j江苏南通市高考模拟试卷含答案 12页

‎2016年高考模拟试卷(7)‎ 南通市数学学科基地命题 ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．‎ ‎1． 已知集合，且，则的值为 ▲ ．‎ ‎2． 若复数（为虚数单位）的模等于1，则实数m的值为 ▲ ． ‎ 花期(天)‎ ‎11～13‎ ‎14～16‎ ‎17～19‎ ‎20～22‎ 个数 ‎20‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎10‎ I1‎ While I < 5‎ ‎ I End While Print S ‎（第5题）‎ ‎3．对某种花卉的开放花期追踪调查，调查情况如下：‎ 则这种花卉的平均花期为____▲____天．‎ ‎4． 将编号为1，2，3的三个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子（每个 ‎ 盒子中均有球），则编号为2的球不在编号为2的盒子中的概率为 ▲ ．‎ ‎5． 右图是某算法的伪代码，则输出的S的值是 ▲ ．‎ ‎6． 将函数的图象至少向右平移 ▲ 个单位，所得图象 ‎ 恰关于坐标原点对称．‎ ‎（第8题）‎ ‎7． 已知正数a，b满足a2ab，则的最小值为 ▲ ．‎ ‎8. 如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，‎ ‎ 则向量，的夹角余弦值是 ▲ ．‎ ‎9． 已知各项均为正数的等比数列  中，．数列满足，且其前10项 ‎ 为45，则数列的通项公式为 ▲ ．‎ ‎10．在棱长为2的正四面体中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且 ‎ ，则三棱锥的体积为 ▲ ．‎ ‎11．在等腰直角三角形ABC中，点B为直角顶点，点E，F在边BC上（E在F的左侧），且AB，‎ ‎ EF，，则线段BE长为 ▲ ．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，点C满足，且点C到 ‎ 直线l：的最小距离为，则实数t的值是 ▲ . ‎ ‎13． 若存在，使得（且）成立，则实数a的取值范围是 ▲ .‎ ‎14．设是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意 第 12页，共 12页 ‎ 的实数x，都有成立，则的最大值是 ▲ . ‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）若，求的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，PA平面ABCD，底面为直角梯形，且，‎ ‎°，，M，N分别为PC，PB的中点， P M C D N B A ‎（第16题）‎ ．‎ ‎ （1）求证：平面；‎ ‎ （2）求证：平面．‎ ‎17．（本小题满分14分）下图是一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB20 m，BC10 m，°．拟过线段 AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面 积之比为3:1的左、右两部分分别种植不同花卉．设（单位：m）．‎ A B D C ‎·‎ E ‎（第17题）‎ ‎ （1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；‎ ‎ （2）求y关于x的函数关系式；‎ ‎ （3）请确定点E，F的位置，‎ ‎18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，射线与椭圆的另一交点为，点在椭圆内部，射线，与 x y O B A C D P ‎（第18题）‎ 椭圆的另一交点分别为，．‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ 第 12页，共 12页 ‎ （2）求证：直线的斜率为定值．‎ ‎19．（本小题满分16分）已知函数，．‎ ‎ （1）若有极值，求a的取值范围；‎ ‎（2）若有经过原点的切线，求a的取值范围及切线的条数，并说明理由．‎ ‎20．（本小题满分16分）已知数列的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n，都有（k，t为常数）成立．‎ ‎（1）若，，问：数列是否为等差数列？并说明理由；‎ ‎（2）若数列是等比数列，求证：t0，且．‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C、D共4小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．（选修４－１：几何证明选讲） C D A B ‎（第21题A）‎ E FF 如图，C，D是直径为AB的半圆上的两个不同的点，与交于点，点在弦BD上，且△ACD∽△BCF，证明：△ABC∽△DFC．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ B．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵．求矩阵的特征值和特征向量．‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，两条曲线的极坐标方程分别为，，它们相交于A，B两点，求线段AB的长．‎ 第 12页，共 12页 ‎ ‎ D．（选修４－５：不等式选讲） 设，，均为正数，且，求的最小值．‎ ‎ ‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 第22题图 ‎22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD．若棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2，且向量与夹角的余弦值为．‎ ‎（1）求CD的长度；‎ ‎（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．‎ ‎23．（本小题满分10分）已知抛物线的方程为，F是其焦点．圆的方程为，直线（）是、的公切线． ‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）设A是上的一动点，以A为切点的的切线交轴于点B，设，‎ 证明：点M在一定直线上．‎ ‎ ‎ 第 12页，共 12页 第23题图2016年高考模拟试卷(7) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎ 1.3. 2.2. 3.16. 4. . 5.13. 6. . 7.6. 8. .‎ ‎9. .【解析】设数列的公比为q，由已知得，解得，所以，则其前10项和为，故，，所以． 10..【解析】正四面体的体积，三棱锥的体积为正四面体体积的，所以． 11. .【解析】设，则，，所以，解得． 12.1.【解析】设，则，所以点C的轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆，故圆心到直线的距离，解得（负舍）. 13. .【解析】两边取2为底的对数，则，即，所以，整理得，即或，则或.14..【解析】当时，,在平面直角坐标系中画出f (x)的图象，其至少向右平移2m个单位可以满足恒小于或等于f (x)，又因为f (x－1) ≤f (x)，所以2m≤1，得解. ‎ 二、解答题 ‎ ‎15．（1）因为， 所以， …… 2分 ‎ 从而 ‎ ‎ ‎ …… 4分 ‎ ，‎ ‎ 故； …… 6分 第 12页，共 12页 ‎ （2）由及正弦定理得，， …… 8分 ‎ 故，‎ ‎ 且，所以，‎ ‎ 又易得，从而，故，即，‎ ‎ 所以，即， …… 12分 ‎ 此时．…… 14分 ‎ 16．（1）由M，N分别为PC，PB的中点，得，‎ ‎ 因为，故， …… 2分 ‎ 又因为平面，平面，‎ ‎ 所以平面； …… 6分 ‎ （2）因为N是的中点，，‎ 所以. ‎ 因为底面，平面，‎ 所以， …… 8分 因为°，即，‎ 又，平面，‎ ‎ 所以平面， …… 11分 ‎ 又平面，故，‎ ‎ ，平面，‎ ‎ 平面． …… 14分 ‎17．（1）当点F与点C重合时，‎ ‎ 由题设知，S△BECS□ABCD，‎ ‎ 于是，其中h为平行四边形AB边上的高，‎ ‎ 得，即点E是AB的中点． ……4分 ‎ （2）因为点E在线段AB上，所以．‎ ‎ 当时，由（1）知，点F在线段BC上，‎ ‎ 因为AB20 m，BC10 m，°，‎ 第 12页，共 12页 ‎ 所以S□ABCD．‎ ‎ 由△EBF°得， ‎ ‎ 所以由余弦定理得．‎ ‎ 当时，点F在线段CD上，‎ ‎ 由四边形EBCF°得，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 化简均为． ‎ ‎ 综上， …… 10分 ‎ （3）当时，，‎ ‎ 于是当时，，此时；‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 故当E距B点2.5m，F距C点7.5m时，EF最短，其长度为m． …… 14分 ‎18．