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- 2021-05-13 发布
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2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=1+i,则的值等于( )
A.i B.﹣i C.1 D.﹣1
2.设全集U={0,1,2},A={x|x2+ax+b=0},若∁UA={0,1},则实数a的值为( )
A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4
3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入的n=3,则输出的结果为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.Sn是等比数列{an}的前n项和,若S2,S4,S3成等差数列,则数列{an}的公比q等于( )
A. B.2 C.﹣2 D.
5.已知双曲线的离心率为,一个焦点到一条渐近线的距离为2,则该双曲线的方程可以是( )
A.x2﹣=1 B.x2﹣=1 C. =1 D. =1
6.设x,y满足条件且z=x+y+a(a为常数)的最小值为4,则实数a的值为( )
A. B.2 C.4 D.5
7.现有A,B两个箱子,A箱装有红球和白球共6,B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个.现甲从A箱中任取2个球,乙从B箱中任取1个球.若取出的3个球恰有两球颜色相同,则甲获胜,否则乙获胜.为了保证公平性,A箱中的红球个数应为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知命题p:y=sin(x﹣)在(0,π)上是减函数;命题q:“a=”是“直线x=为曲线f(x)=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q
9.在空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,0,0),(2,1,1),(0,1,1).若画该四面体三视图时,正视图以zOy平面为投影面,则得到的侧视图是( )
A. B. C. D.
10.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A,B两点,若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16,则p的值为( )
A.8 B.8 C.12 D.16
11.已知四面体ABCD的一条棱长为a,其余各棱长均为2,且所有顶点都在表面积为20π的球面上,则a的值等于( )
A.3 B.2 C.3 D.3
12.已知点A(1,1),点P在曲线f(x)=x3﹣3x2+3x(0≤x≤2)上,点Q在直线y=3x﹣14上,M为线段PQ的中点,则|AM|的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知△ABC为等边三角形,在方向上的投影为2, =3,则=______.
14.(1+2x)(x+)5展开式中x的系数为______.
15.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)﹣x恰有两个零点,则实数a的取值范围是______.
16.若数列{an}满足++…+=﹣,且对任意的n∈N*,存在m∈N*,使得不等式an≤am恒成立,则m的值是______.
三、解答题:本大题共5小题,满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).
(Ⅰ)求∠ABC;
(Ⅱ)若∠A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABDC面积的最大值.
18.某职业学校有2000名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了100名学生,并将统计结果绘成直方图如图:
(Ⅰ)试估计该校学生在校月消费的平均数;
(Ⅱ)根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额x(元)和服务部可获得利润y(元),满足关系式:根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答下列问题:
(ⅰ)对于任意一个学生,校服务部可获得的利润记为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
(ⅱ)若校服务部计划每月预留月利润的,用于资助在校月消费低于400元的学生,那么受资助的学生每人每月可获得多少元?
19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=3,AD=4,AC=2,∠ADC=60°,E为线段PC上一点,且=λ.
(Ⅰ)求证:CD⊥AE;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面PAD,直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为,求λ的值.
20.已知点F(1,0),点P在圆E:(x+1)2+y2=16上,线段PF的垂直平分线交PE于点M.记点M的轨迹为曲线Γ.过x轴上的定点Q(m,0)(m>2)的直线l交曲线Γ于A,B两点.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,证明:直线A′B恒过一个定点S,且|OS|•|OQ|=4.
21.已知函数f(x)=﹣+(a﹣1)x+lnx.
(Ⅰ)若a>﹣1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a>1,求证:(2a﹣1)f(x)<3ea﹣3.
四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图,已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E,CB与⊙A相切,⊙B半径为2,AE=3.
(Ⅰ)求弦CD的长;
(Ⅱ)⊙B与线段AB相交于点F,延长CF与⊙A相交于点G,求CG的长.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;
(Ⅱ)若点A,B为曲线C上的两点,且OA⊥OB,求|OA|•|OB|的最小值.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≤x的解集;
(Ⅱ)当x≤﹣时,不等式f(x)+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立,求实数a的取值范围.
2016年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z=1+i,则的值等于( )
A.i B.﹣i C.1 D.﹣1
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】把z=1+i代入,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵数z=1+i,
∴=,
故选:A.
2.设全集U={0,1,2},A={x|x2+ax+b=0},若∁UA={0,1},则实数a的值为( )
A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4
【考点】补集及其运算.
