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  • 2021-05-13 发布

2012全国各地高考数学试题分类汇编解析几何

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‎2012全国各地高考数学试题分类汇编 ‎(解析几何)‎ ‎1.(2012安徽理)(本小题满分13分)‎ ‎ 如图,分别是椭圆 ‎ 的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,‎ 过点作直线的垂线交直线于点;‎ ‎(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;‎ ‎(II)证明:直线与椭圆只有一个交点。‎ ‎2.设;则 ‎ 得: ‎ ‎ 过点与椭圆相切的直线斜率 ‎ 得:直线与椭圆只有一个交点。‎ ‎3. (2012安徽文)(本小题满分13分)‎ 如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,=60°.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)已知△的面积为40,求a, b 的值. ‎ ‎4.(2012北京理)((本小题共14分)‎ 已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)‎ (1) 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;‎ (2) 设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。‎ ‎5. (2012福建理)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为几点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为,圆的参数方程为参数)。‎ ‎(Ⅰ)设为线段的中点,求直线的平面直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)判断直线与圆的位置关系。‎ ‎6. (2012福建理)(本小题满分13分)‎ 如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为8。‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程。‎ ‎(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:‎ ‎ 在坐标平面内是否存在定点,使得以 · 为直径的圆恒过点?若存在,求出 点的坐标;若不存在,说明理由。‎ ‎7. (2012广东理)(本小题满分14分)‎ 在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为3. (1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆:相交于不同的两点,且△的面积最大?若存在,求出点 的坐标及相对应的△的面积;若不存在,请说明理由。‎ ‎8. (2012广东理)(本小题满分14分)‎ ‎ 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线L:x=的距离的比是常数。且直线L为4x-5y+40=0,设点M的运动轨迹为C。求:‎ ‎(1)轨迹为C的方程;‎ ‎(2)轨迹为C上是否存在一点,它到直线L的距离最小?最小距离是多小?‎ ‎9.(2012湖南文)(本小题满分12分)如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,‎ 底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎10.(2012湖南文)(本小题满分13分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为 的椭圆E的一个焦点为 圆C:的圆心.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.‎ 当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.‎ ‎11.(2012湖北理)(选修4-4:坐标系与参数方程)‎ 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系. 已知射线与曲线(t为参数)‎ 相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为 .‎ 解析:在直角坐标系下的一般方程为,将参数方程(t为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线,联立上面两个方程消去有,设两点及其中点的横坐标分别为,则有韦达定理,又由于点点在直线上,因此的中点.‎ ‎12.(2012湖北理)(本小题满分13分)‎ 设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; ‎ ‎(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. ‎ 解析:‎ ‎(Ⅰ)如图1,设,,则由,‎ 可得,,所以,. ①‎ 因为点在单位圆上运动,所以. ②‎ 将①式代入②式即得所求曲线的方程为. ‎ 因为,所以 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,;‎ 当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,‎ 两焦点坐标分别为,. ‎ ‎(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,‎ 直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得 ‎.