（1）易得，且，‎ ‎ 解得，，‎ ‎ 所以椭圆的方程为； ……… 6分 ‎ ‎ （2）设，，，，，‎ ‎ 则，，， ……… 8分 ‎ 又设，，其中，‎ 第 12页，共 12页 ‎ 则代入椭圆并整理得，‎ ‎ ，‎ ‎ 从而有 ， ① ……… 12分 ‎ 同理可得，②‎ ‎ ①－②得，， ……… 14分 ‎ 因为,所以，‎ ‎ 从而，故. ……… 16分 ‎19．（1）易得， …… 2分 ‎ 若，则，从而无极值；‎ ‎ 若a > 0，则当时，；时，，此时有极小值．‎ ‎ 综上，a的取值范围是． …… 4分 ‎ （2）设P(x0，y0) 是经过原点的切线与函数图象的切点，‎ ‎ 则切线方程为， …… 6分 ‎ ‎ 因为切线过点(0，0)，于是，即，‎ ‎ 因为，所以，‎ ‎ 设，则，得， …… 8分 x ‎（0，1）‎ ‎1‎ ‎（1，）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎ -‎ g(x)‎ ‎↗‎ 极大值1‎ ‎↘‎ ‎ 故当，即时，不存在切线； ‎ ‎ 当或，即或a<0时，有且仅有一条切线，‎ ‎ 当，即时，存在两条切线， …… 12分 第 12页，共 12页 ‎ 下证：对任意的，在(0，1)内一定有一解，其中．‎ ‎ 证明在(0，1) 内有一解，‎ ‎ 证明在内有一解．‎ ‎ 令，‎ ‎ 则h(1) m – 10，‎ ‎ ‎ ‎ 这是关于n的二次函数，所以当n充分大时，一定取正值，‎ ‎ 由介值定理知，在内有一解，即证． …… 16分 ‎ ‎ ‎ 20．（1）当，时，‎ ‎ ， ①‎ ‎ 所以 ， ②‎ ‎ ①②得，，‎ ‎ 即， …… 3分 ‎ 因为数列是正项数列，所以，‎ ‎ 从而， …… 5分 ‎ ①中，令得，， ③‎ ‎ 若数列是等差数列，则必有，④‎ ‎ 由③④得，（负值已舍），‎ ‎ 所以，当且仅当时，数列是公差为2的等差数列；‎ 否则，数列不是等差数列； …… 7分 ‎ （2）因为 ， ⑤‎ ‎ 所以 ， ⑥‎ ‎ ⑤⑥得，， ⑦ ‎ 第 12页，共 12页 ‎ 依题意，设，‎ ‎ 代入⑦得，， ⑧ …… 10分 ‎ 若，则（矛盾）， …… 12分 ‎ 若，⑧中，令，4得，‎ ‎ 两式相减得，，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以， …… 14分 ‎ 此时，‎ ‎ 又因为数列是正项数列，所以，即证． …… 16分 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21A．因为△ACD∽△BCF，‎ ‎ 所以ACDBCF，‎ ‎ 故ACDBCF，‎ ‎ 即DCFBCE，‎ ‎ 又BDCBAC，‎ ‎ 所以△ABC∽△DFC． ………10分 ‎ B．矩阵的特征多项式为，‎ 令，则，． ………5分 所以属于的一个特征向量为，‎ 属于的一个特征向量为． ………10分 ‎ C．由得，‎ 又，‎ 即， ………5分 第 12页，共 12页 所以AB的方程为，原点O到AB的距离为，‎ 故． ………10分 ‎ D．因为，当且仅当 时取得等号，即的最小值为9． ………10分 ‎22．依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz，‎ 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， 设＝λ，所以C(λ，2，0)，‎ ‎（1）从而＝(λ，2，－2)，＝(－1，2，0)，‎ ‎ 则cos＜，＞＝＝ ＝ ，‎ ‎ 解得λ＝2，即CD＝2； ………5分 ‎ （2）易得＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)，‎ ‎ 设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，‎ ‎ 则n·＝0，且n·＝0，‎ ‎ 即x＋y－z＝0，且y－z＝0，‎ ‎ 所以x＝0，不妨取y＝z＝1，‎ ‎ 则平面PCD的一个法向量n＝(0，1，1)， ‎ ‎ 又易得＝(1，0，－2)，‎ ‎ 故cos＜，n＞＝＝＝－，‎ ‎ 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． ………10分 ‎ 23．（1）由已知，圆： 的圆心为，半径，‎ 由题设圆心到直线的距离，‎ 第 12页，共 12页 即，解得（舍去）．‎ 设与抛物线的切点为，又，‎ 得，，‎ 代入直线方程得，解得，‎ 所以，． ……5分 ‎（2） 由（1）知抛物线方程为，焦点．‎ 设，由（1）知以为切点的切线的方程为．‎ 令，得切线交轴的点坐标为，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 因为F是定点，所以点M在定直线上． ……10分 ‎ ‎ 第 12页，共 12页