【分析】根据补集关系确定方程有两个相等的实根2,进行求解即可.
【解答】解:∵∁UA={0,1},
∴A={2},即方程x2+ax+b=0有两个相等的实根2,
则﹣=2,即a=﹣4,
故选:D.
3.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入的n=3,则输出的结果为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算变量n的值,满足条件时退出循环,输出相应的i的值,模拟程序的运行过程,可得答案;
【解答】解:模拟执行程序,可得
n=3,i=0
不满足条件n是偶数,n=10,i=1
不满足条件n=1,执行循环体,满足条件n是偶数,n=5,i=2
不满足条件n=1,执行循环体,不满足条件n是偶数,n=16,i=3
不满足条件n=1,执行循环体,满足条件n是偶数,n=8,i=4
不满足条件n=1,执行循环体,满足条件n是偶数,n=4,i=5
不满足条件n=1,执行循环体,满足条件n是偶数,n=2,i=6
不满足条件n=1,执行循环体,满足条件n是偶数,n=1,i=7
满足条件n=1,退出循环,输出i的值为7.
故选:B,
4.Sn是等比数列{an}的前n项和,若S2,S4,S3成等差数列,则数列{an}的公比q等于( )
A. B.2 C.﹣2 D.
【考点】等比数列的通项公式.
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、前n项和公式即可得出.
【解答】解:∵S2,S4,S3成等差数列,
∴2S4=S3+S2,
∴2a1(1+q+q2+q3)=a1(2+2q+q2),
化为:1+2q=0,解得q=﹣.
故选:D.
5.已知双曲线的离心率为,一个焦点到一条渐近线的距离为2,则该双曲线的方程可以是( )
A.x2﹣=1 B.x2﹣=1 C. =1 D. =1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据一个焦点到一条渐近线的距离为2,离心率的值,建立方程关系求出a,b的值即可得到结论.
【解答】解:设双曲线的一个焦点为F(c,0),双曲线的一条渐近线为y=,取bx﹣ay=0,
所以焦点到渐近线的距离d==2,
∵离心率e==,∴c=,
则c2=a2+b2,
即3a2=a2+4,
即2a2=4,则a2=2,
则该双曲线的方程可以是=1,
故选:C.
6.设x,y满足条件且z=x+y+a(a为常数)的最小值为4,则实数a的值为( )
A. B.2 C.4 D.5
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
化目标函数z=x+y+a为y=﹣x+z﹣a,
由图可知,当直线y=﹣x+z﹣a过点A(2,0)时,直线在y轴上的截距最小,
z有最小值为2+0+a=4,即a=2.
故选:B.
7.现有A,B两个箱子,A箱装有红球和白球共6,B箱装有红球4个、白球1个、黄球1个.现甲从A箱中任取2个球,乙从B箱中任取1个球.若取出的3个球恰有两球颜色相同,则甲获胜,否则乙获胜.为了保证公平性,A箱中的红球个数应为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考点】概率的意义.
【分析】取出的3个球中有两个颜色相同包括:从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球;从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球;从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球,这个事件的概率是.
【解答】解:设A箱中有x个红球,则有(6﹣x)个白球,从6个球任取2个共有C62=15种,
取出的3个球中有两个颜色相同包括:
从A箱取出2个红球从B箱中取出的是白球或黄球,其概率为××2,
从A箱取出的是白球从B箱中取出红球或黄球,其概率为×(+),
从A箱中取出一个红球一个白球从B箱中取出是黄球,期概率为×(+),
故××2+×(+)+×(+)=,
解得x=5,
故答案为:5.
8.已知命题p:y=sin(x﹣)在(0,π)上是减函数;命题q:“a=”是“直线x=为曲线f(x)=sinx+acosx的一条对称轴”的充要条件.则下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q
【考点】复合命题的真假.
【分析】分别判断出p,q的真假,从而判断出复合命题的真假.
【解答】解:∵0<x<π,∴﹣<x﹣<,
∴y=sin(x﹣)在(0,π)上是增函数,
命题p是假命题;
若a=,则f(x)=sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+),
对称轴x+=kπ+,∴x=kπ+,是充分条件,
若直线x=为曲线f(x)=sinx+acosx的一条对称轴,
则f(﹣x)=f(+x) 当x=即f(0)=f()
∴f(0)=a=f()=+,解得a=,
故命题q是真命题;
则命题¬p∧q是真命题,
故选:C.
