北京高考近5年三角数列考题 21页

‎2017数列 ‎（2017年文科数列1道大题）（2017年理科数列1小题、1大题）‎ ‎2017年北京高考文科第15题 ‎15. 已知等差数列 和等比数列 满足 ，，．‎ ‎（1）求 的通项公式；‎ ‎（2）求和：．‎ ‎15. （1） 等差数列 ，，，‎ 可得：，解得 ，‎ 所以 的通项公式：．‎ ‎      （2） 由（Ⅰ） 可得 ，‎ 等比数列 满足 ，，‎ 可得 （等比数列奇数项符号相同），‎ 所以 ， 是等比数列，公比为 ，首项为 ，‎ ‎ ．‎ ‎2017年北京高考理科第10题 ‎（10）若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎2017年北京高考理科第20题 ‎20. 设 和 是两个等差数列，记 ‎ ，‎ 其中 表示 ，，， 这 个数中最大的数．‎ ‎（1）若 ，，求 ，， 的值，并证明 是等差数列；‎ ‎（2）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时，；‎ 或者存在正整数 ，使得 ，，， 是等差数列．‎ ‎20. （1） ，，，，，，‎ 当 时，，‎ 当 时，，‎ 当 时，，‎ 下面证明：对 ，且 ，都有 ，‎ 当 ，且 时，‎ 则 ‎ ‎ ‎ 由 ，且 ，‎ 则 ，则 ，‎ 因此，对 ，且 ，，，‎ 又 ，‎ 所以 对 均成立，‎ 所以数列 是等差数列．‎ ‎      （2） 设数列 和 的公差分别为 ，，下面考虑 的取值，‎ 由 ，，，，‎ 考虑其中任意 （，且 ），‎ 则 ‎ ‎ ‎ 下面分 ，， 三种情况进行讨论，‎ ‎①若 ，则 ，‎ 当 ，，‎ 则对于给定的正整数 而言，，此时 ，‎ 所以数列 是等差数列；‎ 当 ，，‎ 则对于给定的正整数 而言，，‎ 此时 ，‎ 所以数列 是等差数列；‎ 此时取 ，则 ，，，是等差数列，命题成立；‎ ‎②若 ，则此时 为一个关于 的一次项系数为负数的一次函数，‎ 故必存在 ，使得 时，，‎ 则当 时，‎ ‎ ‎ 因此当 时，，‎ 此时 ，故数列 从第 项开始为等差数列，命题成立；‎ ‎③若 ，此时 为一个关于 的一次项系数为正数的一次函数，‎ 故必存在 ，使得 时，，‎ 则当 时，‎ ‎ ‎ 因此，当 时，，‎ 此时 ‎ ‎ 令 ，，，‎ 下面证明： 对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 ，，‎ 若 ，取 ， 表示不大于 的最大整数，‎ 当 时，‎ ‎ ‎ 此时命题成立；‎ 若 ，取 ，‎ 当 时，‎ ‎ ‎ 此时命题成立，‎ 因此对任意正数 ，存在正整数 ，使得当 时，；‎ 综合以上三种情况，命题得证．‎ ‎2017三角 ‎（2017文科一小题一大题）（2017理科一小题一大题）‎ ‎2017年北京高考文科第9题 ‎9. 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于 轴对称，若 ，则  ．‎ ‎ 9. ‎ ‎2017年北京高考文科第16题 ‎16. 已知函数 ．‎ ‎（1）求 的最小正周期；‎ ‎（2）求证：当 时，‎ ‎16. （1） ‎ 所以 ，‎ 所以 的最小正周期为 ．‎ ‎      （2） 因为 ，‎ ‎ 所以 ，‎ 所以 ，‎ 所以 ．‎ ‎2017年北京高考理科第12题 ‎（12）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎2017年北京高考理科第15题 ‎（15）（本小题13分）‎ 在△ABC中， =60°，c=a.‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）根据正弦定理 ‎（2）当时，，‎ ‎△ABC中 ‎ ‎2016数列 ‎（2016文科一大题）（2016理科一小题一大题）‎ ‎2016年北京高考文科第15题 ‎15. 已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，，，．‎ ‎（1）求 的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列 的前 项和．‎ ‎15. （1） 等比数列 的公比 ，‎ 所以 ，．‎ 设等差数列 的公差为 ．‎ 因为 ，，‎ 所以 ，即 ．‎ 所以 ．‎ ‎      （2） 由（1）知，，．‎ 因此 ．