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- 2021-05-13 发布
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2012全国各地高考数学试题分类汇编
(解析几何)
1.(2012安徽理)(本小题满分13分)
如图,分别是椭圆
的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,
过点作直线的垂线交直线于点;
(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;
(II)证明:直线与椭圆只有一个交点。
2.设;则
得:
过点与椭圆相切的直线斜率
得:直线与椭圆只有一个交点。
3. (2012安徽文)(本小题满分13分)
如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,=60°.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)已知△的面积为40,求a, b 的值.
4.(2012北京理)((本小题共14分)
已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
(1) 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;
(2) 设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证:A,G,N三点共线。
5. (2012福建理)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为几点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知直线上两点的极坐标分别为,圆的参数方程为参数)。
(Ⅰ)设为线段的中点,求直线的平面直角坐标方程;
(Ⅱ)判断直线与圆的位置关系。
6. (2012福建理)(本小题满分13分)
如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率。过的直线交椭圆于两点,且的周长为8。
(Ⅰ)求椭圆的方程。
(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:
在坐标平面内是否存在定点,使得以
· 为直径的圆恒过点?若存在,求出
点的坐标;若不存在,说明理由。
7. (2012广东理)(本小题满分14分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为3. (1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上,是否存在点使得直线:与圆:相交于不同的两点,且△的面积最大?若存在,求出点
的坐标及相对应的△的面积;若不存在,请说明理由。
8. (2012广东理)(本小题满分14分)
点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线L:x=的距离的比是常数。且直线L为4x-5y+40=0,设点M的运动轨迹为C。求:
(1)轨迹为C的方程;
(2)轨迹为C上是否存在一点,它到直线L的距离最小?最小距离是多小?
9.(2012湖南文)(本小题满分12分)如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,
底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
10.(2012湖南文)(本小题满分13分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为
的椭圆E的一个焦点为 圆C:的圆心.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.
当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
11.(2012湖北理)(选修4-4:坐标系与参数方程)
在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系. 已知射线与曲线(t为参数)
相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为 .
解析:在直角坐标系下的一般方程为,将参数方程(t为参数)转化为直角坐标系下的一般方程为表示一条抛物线,联立上面两个方程消去有,设两点及其中点的横坐标分别为,则有韦达定理,又由于点点在直线上,因此的中点.
12.(2012湖北理)(本小题满分13分)
设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
解析:
(Ⅰ)如图1,设,,则由,
可得,,所以,. ①
因为点在单位圆上运动,所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为,所以
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,;
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,.
(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,
直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得
,即.
因为点H在直线QN上,所以.
于是,.
而等价于,
即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
图2
图3
图1
O D x
y
A
M
第21题解答图
解法2:如图2、3,,设,,则,,
因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得
. ③
依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,
故. 于是由③式可得
. ④
又,,三点共线,所以,即.
于是由④式可得.
而等价于,即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,
都有.
13.(2012湖南理)在直角坐标系xOy 中,已知曲线C1: (t为参数)与曲线C2:
(为参数, ) 有一个公共点在轴上,则a= .
解:化为普通方程得C1:、C2:,
将其交点代入曲线C2得,∴.
14.(2012湖南理)(本小题满分13分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0)()为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
解:(Ⅰ)解法1 设M的坐标为,由已知得.
易知圆上的点位于直线的右侧,于是,所以
.
化简得曲线的方程为.
解法2 由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于
它到直线的距离.因此,曲线是以为焦点,
直线为准线的抛物线.故其方程为.
(Ⅱ)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,
则过P且与圆相切得直线的斜率存在且不为0,
每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为,
即.于是
整理得 ①
设过P所作的两条切线的斜率分别为,
则是方程①的两个实根.故 ②
由得 ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,
则是方程③的两个实根,所以 ④
同理可得 ⑤
于是由②,④,⑤三式得
.
所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.
15.(2012江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为,已知点和都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
A
B
P
y
x
F1
F2
O
(2)设A, B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P,
(i)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值
解(1)由题设知.
由点(1,e)在椭圆上,
得
解得,于是,
又点在椭圆上,所以,即,解得
因此,所求椭圆的方程是.
(2)由(1)知,又直线与平行,所以可设直线的方程为
,直线的方程为.设
由得,解得
故①
同理, ②
(ⅰ)由①②得解得,
因为,故,所以直线的斜率为
(ⅱ)因为直线与平行,所以,于是
故.由点B在椭圆上知
从而.同理
因此
又由①②知
所以.因此是定值.
16. (2012江西文)(本小题满分13分)
已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足
(1)求曲线C的方程;
(2)点Q(x0,y0)(-20,.
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,, ±3)
当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=,即
化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3)
综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1)
(II)由方程消去y,可得.(*)
由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设
所以
解得,m>1,且m2
设Q、R的坐标分别为,由有
所以
由m>1,且m2,有
所以的取值范围是
28.(2012四川文)(本小题满分12分)
如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为C.