9.在空间直角坐标系O﹣xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,0,0),(2,1,1),(0,1,1).若画该四面体三视图时,正视图以zOy平面为投影面,则得到的侧视图是( )
A. B. C. D.
【考点】简单空间图形的三视图.
【分析】由题意,利用空间直角坐标系,借助于正方体在坐标系中画出几何体,再画出它的侧视图.
【解答】解:由题意,画出直角坐标系,在坐标系中各点对应位置如图①所示;
以平面zOy为投影面,得到的侧视图如图②所示:
故选:C.
10.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交C于A,B两点,若以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16,则p的值为( )
A.8 B.8 C.12 D.16
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】求得抛物线的焦点,设出直线AB的方程,代入抛物线的方程,运用韦达定理和抛物线的定义,根据以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16,即可得到所求值.
【解答】解:抛物线y2=2px的焦点F为(,0),
设直线AB的方程为y﹣0=x﹣,
即为y=x﹣,代入抛物线的方程,可得x2﹣3px+=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p,x1x2=,
∴y1+y2=2p
由抛物线的定义可得,|AB|=x1+x2+p=4p.
∵以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为16,
∴4p2=(8)2+p2,∴p=8
故选:A.
11.已知四面体ABCD的一条棱长为a,其余各棱长均为2,且所有顶点都在表面积为20π的球面上,则a的值等于( )
A.3 B.2 C.3 D.3
【考点】球内接多面体.
【分析】由题意画出几何体的图形,推出四面体的外接球的球心的位置,利用球的半径建立方程,即可求出a的值.
【解答】解:表面积为20π的球的半径为.
画出几何体的图形,BC=a,BC的中点为O,连接AO,DO,则AO⊥BC,DO⊥BC,
∴BC⊥平面AOD,
取AD的中点E,则OE⊥AD,球的球心在AD的中点E与O的连线上,
设球心为G,
∵OA=OD=,AD=2,
∴OE=
设球的半径为R,GE=x,则R2=5=3+x2=+(﹣x)2,
∴x=,a=3
故选:C..
12.已知点A(1,1),点P在曲线f(x)=x3﹣3x2+3x(0≤x≤2)上,点Q在直线y=3x﹣14上,M为线段PQ的中点,则|AM|的最小值为( )
A. B. C. D.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出f(x)的导数,令导数为3,求得切线的方程,以及中点M所在直线的方程,运用点到直线的距离公式求出A到它们的距离,即可得到最小值.
【解答】解:f(x)=x3﹣3x2+3x的导数为f′(x)=3x2﹣6x+3,
令f′(x)=3,解得x=0或2,
可得与直线y=3x﹣14平行,
且与y=f(x)图象相切的直线为y=3x或y=3x﹣4,
可得中点M所在直线的方程为y=3x﹣7或y=3x﹣9,
由图象可得A到直线y=3x﹣7的距离为=,
A到直线y=3x﹣9的距离为=.
即有|AM|的最小值为,
故选:B.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知△ABC为等边三角形,在方向上的投影为2, =3,则= 4 .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】先由,在方向上的投影为2,求出三角形的边长为4,再根据=()即可求出答案.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,在方向上的投影为2,
∴||=2,
∴AB=AC=BC=4,
∴=()=(﹣)•=||2﹣•=×42﹣4×4×=4,
故答案为:4
14.(1+2x)(x+)5展开式中x的系数为 40 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】展开式的x项来源于第一个括号的1和m=(x+)5展开式的x项的乘积或第一个括号的2x和m=(x+)5展开式的常数项的乘积,分别由m的展开式可得.
【解答】解:展开式的x项来源于第一个括号的1和m=(x+)5展开式的x项的乘积
或第一个括号的2x和m=(x+)5展开式的常数项的乘积,
又m=(x+)5的通项为Tk+1=x5﹣k()k=2k•x5﹣2k,
令5﹣2k=1可得k=2,故m展开式中含x的项为40x,
令5﹣2k=0可得k=∉Z,故m展开式中无常数项,
∴原式展开式中x的系数为40,
故答案为:40.
15.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)﹣x恰有两个零点,则实数a的取值范围是 .
【考点】函数的图象;函数零点的判定定理.
