线方程.‎ 直线l过点M(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点.‎ ‎(1) 当△ABO的面积最小时,求直线l的方程;‎ ‎(2) 当最小时,求直线l的方程.‎ 解:(1) 如图,设=a,=b,△ABO的面积为S,则S=ab,并且直线l的截距式方程是+=1,‎ 由直线通过点(2,1),得+=1,‎ 所以==.‎ 因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上,所以上式右端的分母b-1>0.由此得 S=×b=×b==b+1+ ‎=b-1++2≥2+2=4.‎ 当且仅当b-1=,即b=2时,面积S取最小值4,这时a=4,直线的方程为+=1.‎ 即直线l的方程为x+2y-4=0.‎ ‎(2) 如上图,设∠BAO=θ,则=,=,‎ 所以=·=,‎ 当θ=45°时,有最小值4,此时直线斜率为-1,∴直线l的方程为x+y-3=0.‎ 题型3 待定系数法求直线方程 例4 过点M(0,1)作一条直线,使它被两条直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M点平分.求此直线方程.‎ 解:(解法1)由于过点M(0,1)且与x轴垂直的直线显然不合题意,故可设所求直线方程为y=kx+1,与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点,联立方程组xA=,xB=.‎ ‎∵点M平分线段AB,∴ xA+xB=2xM,‎ 即有+=0,解得k=-.‎ 故所求的直线方程为x+4y-4=0.‎ ‎(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点,∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,∴设B(t,8-2t),由于M(0,1)是线段AB的中点,∴根据中点坐标公式得A(-t,2t-6),‎ 而A点在直线l1:x-3y+10=0上,∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解之得t=4,∴ B(4,0).‎ 故所求直线方程为x+4y-4=0.‎ 已知直线l:x+y+4-‎3m=0.‎ ‎(1) 求证:不论m为何实数,直线l恒过一定点M;‎ ‎(2) 过定点M作一条直线l1,使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分,求直线l1的方程.‎ ‎(1) 证明:∵m+2x+y+4=0,‎ ‎∴由题意得 ‎∴直线l恒过定点M.‎ ‎(2) 解:设所求直线l1的方程为y+2=k(x+1),直线l1与x轴、y轴交于A、B两点,则A,B(0,k-2).‎ ‎∵AB的中点为M,∴解得k=-2.‎ ‎∴所求直线l1的方程为2x+y+4=0.‎ ‎1. 已知直线的点斜式方程为y-1=-(x-2),则该直线另外三种特殊形式的方程为______________,______________,______________.‎ 答案:y=-x+=+=1‎ 解析:将y-1=-(x-2)移项、展开括号后合并,即得斜截式方程y=-x+.‎ 因为点(2,1)、均满足方程y-1=-(x-2),故它们为直线上的两点.由两点式方程得=,即=.‎ 由y=-x+知,直线在y轴上的截距b=,又令y=0,得x=.故直线的截距式方程为+=1.‎ ‎2. 将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线方程为________________________________________________________________________.‎ 答案:y=-x+ 解析:将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°得到直线y=-x,再向右平移1个单位,所得到的直线方程为y=-(x-1),即y=-x+.‎ ‎3. 直线l经过点P(-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,‎ 则直线l的方程为________.‎ 答案:8x-5y+20=0或2x-5y-10=0‎ 解析:设所求直线l的方程为+=1,‎ ‎∵直线l过点P(-5,-4),∴+=1,‎ 即‎4a+5b=-ab.又由已知有|a||b|=5,‎ 即|ab|=10,解方程组 得或 故所求直线l的方程为+=1或+=1.即8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.‎ ‎4. 若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为________.‎ 答案:2x-y-1=0‎ 解析:由题意得,×kMN=-1,所以kMN=2,故弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.‎ ‎5. 已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:‎ ‎(1) △ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程;‎ ‎(2) BC边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程.