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- 2021-05-13 发布
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2013广东高考文科数学试卷及答案
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】A;
【解析】由题意知,,故;
2. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】C;
【解析】由题意知,解得且,所以定义域为;
3. 若,,则复数的模是( )
A. B. C. D.
【答案】D;
【解析】因为,所以,根据两个复数相等的条件得:即,,所以,的模;
4. 已知,那么( )
A. B. C. D.
【答案】C;
【解析】;
5. 执行如图所示的程序框图,若输入的值为,则输出的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D;
【解析】时,;时,;时,;时,;
图1 图2
1. 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】B;
【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为的等腰直角三角形,高为,
所以该三棱锥的体积;
2. 垂直于直线且与圆相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】A;
【解析】设所求直线为,因为垂直直线,故的斜率为,设直线的方程为,化为一般式为;因为与圆相切相切,所以圆心到直线的距离,所以,又因为相切与第一象限,所以,故,所以的方程为;
3. 设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】B;
【解析】若与相交,且平行于交线,则也符合A,显然A错;若,则,故C错;,若平行交线,则,故D错;
1. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为,离心率等于,则的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D;
【解析】由焦点可知可知椭圆焦点在轴上,由题意知,所以,故椭圆标准方程为;
2. 设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
① 给定向量,总存在向量,使;
② 给定向量和,总存在实数和,使;
③ 给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④ 给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使.
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】D;
【解析】因为单位向量(模为的向量,方向不确定)和一个不为零的实数可以表示任何一个向量,由题意可知A,B,C,D均正确;
一、 填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
3. 设数列是首项为,公比为的等比数列,则____________;
【答案】;
【解析】由题意知,,,,所以;
;
4. 若曲线在点处的切线平行于轴,则=_____________;
【答案】;
【解析】因为,所以,因为曲线在点处的切线平行于轴,所以,所以;
1. 已知变量满足约束条件,则的最大值是_____________;
【答案】;
【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为,代入可知的最大值为;
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
2. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线的参数方程为___________________;
【答案】;
【解析】因为曲线的极坐标方程为;所以① ,②;①可变形得:③,②可变形得:;由得:;
3. (几何证明选讲选做题)如图,在矩形中,,,,垂足为,则=___________;
【答案】;
【解析】因为在矩形中,,,,所以,所以;在中,因为,由余弦定理得:
,所以;
一、 解答题:本大题共6小题,满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.
1. (本小题满分12分)
已知函数.
(1) 求的值;
(2) 若,,求.
【答案与解析】
(1);
(2)因为,,所以;
;
2. (本小题满分12分)
从一批苹果中,随机抽取个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
分组(重量)
频数(个)
(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,其中重量在的有几个?
(3) 在(2)中抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有一个的概率;
【答案与解析】
(1)重量在的频率;
(2)若采用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个,则重量在的个数;
(3)设在中抽取的一个苹果为,在中抽取的三个苹果分别为,从抽出的个苹果中,任取个共有种情况,其中符合“重量在和中各有一个”的情况共有种;设“抽出的个苹果中,任取个,求重量在和中各有一个”为事件,则事件的概率;
1. (本小题满分14分)
如图,在边长为的等边三角形中,分别是上的点,,是的中点,与交于点. 将沿折起,得到如图所示的三棱锥,其中.
(1) 证明:;
(2) 证明:;
(3) 当时,求三棱锥的体积.
图4 图5
(1)证明:在图中,因为是等边三角形,且,所以,;在图中,因为,,所以平面平面,所以;
(2)证明:在图中,因为因为是等边三角形,且是的中点,所以;
在图中,因为在中,,所以,,又因为,所以;
(3)因为,所以平面,又因为平面平面,所以平面;所以;
1. (本小题满分14分)
设各项均为正数的数列的前项和为,满足,且构成等比数列;
(1) 证明:;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
(1)证明:因为,令,则,即,所以;
(2)当时,,
所以,因为各项均为正数,所以;
因为构成等比数列,所以,即,解得,因为,所以, ,符合,所以对也符合,所以数列是一个以为首项,为公差的等差数列,;
(3)因为,所以
;
所以对一切正整数,有.
1. (本小题满分14分)
已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线的距离为. 设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 当点为直线上的定点时,求直线的方程;
(3) 当点在直线上移动时,求的最小值.
【答案与解析】
(1)因为抛物线焦点到直线的距离为
所以,又因为,所以解得,抛物线的焦点坐标为,所以抛物线的方程为;
(2)因为抛物线的方程为,即,所以,设过点的切线与抛物线的切点坐标为,所以直线的斜率,解得或;不妨设点坐标为,点坐标为,因为
,所以;;
所以直线的方程为,代入整理得:;
(3)点坐标为,点坐标为,点坐标为,因为;所以,,,;因此
=
,
所以当时,取最小值;
1. 设函数.
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值.
【答案与解析】
(1) 因为,所以;当时,,所以在上单调递增;
(2) 因为,;
① 当时,即时,,在上单调递增,此时无最小值和最大值;
② 当时,即时,令,解得或;令,解得或;令,解得;因为,
作的最值表如下:
极大值
极小值