【分析】画出函数f(x)=的图象,若函数g(x)=f(x)﹣x恰有两个零点,则函数f(x)的图象与函数y=x的图象有且只有两个交点,数形结合可得答案.
【解答】解:函数f(x)=的图象如下图所示:
当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点,
即函数g(x)=f(x)﹣x恰有一个零点,
故x≤0时,函数g(x)=f(x)﹣x也恰有一个零点,
即x≤0时,函数f(x)的图象与函数y=x的图象有且只有一个交点,
故a>0,y=x与y=﹣x2+a相切,
解得:a=﹣,
故实数a的取值范围是:,
故答案为:
16.若数列{an}满足++…+=﹣,且对任意的n∈N*,存在m∈N*,使得不等式an≤am恒成立,则m的值是 5 .
【考点】数列与不等式的综合.
【分析】通过作差可知数列{an}的通项公式,计算出数列的前几项即可判断出数列的变化规律,进而即得结论.
【解答】解:∵++…+=﹣,
∴当n≥2时, ++…+=﹣,
两式相减得: =﹣=,
∴an=(2n﹣1)•(n≥2),
又∵=﹣=﹣不满足上式,
∴an=,
∵a2=,a3=,a4=,a5=,a6=,
且易知从第六项开始数列递减,
∴m=5,
故答案为:5.
三、解答题:本大题共5小题,满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.如图,在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).
(Ⅰ)求∠ABC;
(Ⅱ)若∠A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABDC面积的最大值.
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】(Ⅰ)利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC,结合sinC≠0,可求tanB=1,结合范围B∈(0,π),即可求得B的值.
(Ⅱ)由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD,由已知及(Ⅰ)可知,利用三角形面积公式可求S△ABC,S△BDC,从而可求,根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值.
【解答】(本题满分为12分)
解:(Ⅰ)在△ABC中,∵a=b(sinC+cosC),
∴sinA=sinB(sinC+cosC),…
∴sin(π﹣B﹣C)=sinB(sinC+cosC),
∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC),…
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC,…
∴cosBsinC=sinBsinC,
又∵C∈(0,π),故sinC≠0,…
∴cosB=sinB,即tanB=1. …
又∵B∈(0,π),
∴. …
(Ⅱ)在△BCD中,DB=2,DC=1,
∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD. …
又,由(Ⅰ)可知,
∴△ABC为等腰直角三角形,…
∴,…
又∵,…
∴. …
∴当时,四边形ABDC的面积有最大值,最大值为.…
18.某职业学校有2000名学生,校服务部为了解学生在校的月消费情况,随机调查了100名学生,并将统计结果绘成直方图如图:
(Ⅰ)试估计该校学生在校月消费的平均数;
(Ⅱ)根据校服务部以往的经验,每个学生在校的月消费金额x(元)和服务部可获得利润y(元),满足关系式:根据以上抽样调查数据,将频率视为概率,回答下列问题:
(ⅰ)对于任意一个学生,校服务部可获得的利润记为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
(ⅱ)若校服务部计划每月预留月利润的,用于资助在校月消费低于400元的学生,那么受资助的学生每人每月可获得多少元?
【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图能求出学生月消费的平均数.
(Ⅱ)(ⅰ)月消费值落入区间[200,400)、[400,800)、[800,1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ.
(ii)先求出服务部的月利润,再求出受助学生人数,由此能求出每个受助学生每月可获得多少元.
【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图得学生月消费的平均数:
…
=680…
(Ⅱ)(ⅰ)月消费值落入区间[200,400)、[400,800)、[800,1200]的频率分别为0.05、0.80、0.15,
∴P(ξ=20)=0.05,
P(ξ=40)=0.80,
P(ξ=80)=0.15,
∴ξ的分布列为:
ξ
20
40
80
P
0.05
0.80
0.15
Eξ=20×0.05+40×0.80+80×0.15=45.
(ii)服务部的月利润为45×2000=90000(元),
受助学生人数为2000×0.05=100,
每个受助学生每月可获得90000×÷100=200(元).
19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=3,AD=4,AC=2,∠ADC=60°,E为线段PC上一点,且=λ.
(Ⅰ)求证:CD⊥AE;
(Ⅱ)若平面PAB⊥平面PAD,直线AE与平面PBC所成的角的正弦值为,求λ的值.