‎ 从而数列 的前 项和 ‎ ‎ ‎2016年北京高考理科第12题 ‎12. 已知 为等差数列， 为其前 项和，若 ，，则  ．‎ ‎12. ‎ ‎【解析】 为等差数列，，所以 ，，解得 ．所以 ．‎ ‎2016年北京高考理科第20题 ‎20. 设数列 ：，，，．如果对小于 的每个正整数 都有 ，则称 是数列 的一个“ 时刻”．记 是数列 的所有“ 时刻”组成的集合．‎ ‎（1）对数列 ：，，，，，写出 的所有元素；‎ ‎（2）证明：若数列 中存在 使得 ，则 ；‎ ‎（3）证明：若数列 满足 ，则 的元素个数不小于 ．‎ ‎20. （1） 的元素为 和 ．‎ ‎      （2） 因为存在 使得 ，‎ 所以 ．‎ 记 ，‎ 则 ，且对任意正整数 ，．‎ 因此 ．‎ 从而 ．‎ ‎      （3） 当 时，结论成立．‎ 以下设 ．‎ 由（2）知 ．‎ 设 ，．‎ 记 ，‎ 则 ．‎ 对 ，记 ．‎ 如果 ，取 ，‎ 则对任何 ，．‎ 从而 且 ．‎ 又因为 是 中的最大元素，‎ 所以 ．‎ 从而对任意 ，，特别地，．‎ 对 ，．‎ 因此 ．‎ 所以 ．‎ 因此 的元素个数 不小于 ．‎ ‎2016三角 ‎（2016文科一小题一大题）（2016理科一小题一大题）‎ ‎2016年北京高考文科第13题 ‎13. 在 中，，，则  ．‎ ‎13. ‎ ‎【解析】在 中，由正弦定理知 ，又 ，，所以 ，解得 ，又 为锐角，所以 ，，所以 ．‎ ‎2016年北京高考文科第16题 ‎16. 已知函数 的最小正周期为 ．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）求 的单调递增区间．‎ ‎16. （1） ‎ 因为 ， .‎ 所以 ．‎ ‎      （2） 由 可知 ，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ 所以单调递增区间是 ．‎ ‎2016年北京高考理科第7题 ‎7. 将函数 图象上的点 向左平移 个单位长度得到点 ．若 位于函数 的图象上，则 ‎ ‎ A. ， 的最小值为 B. ， 的最小值为 ‎ ‎ C. ， 的最小值为 D. ， 的最小值为 ‎ ‎7. A 【解析】因为点 在 的图象上，‎ 所以 ．‎ 点 向左平移 个单位长度得到 ．‎ 因为 在 的图象上，‎ 所以 ．所以 ，‎ 所以 ．又 ，所以 ．‎ ‎2016年北京高考理科第15题 ‎15. 在 中，．‎ ‎（1）求 的大小；‎ ‎（2）求 的最大值．‎ ‎15. （1） 因为 ，‎ 所以 ，所以 ．‎ ‎      （2） 在 中，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以当 时， 的最大值为 ．‎ ‎2015数列 ‎（2015文科一大题）（2015理科一小题一大题）‎ ‎2015年北京高考文科第16题 ‎16. 已知等差数列 满足 ，．‎ ‎（1）求 的通项公式；‎ ‎（2）设等比数列 满足 ，，问： 与数列 的第几项相等?‎ ‎16. （1） 设等差数列 的公差为 ．‎ 因为 ，所以 ．‎ 又因为 ，所以 ，故 ．‎ 所以 （）．‎ ‎      （2） 设等比数列 的公比为 ，‎ 因为 ，，‎ 所以 ，，‎ 所以 ．‎ 由 得 ，‎ 所以 与数列 的第 项相等．‎ ‎2015年北京高考理科第6题 ‎6. 设 是等差数列，下列结论中正确的是 ‎ ‎ A. 若 ，则 ‎ ‎ B. 若 ，则 ‎ ‎ C. 若 ，则 ‎ ‎ D. 若 ，则 ‎ ‎6. C 【解析】数列 是等差数列，如数列 ，满足 ，则 ；如数列 ，满足 ，则 ；所以A，B不正确；对于等差数列 ，所以D不正确；等差数列若 ，则数列 是单调递增数列，有 ，所以C正确．‎ ‎2015年北京高考理科第20题 ‎20. 已知数列 满足：，，且 记集合 ．‎ ‎（1）若 ，写出集合 的所有元素；‎ ‎（2）若集合 存在一个元素是 的倍数，证明： 的所有元素都是 的倍数；‎ ‎（3）求集合 的元素个数的最大值．‎ ‎20. （1） ，，．‎ ‎      （2） 因为集合 存在一个元素是 的倍数，所以不妨设 是 的倍数．‎ 由 可归纳证明对任意 ， 是 的倍数．‎ 如果 ，则 的所有元素都是 的倍数．‎ 如果 ，因为 或 ，所以 是 的倍数，于是 是 的倍数．‎ 类似可得 ，， 都是 的倍数．‎ 从而对任意 ， 是 的倍数，因此 的所有元素都是 的倍数．