‎ 解:(1) 平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线.因为线段AB、AC中点坐标分别为,,所以这条直线的方程为=,整理得一般式方程为6x-8y-13=0,截距式方程为-=1.‎ ‎(2) 因为BC边上的中点为(2,3),所以BC边上的中线所在直线的方程为=,即一般式方程为7x-y-11=0,截距式方程为-=1.‎ ‎6. 设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).‎ ‎(1) 若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;‎ ‎(2) 若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.‎ 解:(1) 当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距均为零,‎ ‎∴ a=2,即方程为3x+y=0符合题意.当直线不过原点时,由截距存在且均不为0,‎ ‎∴=a-2,即a+1=1,‎ ‎∴ a=0,即方程为x+y+2=0.‎ ‎(2) (解法1)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,‎ ‎∴或 ‎∴ a≤-1.综上可知a的取值范围是a≤-1.‎ ‎(解法2)将l的方程化为(x+y+2)+a(x-1)=0(a∈R).它表示过l1:x+y+2=0与l2:x-1=0交点(1,-3)的直线系(不包括x=1).由图象可知l的斜率-(a+1)≥0,即a≤-1时,直线l不经过第二象限.‎ ‎1. 直线x+a2y-a=0(a>0,a是常数),当此直线在x、y轴上的截距和最小时,a=________.‎ 答案:1‎ 解析:方程可化为+=1,因为a>0,所以截距之和t=a+≥2,当且仅当a=,即a=1时取等号.‎ ‎2. 已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方向向量为b=(-1,k),若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2,则直线l2的方程为________.‎ 答案:x+3y-15=0‎ 解析:∵ kl1=3,kl2=-k,l1⊥l2,‎ ‎∴ k=,l2的方程为y=-x+5,即x+3y-15=0.‎ ‎3. 当过点P(1,2)的直线l被圆C:(x-2)2+(y-1)2=5截得的弦最短时,直线l的方程为________.‎ 答案:x-y+1=0‎ 解析:易知圆心C的坐标为(2,1),由圆的几何性质可知,当圆心C与点P的连线与直线l垂直时,直线l被圆C截得的弦最短.由C(2,1),P(1,2)可知直线PC的斜率为=-1,设直线l的斜率为k,则k×(-1)=-1,得k=1,又直线l过点P,所以直线l的方程为x-y+1=0.‎ ‎4. 不论m取何值,直线(m-1)x-y+‎2m+1=0恒过定点________.‎ 答案:(-2,3)‎ 解析:把直线方程(m-1)x-y+‎2m+1=0,整理得 ‎(x+2)m-(x+y-1)=0,‎ 则得 ‎5. 已知两点A(-1,2)、B(m,3).‎ ‎(1) 求直线AB的方程;‎ ‎(2) 已知实数m∈,求直线AB的倾斜角α的取值范围.‎ 解:(1) 当m=-1时,直线AB的方程为x=-1,‎ 当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1).‎ ‎(2) ①当m=-1时,α=;‎ ‎②当m≠-1时,m+1∈∪(0,],‎ ‎∴k=∈(-∞,-]∪,‎ ‎∴α∈∪.‎ 综合①②,直线AB的倾斜角α∈.‎ ‎6. 已知直线l:kx-y+1+2k=0.‎ ‎(1) 求证:直线l过定点;‎ ‎(2) 若直线l交x轴负半轴于点A,交y正半轴于点B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线l的方程.‎ ‎(1) 证明:由已知得k(x+2)+(1-y)=0,‎ ‎∴无论k取何值,直线过定点(-2,1).‎ ‎(2) 解:令y=0得A点坐标为,‎ 令x=0得B点坐标为(0,2k+1)(k>0),‎ ‎∴S△AOB=|2k+1|‎ ‎=(2k+1)= ‎≥(4+4)=4.‎ 当且仅当4k=,即k=时取等号.‎ 即△AOB的面积的最小值为4,此时直线l的方程为x-y+1+1=0,即x-2y+4=0.‎ ‎1. 求直线方程的方法主要有以下两种:‎ ‎(1) 直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;‎ ‎(2) 待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程.‎ ‎2. 解决直线方程的综合问题时,除灵活选择方程的形式外,还要注意题目中的隐含条件,若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值.‎ ‎[备课札记]‎