【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】(I)由PA⊥平面ABCD得出PA⊥CD,在△ACD中使用正弦定理可得∠ACD=90°,故而CD⊥平面PAC,于是CD⊥AE;
(II)由面面垂直可得AB⊥AD,以A为原点建立空间直角坐标系,求出和平面PBC的法向量,则|cos<>|=,列方程解出λ即可.
【解答】证明:(Ⅰ)在△ADC中,AD=4,,∠ADC=60°,
由正弦定理得:,即,解得sin∠ACD=1,
∴∠ACD=90°,即DC⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴DC⊥PA.
又AC∩PA=A,AC⊂平面PAC,PA⊂平面PAC,
∴CD⊥平面PAC.∵AE⊂平面PAC,
∴CD⊥AE.
(Ⅱ)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴PA⊥AB,PA⊥AD.∴∠BAD即为二面角B﹣PA﹣D的平面角.
∵平面PAB⊥平面PAD,∴∠BAD=90°.
以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则,
. =(,3,﹣3). =(0,0,3).
∴=(,3λ,﹣3λ),∴==(,3λ,3﹣3λ).
设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则,
∴,令,得=(,0,1).
设直线AE与平面PBC所成的角为θ,则,
∴或.
20.已知点F(1,0),点P在圆E:(x+1)2+y2=16上,线段PF的垂直平分线交PE于点M.记点M的轨迹为曲线Γ.过x轴上的定点Q(m,0)(m>2)的直线l交曲线Γ于A,B两点.
(Ⅰ)求曲线Γ的方程;
(Ⅱ)设点A关于x轴的对称点为A′,证明:直线A′B恒过一个定点S,且|OS|•|OQ|=4.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质.
【分析】(I)利用垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出.
(Ⅱ)由椭圆的对称性可得,定点S必在x轴上.设直线l的方程为y=k(x﹣m),A(x1,y1),B(x2,y2),直线A'B与x轴的交点为S(s,0)则A'(x1,﹣y1),直线方程与椭圆方程联立可得:(3+4k2)x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0,利用根与系数的关系,及其A',B,S三点共线,进而得出.
【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,|MP|=|MF|,∴|ME|+|MF|=4,
∵|ME|+|MF|>|EF|,
∴点M的轨迹是以点F(1,0)和E(﹣1,0)为焦点,2a=4的椭圆,
∴,
∴曲线Γ的方程为.
(Ⅱ)由椭圆的对称性可得,定点S必在x轴上.设直线l的方程为y=k(x﹣m),A(x1,y1),B(x2,y2),直线A'B与x轴的交点为S(s,0)则A'(x1,﹣y1),
∴=(x1﹣s,﹣y1),=(x2﹣s,y2),
由得,(3+4k2)x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12=0,
△>0,即(4﹣m2)k2+3>0,
∴,
当k≠0时,由A',B,S三点共线,可得(x1﹣s)y2+(x2﹣s)y1=0,
即k(x1﹣s)(x2﹣m)+k(x2﹣s)(x1﹣m)=0,2x1x2﹣(s+m)(x1+x2)+2sm=0,
∴,
∴,
∴,即,k=0时,直线A'B与x轴重合,过点.
综上述,直线A'B恒过一个定点,且=4.
21.已知函数f(x)=﹣+(a﹣1)x+lnx.