‎ 综上，若集合 存在一个元素是 的倍数，则 的所有元素都是 的倍数．‎ ‎      （3） 由 ， 可归纳证明 （）．‎ 因为 是正整数， 所以 是 的倍数．‎ 从而当 时， 是 的倍数．‎ 如果 是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 是 的倍数．‎ 因此当 时，，这时 的元素个数不超过 ．‎ 如果 不是 的倍数，由（2）知对所有正整数 ， 不是 的倍数．‎ 因此当 时，，这时 的元素个数不超过 ．‎ 当 时， 有 个元素．‎ 综上可知，集合 的元素个数的最大值为 ．‎ ‎2015三角 ‎（2015文科一小题一大题）（2015理科一小题一大题）‎ ‎2015年北京高考文科第11题 ‎11. 在 中，，，，则  ．‎ ‎11. ‎ ‎2015年北京高考文科第15题 ‎15. 已知函数 ．‎ ‎（1）求 的最小正周期；‎ ‎（2）求 在区间 上的最小值．‎ ‎15. （1） 因为 ，‎ 所以 的最小正周期为 ．‎ ‎      （2） 因为 ，所以 ．‎ 当 ，即 时， 取得最小值．‎ 所以 在区间 上的最小值为 ．‎ ‎2015年北京高考理科第12题 ‎12. 在 中，，，，则  ．‎ ‎12. ‎ ‎【解析】因为 中，，，，‎ 所以 ，，‎ 所以 ，，‎ 所以 ．‎ ‎2015年北京高考理科第15题 ‎15. 已知函数 ．‎ ‎（1）求 的最小正周期；‎ ‎（2）求 在区间 上的最小值．‎ ‎15. （1） 由题意得 ，‎ 所以 的最小正周期为 ．‎ ‎      （2） 因为 ，所以 ．‎ 当 ，即 时， 取得最小值．‎ 所以 在区间 上的最小值为 ．‎ ‎2014数列 ‎（2014文科一大题）（2015理科两小题一大题）‎ ‎2014年北京高考文科第15题 ‎15. 已知 是等差数列，满足 ， ，数列 满足 ， ，且 是等比数列．‎ ‎（1）求数列 和 的通项公式；‎ ‎（2）求数列 的前 项和．‎ ‎15. （1） 设等差数列 的公差为 ，由题意得： ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 设等比数列 的公比为 ，由题意得： ‎ ‎ 解得 ．所以 ‎ ‎ 从而 ‎ ‎      （2） 由（1）知， ‎ ‎ 数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ‎ ‎ 所以数列 的前 项和为 ‎ ‎2014年北京高考理科第5题 ‎5. 设 是公比为 的等比数列，则 “ ” 是" 为递增数列"的 ‎ ‎ A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5. D ‎2014年北京高考理科第12题 ‎12. 若等差数列 满足 ，，‎ 则当   时， 的前 项和最大．‎ ‎12. ‎ ‎【解析】根据等差数列的性质，得 ，，‎ 于是 ，，即 ，，‎ 故 为 的前 项和中的最大值．‎ ‎2014年北京高考理科第20题 ‎20. 对于数对序列 ，记 ，，其中 ‎ ‎ 表示 和 两个数中最大的数．‎ ‎（1）对于数对序列 ，，求 ， 的值；‎ ‎（2）记 为 四个数中最小值，对于由两个数对 ， 组成的数对序列 ， 和 ，，试分别对 和 时两种情况比较 和 的大小；‎ ‎（3）在由 个数对 ，，，， 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 使 最小，并写出 的值．（只需写出结论）‎ ‎20. （1） ‎ ‎      （2） 当 时，‎ 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 当 时，‎ 因为 是 中最小的数，所以 ，从而 综上，这两种情况下都有 ．‎ ‎      （3） 数对序列 （不唯一）对应的 最小，此时 ．‎ ‎2014三角 ‎（2014文科一小题一大题）（2014理科一小题一大题）‎ ‎2014年北京高考文科第12题 ‎12. 在 中，，，，则  ；  ．‎ ‎12. ，‎ ‎2014年北京高考文科第16题 ‎16. 函数 的部分图象如图所示．‎ ‎ ‎ ‎（1）写出 的最小正周期及图中 ， 的值；‎ ‎（2）求 在区间 上的最大值和最小值．‎ ‎16. （1） 的最小正周期为 ，，．‎ ‎      （2） 因为 ，所以 于是，当 ，即 时， 取得最大值 ；‎ 当 ，即 时， 取得最小值 ．