‎ 依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得 ‎,即.‎ 因为点H在直线QN上,所以.‎ 于是,. ‎ 而等价于,‎ 即,又,得,‎ 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有. ‎ 图2 ‎ 图3 ‎ 图1‎ O D x y A M 第21题解答图 ‎ ‎ ‎ ‎ 解法2:如图2、3,,设,,则,,‎ 因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得 ‎. ③ ‎ 依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,‎ 故. 于是由③式可得 ‎. ④‎ 又,,三点共线,所以,即. ‎ 于是由④式可得.‎ 而等价于,即,又,得,‎ 故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,‎ 都有. ‎ ‎13.(2012湖南理)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C1: (t为参数)与曲线C2:‎ ‎ (为参数, ) 有一个公共点在轴上,则a= .‎ 解:化为普通方程得C1:、C2:,‎ 将其交点代入曲线C2得,∴.‎ ‎14.(2012湖南理)(本小题满分13分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C1的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P(x0,y0)()为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.‎ 解:(Ⅰ)解法1 设M的坐标为,由已知得.‎ 易知圆上的点位于直线的右侧,于是,所以 ‎.‎ 化简得曲线的方程为.‎ 解法2 由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于 它到直线的距离.因此,曲线是以为焦点,‎ 直线为准线的抛物线.故其方程为.‎ ‎(Ⅱ)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,‎ 则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0,‎ 每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为,‎ 即.于是 整理得 ①‎ 设过P所作的两条切线的斜率分别为,‎ 则是方程①的两个实根.故 ②‎ 由得 ③‎ 设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,‎ 则是方程③的两个实根,所以 ④‎ 同理可得 ⑤‎ 于是由②,④,⑤三式得 ‎.‎ 所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.‎ ‎15.(2012江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,已知点和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ A B P y x F1‎ F2‎ O ‎(2)设A, B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P, (i)若,求直线的斜率;‎ ‎ (ii)求证:是定值 解(1)由题设知.‎ 由点(1,e)在椭圆上,‎ 得 解得,于是,‎ 又点在椭圆上,所以,即,解得 因此,所求椭圆的方程是.‎ ‎(2)由(1)知,又直线与平行,所以可设直线的方程为 ‎,直线的方程为.设 由得,解得 故①‎ 同理, ②‎ ‎(ⅰ)由①②得解得,‎ 因为,故,所以直线的斜率为 ‎(ⅱ)因为直线与平行,所以,于是 故.由点B在椭圆上知 从而.同理 因此 又由①②知 所以.因此是定值.‎ ‎16. (2012江西文)(本小题满分13分)‎ 已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足 ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)点Q(x0,y0)(-20,.‎ 当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,, ±3)‎ 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,‎ 有tan∠MBA=,即 化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3)‎ 综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1)‎ ‎(II)由方程消去y,可得.(*)‎ 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设 所以 解得,m>1,且m2‎ 设Q、R的坐标分别为,由有 所以 由m>1,且m2,有 所以的取值范围是 ‎ ‎28.(2012四川文)(本小题满分12分) ‎ 如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为C.‎ ‎(Ⅰ)求轨迹C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)设M的坐标为,当时,直线MA的斜率不存在;当时,直线MB的斜率不存在,于是.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.‎ 由题意,有,化简可得,.‎ 故动点的轨迹为C的方程为().‎ ‎(Ⅱ)联立消去y,可得.