(Ⅰ)若a>﹣1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若a>1,求证:(2a﹣1)f(x)<3ea﹣3.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(Ⅰ)求导,令f′(x)=0,解得x1、x2,再进行分类讨论,利用导数大于0,求得函数的单调增区间;利用导数小于0,求得函数的单调减区间;
(Ⅱ)a>1,由函数单调性可知,f(x)在x=1取极大值,也为最大值,f(x)max=a﹣1,因此(2a﹣1)f(x)≤(2a﹣1)(a﹣1),构造辅助函数g(a)=,求导,求出g(a)的单调区间及最大值,<=3,可知g(a)<3,ea﹣3>0,即可证明(2a﹣1)f(x)<3ea﹣3.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)=﹣+(a﹣1)x+lnx,x>0
则f′(x)=﹣ax+(a﹣1)+=,
令f′(x)=0,解得x1=1,x2=﹣,
当﹣>1,解得﹣1<a<0,
∴﹣1<a<0,f′(x)>0的解集为(0,1),(﹣,+∞),
f′(x)<0的解集为(1,﹣),
∴函数f(x)的单调递增区间为:(0,1),(﹣,+∞),
函数f(x)的单调递减区间为(1,﹣);
当﹣<1,解得a>0,
∴a>0,f′(x)>0的解集为(0,1),
f′(x)<0的解集为(1,+∞);
∴当a>0,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),
函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞);
综上可知:﹣1<a<0,函数f(x)的单调递增区间为:(0,1),(﹣,+∞),函数f(x)的单调递减区间为(1,﹣);
a>0,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),函数f(x)的单调递减区间为(1,+∞);
(Ⅱ)证明:∵a>1,故由(Ⅰ)可知函数f(x)的单调递增区间为(0,1)单调递减区间为(1,+∞),
∴f(x)在x=1时取最大值,并且也是最大值,即f(x)max=a﹣1,
又∵2a﹣1>0,
∴(2a﹣1)f(x)≤(2a﹣1)(a﹣1),
设g(a)=,g′(a)=﹣=﹣,
∴g(a)的单调增区间为(2,),单调减区间为(,+∞),
∴g(a)≤g()==,
∵2>3,
∴<=3,
∴g(a)<3,
ea﹣3>0,
∴(2a﹣1)f(x)<3ea﹣3.
四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图,已知⊙A和⊙B的公共弦CD与AB相交于点E,CB与⊙A相切,⊙B半径为2,AE=3.
(Ⅰ)求弦CD的长;
(Ⅱ)⊙B与线段AB相交于点F,延长CF与⊙A相交于点G,求CG的长.
【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质.
【分析】(Ⅰ)连结CA,由圆的切线的性质、对称性,根据射影定理求出BE,再根据勾股定理,继而得出弦CD的长;
(Ⅱ)在△CEF中,求出EF,CF的长,根据勾股定理求出AC,设⊙A与直线AB相交于M,N两点,分别求出AF,MF,NF,根据相交弦定理求得CF•FG,得出FG,继而求得CG的值.
【解答】解:(Ⅰ)证明:连结CA,则CA⊥CB,
∵由圆的对称性知CD⊥AB,
∴由射影定理得:BC2=BE•BA=BE•(BE+EA),
∴22=BE•(BE+3),∴BE=1;
∴在 Rt△BEC中,,
∴.
(Ⅱ)在△CEF中,,EF=BF﹣BE=1,
∴CF=2,
在△ACE中,.
设⊙A与直线AB相交于M,N两点,
AF=AE﹣EF=3﹣1=2,,
∵由相交弦定理得CF•FG=FM•NF=(2+2)•(2﹣2)=8,
∴FG=4,
∴CG=4+2=6.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;
(Ⅱ)若点A,B为曲线C上的两点,且OA⊥OB,求|OA|•|OB|的最小值.
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)曲线C:(α为参数),利用平方关系可得曲线C的普通方程.把x=ρcosθ,y=ρsinθ,代入曲线C的极坐标方程.
(2)由对称性,设点A、B的极坐标分别为(ρ1,θ),,其中,代入极坐标方程化简利用三角函数的值域即可得出.
【解答】解:(1)曲线C:(α为参数),可得曲线C的普通方程为.
∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,
∴曲线C的极坐标方程为.
(2)由对称性,设点A、B的极坐标分别为(ρ1,θ),,其中,
则=.
当且仅当sin22θ=1即,|OA|•|OB|取到最小值.
[选修4-5:不等式选讲]
24.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|x﹣a|(a>0).
(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≤x的解集;
(Ⅱ)当x≤﹣时,不等式f(x)+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立,求实数a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.
【分析】(1)将a=1代入f(x),通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)求出f(x)的最小值,根据函数恒成立求出a的范围即可.
【解答】解:(1)当a=1时,f(x)≤x化为|2x+1|﹣|x﹣1|≤x,…
当,不等式化为2x+2≥0,解得;…
当,不等式化为2x≤0,解得; …
当x≥1,不等式化为2≤0,无解;…
所以f(x)≤x解集为{x|﹣1≤x≤0}. …
(2)∵当时f(x)=﹣2x﹣1﹣(a﹣x)=﹣x﹣a﹣1,
∴. …
∵t2+2t+3=(t+1)2+2≥2,…
要使当时f(x)+t2+2t+3≥0对任意t∈R恒成立,
则当时f(x)+2≥0恒成立,…
∴,又由已知a>0
∴. …
2016年9月20日