‎ ‎2014年北京高考理科第14题 ‎14. 设函数 （ ，， 是常数，， ）．若 在区间 上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为  ．‎ ‎14. ‎ ‎【解析】记 的最小正周期为 ．由题意知 ，‎ 又 ，且 ，‎ 可作出示意图如图所示（一种情况）：‎ ‎ ‎ 所以 ， ，‎ 所以 ，所以 ．‎ ‎2014年北京高考理科第15题 ‎15. 如图，在 中， ， ，点 在 上，且 ， ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求 ；‎ ‎（2）求 的长．‎ ‎15. （1） 因为 ‎ 所以 ‎      （2） 在 中 ， ‎ ‎ 即 ‎ 解得 ‎ ‎ 在 中， ‎ ‎ 所以 ．‎ ‎2013数列 ‎（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）‎ ‎2013年北京高考文科第11题 ‎11. 若等比数列 满足 ，，则公比  ；前 项和  ．‎ ‎11. ，‎ ‎2013年北京高考文科第20题 ‎20. 给定数列 ，，，，对 ，，，，该数列前 项的最大值记为 ，后 项 ，，， 的最小值记为 ，．‎ ‎（1）设数列 为 ，，，，写出 ，， 的值；‎ ‎（2）设 ，，， 是公比大于 的等比数列，且 ，证明：，，， 是等比数列；‎ ‎（3）设 ，，， 是公差大于 的等差数列，且 ，证明：，，， 是等差数列．‎ ‎20. （1） ，，．‎ ‎      （2） 因为 ，公比 ，所以 ，，， 是递增数列．‎ 因此，对 ，，，，，．故 ，，，，‎ 因此， 且 ，即 ，，， 是等比数列．‎ ‎      （3） 设 为 ，，， 的公差．‎ 对 ，因为 ，，所以 又因为 ，所以 从而 ，，， 是递增数列．因此 又因为 所以 因此 ，所以 所以 因此对 ，，， 都有 即 ，，， 是等差数列．‎ ‎2013年北京高考理科第10题 ‎10. 若等比数列 满足 ，，则公比  ；前 项和  ．‎ ‎10. ，‎ ‎2013年北京高考理科第20题 ‎20. 已知 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，第 项之后各项 的最小值记为 ，．‎ ‎（1）若 为 ，是一个周期为 的数列（即对任意 ），写出 的值；‎ ‎（2）设 是非负整数，证明： 的充分必要条件为 是公差为 的等差数列；‎ ‎（3）证明：若 ，则 的项只能是 或者 ，且有无穷多项为 ．‎ ‎20. （1） ．‎ ‎      （2） （充分性）因为 是公差为 的等差数列，且 ，所以 因此 ‎（必要性）因为 ，所以 又因为 ，所以 于是，．因此 即 是公差为 的等差数列．‎ ‎      （3） 因为 ，所以 故对任意 ．‎ 假设 中存在大于 的项．‎ 设 ，并且对任意 ．又因为 ，所以 于是，‎ 故 与 矛盾．‎ 所以对于任意 ，有 ，即非负整数列 的各项只能为 或 ‎ 因为对任意 ，所以 ．故 因此对于任意正整数 ，存在 满足 ，且 ，即数列 有无穷多项为 ‎ ‎2013三角 ‎（2013文科一小题一大题）（2013理科一小题一大题）‎ ‎2013年北京高考文科第5题 ‎5. 在 中，，，，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. B ‎ ‎【解析】由正弦定理： 及已知得 ．‎ ‎ 所以 ．‎ ‎2013年北京高考文科第15题 ‎15. 已知函数 ．‎ ‎（1）求 的最小正周期及最大值；‎ ‎（2）若 ，且 ，求 的值．‎ ‎15. （1） 因为 ‎ ‎ 所以 的最小正周期为 ，最大值为 ．‎ ‎      （2） 因为 ，所以 因为 ，所以 所以 故 ．‎ ‎2013年北京高考理科第3题 ‎3. " "是"曲线 过坐标原点"的 ‎ ‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3. A ‎2013年北京高考理科第15题 ‎15. 在 中，，，．‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）求 的值．‎ ‎15. （1） 因为 ，，，‎ 所以在 中，由正弦定理得 ．‎ 所以 ．故 ．‎ ‎      （2） 由（1）知 ，所以 ．‎ 又因为 ，所以 ．所以 ．‎ 在 中，．所以 ．‎