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  • 2021-05-13 发布

高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习创新

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‎【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题七 立体几何 第55练 空间角与空间距离的求解练习 训练目标 ‎(1)会求线面角、二面角;(2)会解决简单的距离问题.‎ 训练题型 ‎(1)求直线与平面所成的角;(2)求二面角;(3)求距离.‎ 解题策略 利用定义、性质去“找”所求角,通过解三角形求角的三角函数值,尽量利用特殊三角形求解.‎ 一、选择题 ‎1.(2015·上海闵行区三模)如图,在底面是边长为a的正方形的四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且PA=a,则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. ‎2.(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成的角为(  )‎ A.90° B.60°‎ C.45° D.30°‎ ‎3.如图所示,在三棱锥S—ABC中,△ABC是等腰三角形,AB=BC=2a,∠ABC=120°,SA=3a,且SA⊥平面ABC,则点A到平面SBC的距离为(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎4.(2015·丽水二模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M为平面ABB1A1的中心,则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________.‎ ‎5.如图所示,在三棱锥S-ABC中,△SBC,△ABC都是等边三角形,且BC=1,SA=,则二面角S-BC-A的大小为________.‎ ‎6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段AD1上运动,给出以下命题:‎ ‎①异面直线C1P与CB1所成的角为定值;‎ ‎②二面角P-BC1-D的大小为定值;‎ ‎③三棱锥D-BPC1的体积为定值;‎ ‎④异面直线A1P与BC1间的距离为定值.‎ 其中真命题的个数为________.‎ 三、解答题 ‎7.(2015·浙江名校交流卷)如图,在△ABC中,∠ABC=45°,点O在AB上,且OB=OC=AB,PO⊥平面ABC,DA∥PO,DA=AO=PO.‎ ‎(1)求证:PB∥平面COD;‎ ‎(2)求二面角O-CD-A的余弦值.‎ ‎8.(2015·宁波二模)如图,正四棱锥S-ABCD中,SA=AB=2,E,F,G分别为BC,SC,CD的中点.设P为线段FG上任意一点.‎ ‎(1)求证:EP⊥AC;‎ ‎(2)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值.‎ ‎9.(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,且PB与底面ABCD所成的角为45°,E为PB的中点,过A,E,D三点的平面记为α,PC与α的交点为Q.‎ ‎(1)试确定Q的位置并证明;‎ ‎(2)求四棱锥P-ABCD被平面α所分成上下两部分的体积之比;‎ ‎(3)若PA=2,截面AEQD的面积为3,求平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值.‎ 答案解析 ‎1.D [设B到平面PCD的距离为h,直线PB与平面PCD所成的角为α,则由等体积法可得 ××a·a·h=×a·a·a,‎ ‎∴h=a.‎ 又∵PB=a,∴sin α=,‎ 又∵α∈(0,),∴cos α=.故选D.]‎ ‎2.C [如图,连接AC,BD交于点O,连接OE,OP.‎ 因为E为PC中点,所以OE∥PA,‎ 所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角.‎ 因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥,‎ 所以PO⊥平面ABCD,‎ 所以AO为PA在平面ABCD内的射影,‎ 所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角,‎ 即∠PAO=60°.‎ 因为PA=2,所以OA=OB=1,OE=1.‎ 所以在直角三角形EOB中,∠OEB=45°,‎ 即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.]‎ ‎3.A [作AD⊥CB交CB的延长线于点D,连接SD,如图所示.‎ ‎∵SA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴SA⊥BC.又BC⊥AD,SA∩AD=A,SA⊂平面SAD,AD⊂平面SAD,∴BC⊥平面SAD,又BC⊂平面SBC,∴平面SBC⊥平面ASD,且平面SBC∩平面ASD=SD.在平面ASD内,过点A作AH⊥SD于点H,则AH⊥平面SBC,AH的长即为点A到平面SBC的距离.在Rt△SAD中,SA=3a,AD=AB·sin 60°=a.由=,得AH===,即点A到平面SBC的距离为.]‎ ‎4. 解析 ‎ 如图,过点M作BB1的垂线,垂足为N,‎ 则MN⊥平面BB1C1C,‎ 连接NC1,‎ 则∠MC1N为MC1与平面BB1C1C所成的角.‎ 设正方体的棱长为2a,‎ 则MN=a,NC1=a,‎ 所以tan∠MC1N=.