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.
解:(Ⅰ)设M的坐标为,当时,直线MA的斜率不存在;当时,直线MB的斜率不存在,于是.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.
由题意,有,化简可得,.
故动点的轨迹为C的方程为().
(Ⅱ)联立消去y,可得.(*)
对于方程(*),其判别式,
而当-1或1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.
结合题设()可知,且.
设的坐标分别为、,则、为方程(*)的两根.
因为,所以,,.
所以,
此时,且,所以,且,
所以,且.
综上所述,的取值范围是.
29.(2012天津理)(本小题满分14分)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,为坐标原点.
(Ⅰ)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线的斜率满足.
解析
(1) 解:设点,由题意得
①
由得
由可得代入①并整理得
,由于,
故,于是,所以椭圆的离心率为
(1) 证明:依题意直线OP的方程,设点,有条件得
消去并整理得②
由及得整理得
而,于是,代入②整理得
,由,故
即,所以.
30.(2012天津文)(本小题满分14分)
已知椭圆(a>b>0),点在椭圆上。
(I)求椭圆的离心率。
(II)设A为椭圆的右顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。
解(1)因为点在椭圆上,故
于是,所以椭圆的离心率为
(2)设直线OQ的斜率为k,则其方程为,设点Q的坐标为
有条件得,消去并整理得①
由得整理得
,而,故,代人①整理得
由(1)知,故.
所以直线OQ的斜率
31.(2012浙江理)(本小题满分15分)如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
解【解析】(I)点代入
得:
①
又 ② ③
由①②③得: 既椭圆的方程为
【解析】(I)
(Ⅱ)设;则
在中,
面积
解:(1)原曲线方程可化简得:
由题意可得:,解得:
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,
,解得:
由韦达定理得:①,,②
设,,
方程为:,则,
,,
欲证三点共线,只需证,共线
即成立,化简得:
将①②代入易知等式成立,则三点共线得证。
【解析】(Ⅰ)由题意知,因为是线段中点,则
因此直角坐标方程为:
(Ⅱ)因为直线上两点
∴垂直平分线方程为:,圆心,半径.
,故直线和圆相交.
解:(Ⅰ)设
则
的周长为
椭圆的方程为
(Ⅱ)由对称性可知设与
直线
(*)
(*)对恒成立, 得
解:(1)由题意,
令椭圆上任意一点,
当时,,
当时,,
,
椭圆的方程为
(1) 假设存在满足题设的,令到的距离为,则
,
令则
“=”成立时,即
又,
,
存在点,,,满足条件,使△的面积最大为。
解(1)设d是点M到直线L:x=的距离,
点M的轨迹集合为:P={M∣}
即,化简的:
所以轨迹为C的方程为:
(2)设直线m平行直线L,则直线m的方程为:4x-5y+k=0
由 消去y,得
令△=0 得
解得 ,或
由图知,当k=25时,直线m与椭圆的交点到直线L的距离最小,此时直线m 的方程为4x-5y+25=0
所以
最小距离为.
解:(Ⅰ)因为PA⊥平面ABCD,平面ABCD,所以.
又AC⊥BD,是平面内的两条相交直线,所以平面.
而平面ABC,所以.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连结,由(Ⅰ)知,平面,
所以是直线PD和平面PAC所成的角.从而30°.
由平面,平面ABC知,.
在中,由30°得.
因为ABCD为等腰梯形, AC⊥BD,所以均为等腰直角三角形.
从而梯形ABCD的高为,于是梯形ABCD的面积
.在等腰直角三角形中,
所以,.故四棱锥P-ABCD的体积为
.
解:(Ⅰ)由得,故圆C的圆心为点.
从而可设椭圆E的方程为,其焦距为.
由题设知,.所以,.
故椭圆E的方程为.
(Ⅱ)设点P的坐标为,,的斜率分别为,.则,的方程分别为
:,:,且.
由与圆C:相切得,
即.
同理可得.
从而,是方程的两个实根.
于是 ①
且.
由得.解得,或.
由得;由得,它们均满足①式.
故点P的坐标为,或,或,或.
:(Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)
由(1) (2)可解得:.
∴所求椭圆C的方程为:.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在椭圆上,
∴.
设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),
代入椭圆:.
显然.
∴﹣<m<且m≠0.
由上又有:=m,=.
∴|AB|=||==.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:.
∴SABP=d|AB|=|m+2|,
当|m+2|=,即m=﹣3 or m=0(舍去)时,(SABP)max=.
此时直线l的方程y=﹣.
32.(2012浙江文)(本题满分14分)如图,在直角坐标系中,点到抛物线的准线的距离为。点是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分。
⑴求的值。
⑵求面积的最大值。
解:由题意知
设线段的中点为
由
故
所以直线的方程为
由
所以
从而
设点到直线的距离为则
设的面积为则
由
令
令
所以
故面积的最大值为