(*)‎ 对于方程(*),其判别式,‎ 而当-1或1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.‎ 结合题设()可知,且.‎ 设的坐标分别为、,则、为方程(*)的两根.‎ 因为,所以,,.‎ 所以,‎ 此时,且,所以,且,‎ 所以,且.‎ 综上所述,的取值范围是.‎ ‎29.(2012天津理)(本小题满分14分)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)若,证明直线的斜率满足.‎ 解析 (1) 解:设点,由题意得 ‎①‎ 由得 由可得代入①并整理得 ‎,由于,‎ 故,于是,所以椭圆的离心率为 (1) 证明:依题意直线OP的方程,设点,有条件得 消去并整理得②‎ 由及得整理得 而,于是,代入②整理得 ‎,由,故 即,所以.‎ ‎30.(2012天津文)(本小题满分14分)‎ 已知椭圆(a>b>0),点在椭圆上。‎ ‎(I)求椭圆的离心率。‎ ‎(II)设A为椭圆的右顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。‎ 解(1)因为点在椭圆上,故 于是,所以椭圆的离心率为 ‎(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为,设点Q的坐标为 有条件得,消去并整理得①‎ 由得整理得 ‎,而,故,代人①整理得 由(1)知,故.‎ 所以直线OQ的斜率 ‎31.(2012浙江理)(本小题满分15分)如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.‎ 解【解析】(I)点代入 得:‎ ‎ ①‎ ‎ 又 ② ③‎ ‎ 由①②③得: 既椭圆的方程为 ‎【解析】(I)‎ ‎ (Ⅱ)设;则 ‎ 在中,‎ ‎ ‎ ‎ 面积 解:(1)原曲线方程可化简得:‎ 由题意可得:,解得:‎ ‎(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,‎ ‎,解得: 由韦达定理得:①,,②‎ 设,,‎ 方程为:,则,‎ ‎,,‎ 欲证三点共线,只需证,共线 即成立,化简得:‎ 将①②代入易知等式成立,则三点共线得证。‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意知,因为是线段中点,则 因此直角坐标方程为:‎ ‎(Ⅱ)因为直线上两点 ‎∴垂直平分线方程为:,圆心,半径.‎ ‎,故直线和圆相交.‎ 解:(Ⅰ)设 ‎ 则 ‎ 的周长为 ‎ 椭圆的方程为 ‎(Ⅱ)由对称性可知设与 ‎ ‎ ‎ 直线 ‎ (*)‎ ‎ (*)对恒成立, 得 解:(1)由题意, ‎ ‎ 令椭圆上任意一点,‎ 当时,,‎ 当时,,‎ ‎, ‎ 椭圆的方程为 (1) 假设存在满足题设的,令到的距离为,则 ‎ ‎ ‎ ,‎ 令则 ‎ ‎ ‎“=”成立时,即 ‎ 又, ‎ ‎ , ‎ ‎ 存在点,,,满足条件,使△的面积最大为。‎ 解(1)设d是点M到直线L:x=的距离,‎ 点M的轨迹集合为:P={M∣}‎ 即,化简的:‎ 所以轨迹为C的方程为:‎ ‎(2)设直线m平行直线L,则直线m的方程为:4x-5y+k=0‎ 由 消去y,得 ‎ 令△=0 得 ‎ ‎ 解得 ,或 ‎ 由图知,当k=25时,直线m与椭圆的交点到直线L的距离最小,此时直线m 的方程为4x-5y+25=0‎ ‎ 所以 ‎ 最小距离为.‎ 解:(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD,所以.‎ ‎ 又AC⊥BD,是平面内的两条相交直线,所以平面.‎ ‎ 而平面ABC,所以.‎ ‎(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连结,由(Ⅰ)知,平面,‎ ‎ 所以是直线PD和平面PAC所成的角.从而30°.‎ ‎   由平面,平面ABC知,.‎ ‎   在中,由30°得.‎ 因为ABCD为等腰梯形, AC⊥BD,所以均为等腰直角三角形.‎ 从而梯形ABCD的高为,于是梯形ABCD的面积 ‎.在等腰直角三角形中,‎ 所以,.故四棱锥P-ABCD的体积为 ‎.‎ 解:(Ⅰ)由得,故圆C的圆心为点.‎ ‎ 从而可设椭圆E的方程为,其焦距为.‎ ‎     由题设知,.所以,.‎ ‎     故椭圆E的方程为.‎ ‎  (Ⅱ)设点P的坐标为,,的斜率分别为,.则,的方程分别为 ‎     :,:,且.‎ ‎ 由与圆C:相切得,‎ 即.‎ 同理可得.‎ 从而,是方程的两个实根.‎ 于是 ①‎ 且.‎ 由得.解得,或.‎ 由得;由得,它们均满足①式.‎ 故点P的坐标为,或,或,或.‎ ‎:(Ⅰ)由题:; (1)‎ 左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)‎ 由(1) (2)可解得:.‎ ‎∴所求椭圆C的方程为:.‎ ‎(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.‎ ‎∵A,B在椭圆上,‎ ‎∴.‎ 设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),‎ 代入椭圆:.‎ 显然.‎ ‎∴﹣<m<且m≠0.‎ 由上又有:=m,=.‎ ‎∴|AB|=||==.‎ ‎∵点P(2,1)到直线l的距离为:.‎ ‎∴SABP=d|AB|=|m+2|,‎ 当|m+2|=,即m=﹣3 or m=0(舍去)时,(SABP)max=.‎ 此时直线l的方程y=﹣.‎ ‎32.(2012浙江文)(本题满分14分)如图,在直角坐标系中,点到抛物线的准线的距离为。点是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分。‎ ‎⑴求的值。‎ ‎⑵求面积的最大值。‎ 解:由题意知 设线段的中点为 ‎ 由 ‎ 故 ‎ ‎ 所以直线的方程为 ‎ 由 ‎ 所以 ‎ 从而 ‎ 设点到直线的距离为则 ‎ 设的面积为则 ‎ 由 令 ‎ 令 ‎ 所以 ‎ 故面积的最大值为