‎ ‎5.60°‎ 解析 取BC的中点O,连接SO,AO,‎ 因为AB=AC,O是BC的中点,‎ 所以AO⊥BC,同理可证SO⊥BC,‎ 所以∠SOA是二面角S-BC-A的平面角.‎ 在△AOB中,∠AOB=90°,∠ABO=60°,AB=1,‎ 所以AO=1×sin 60°=.‎ 同理可求SO=.‎ 又SA=,所以△SOA是等边三角形,‎ 所以∠SOA=60°,‎ 所以二面角S-BC-A的大小为60°.‎ ‎6.4‎ 解析 对于①,因为在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,‎ 点P在线段AD1上运动,‎ 在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1,‎ 而C1P⊂平面ABC1D1,‎ 所以B1C⊥C1P,‎ 所以这两个异面直线所成的角为定值90°,故①正确;‎ 对于②,因为二面角P-BC1-D的实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角,‎ 而这两个平面为固定不变的平面,‎ 所以夹角也为定值,故②正确;‎ 对于③,三棱锥D-BPC1的体积还等于三棱锥P-DBC1的体积,‎ 而△DBC1面积一定,‎ 又因为P∈AD1,‎ 而AD1∥平面BDC1,‎ 所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离,‎ 所以三棱锥的体积为定值,故③正确;‎ 对于④,因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1,‎ 平面BCC1B1中,且这两个平面平行,‎ 由异面直线间的距离定义及求法,‎ 知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离,‎ 所以这两个异面直线间的距离为定值,故④正确.‎ ‎7.(1)证明 因为PO⊥平面ABC,AD∥PO,AB⊂平面ABC,‎ 所以PO⊥AB,DA⊥AB.‎ 又DA=AO=PO,所以∠AOD=45°.‎ 因为OB=AB,‎ 所以OA=AB,所以OA=OB,‎ 又AO=PO,所以OB=OP,‎ 所以∠OBP=45°,即OD∥PB.‎ 又PB⊄平面COD,OD⊂平面COD,‎ 所以PB∥平面COD.‎ ‎(2)解 如图,过A作AM⊥DO,垂足为M,‎ 过M作MN⊥CD于N,‎ 连接AN,‎ 则∠ANM为二面角O-CD-A的平面角.‎ 设AD=a,‎ 在等腰直角三角形AOD中,‎ 得AM=a,在直角三角形COD中,得MN=a,‎ 在直角三角形AMN中,得AN=a,‎ 所以cos∠ANM=.‎ ‎8.(1)证明 设AC交BD于O,‎ ‎∵S-ABCD为正四棱锥,‎ ‎∴SO⊥底面ABCD,BD⊥AC,‎ 又AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴SO⊥AC,∵BD∩SO=O,‎ ‎∴AC⊥平面SBD,‎ ‎∵E,F,G分别为BC,SC,CD的中点,‎ ‎∴FG∥SD,BD∥EG.‎ 又FG∩EG=G,SD∩BD=D,‎ ‎∴平面EFG∥平面BSD,‎ ‎∴AC⊥平面GEF.‎ 又∵PE⊂平面GEF,∴PE⊥AC.‎ ‎(2)解 过B作BH⊥GE于H,连接PH,‎ ‎∵BD⊥AC,BD∥GH,‎ ‎∴BH∥AC,‎ 由(1)知AC⊥平面GEF,‎ 则BH⊥平面GEF.‎ ‎∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角.‎ 在Rt△BHP中,BH=,PH=,PB=,‎ 故cos∠BPH==.‎ ‎9.解 (1)Q为PC的中点.证明如下:‎ 因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,‎ 故AD∥平面PBC.‎ 又由于平面α∩平面PBC=EQ,故AD∥EQ,‎ 所以BC∥EQ.‎ 又E为PB的中点,故Q为PC的中点.‎ ‎(2)如图,连接EQ,DQ,‎ 因为PA⊥底面ABCD,‎ 所以PB与底面ABCD所成的角为∠PBA=45°.‎ 故PA=AB.‎ 又因为E为PB的中点,‎ 所以PE⊥AE.‎ 因为四边形ABCD是矩形,‎ 所以AD⊥AB.‎ 又PA⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,所以AD⊥PA.‎ 又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB,‎ 又PE⊂平面PAB,所以AD⊥PE.‎ 又AE∩AD=A,AE⊂平面α,AD⊂平面α,‎ 故PE⊥平面α.‎ 设PA=h,AD=2a,‎ 设四棱锥P-ABCD被平面α所分成的上下两部分的体积分别为V1和V2,则EQ=a.‎ 又因为AD⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,所以AD⊥AE.‎ V上=PE·S梯形AEQD ‎=··(a+2a)·=,‎ V下=PA·S底面ABCD-V上 ‎=·h·2a·h-=,‎ 所以==.‎ ‎(3)过E作EF⊥DQ,连接PF,‎ 因为PE⊥平面α,所以PE⊥DF.‎ 又由于EF∩PE=E,所以DF⊥平面PEF,则DF⊥PF.‎ 所以∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角.‎ 因为PA=2,即h=2,截面AEQD的面积为3,‎ 所以S梯形AEQD=(a+2a)h=3,‎ 解得a=.‎ 又因为AD∥EQ,‎ 且EQ=AD,‎ 故S△EQD=S梯形AEQD=1,‎ QD==2.‎ 又S△EQD=EF·DQ=1,解得EF=1.‎ 又PE=PB=.‎ 在直角三角形PEF中,tan∠PFE==,‎ 即平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值为.‎