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  • 2021-05-13 发布

山东高考数学试卷理科及答案详解

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‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理 科 数 学 参考公式:如果事件A、B互斥,那么 如果事件A、B独立,那么。‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、复数满组(为虚数单位),则的共轭复数为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2、已知集合,则集合中元素的个数是 ‎(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9‎ ‎ 3、已知函数为奇函数,且当时,则 ‎(A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2‎ ‎4、已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若为底面的中心,则与平面所成角的大小为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎5、将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6、在平面直角坐标系中,为不等式组所表示的区域上一动点,则直线 的斜率的最小值为 ‎ ‎ (A) 2 (B) 1 (C) (D) ‎ ‎7、给定两个命题 若是的必要不充分条件,则是的 ‎ (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎ 8、函数的图象大致为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎ 9、过点作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10、用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ‎(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279‎ ‎11、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点 若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 是 结 束 输出 否 开 始 输入 ‎12、设正实数满足则当取得最大值时,的最大值为 ‎(A) 0 (B) 1 (C) (D) ‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。‎ ‎13、执行右图所示的程序框图,若输入的值为0.25,‎ 则输出的的值为 _______.‎ ‎14、在区间上随机取一个数,‎ 使得成立的概率为______.‎ ‎15、已知向量与的夹角为,‎ 且若,‎ 且,则实数的值为____________.‎ ‎ 16、定义“正对数”: 现有四个命题:‎ ‎①若,则;‎ ‎②若,则;‎ ‎③若,则;‎ ‎④若,则.‎ 其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.‎ ‎ ‎ ‎ 17、(本小题满分12分)‎ ‎ 设的内角所对的边分别为,且.‎ F P H E G A C B Q D ‎ (Ⅰ)求的值;‎ ‎ (Ⅱ)求的值.‎ ‎ 18、(本小题满分12分)‎ ‎ 如图所示,在三棱锥中,,‎ ‎,分别是 的中点,,与交于点,‎ 与交于点,连接.‎ ‎ (Ⅰ)求证:;‎ ‎ (Ⅱ)求二面角的余弦值。‎ ‎19、(本小题满分12分)‎ ‎ 甲、乙两支球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。‎ ‎ (Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率;‎ ‎ (Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分的分布列和数学期望。 ‎ ‎20、(本小题满分12分)‎ ‎ 设等差数列的前项和为,且 ‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎ (Ⅱ)设数列的前项和为,且(为常数)。令,求数列的前项和。‎ ‎21、(本小题满分13分)‎ ‎ 设函数(是自然对数的底数,)‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间、最大值;‎ ‎ (Ⅱ)讨论关于的方程根的个数。‎ ‎ ‎ ‎22、(本小题满分13分)‎ ‎ 椭圆的左、右焦点分别是,离心率为,过且垂直于轴 的直线被椭圆截得的线段长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎ (Ⅱ)点是椭圆上除长轴端点外的任一点,连接。设的角平分线交 的长轴于点,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为,若,试证明为定值,并求出这个定值.‎ 理科数学试题参考答案 一、选择题DCABB CADAB DB 二、填空题3 ①③④‎ 三、解答题 ‎ 17、(Ⅰ)由余弦定理 , 得 ,‎ ‎ 又,所以 ,解得 .‎ ‎ (Ⅱ)在 中, ,‎ ‎ 由正弦定理得 ,‎ ‎ 因为 , 所以 为锐角.所以,‎ ‎ 因此 ‎ ‎18、(Ⅰ)证明:因为 分别是的中点,‎ ‎ 所以 ,所以 ,‎ 又 ,所以 ,‎ 又 ,所以,‎ 又 ,所以.‎ F P H E G A C B Q D ‎ (Ⅱ)解法一:在中, ‎ ‎ 所以 ,即,‎ ‎ 因为, 所以 ,‎ ‎ 又 ,所以 .‎ 由(Ⅰ)知,所以 ‎ 又 ,所以 , ‎ 同理可得 所以为二面角 的平面角.‎ 设 ,连接,‎ 在 中,由勾股定理得,在 中,由勾股定理得.‎ 又为 的重心,所以 ,同理 .‎ 在中,由余弦定理得,‎ 即二面角的余弦值为.‎ F P H E G A C B Q D 解法二:在中,,所以.‎ 又 ,所以 两两垂直.‎ 以 为坐标原点,分别以所在直线为 轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设,‎ 则 ,‎ 所以 ‎ 设平面的一个法向量为,‎ 由, 得 取 ,得.‎ 设平面的一个法向量为,由, ‎ 得 取 ,得.‎ 所以 ,‎ 因为 二面角为钝角,所以 二面角的余弦值为.‎ ‎19、(Ⅰ)记“甲队以3:0胜利”为事件,“甲队以3:1胜利”为事件,“甲队以3:2胜利”为事件 ,‎ ‎ 由题意,各局比赛结果相互独立,‎ ‎ 故, ,.‎ ‎ 所以,甲队以3:0胜利、以3:1胜利的概率都为,以3:2胜利的概率为.‎ ‎ (Ⅱ)记“乙队以3:2胜利”为事件,由题意,各局比赛结果相互独立,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 由题意,随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3,‎ ‎ 又 ,‎ ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以的分布列为 因此 ‎ ‎ 20、(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为. 由得 ‎ ‎ ‎ 解得 因此 .‎ ‎ (Ⅱ)由题意知:,‎ ‎ 所以时,‎ ‎ 故,‎ ‎ 所以 ,‎ ‎ 则 ,‎ ‎ 两式相减得 ‎ 整理得 ‎ 所以 数列的前项和 ‎ 21、解:(Ⅰ),由 ,解得,‎ ‎ 当 时,,单调递增;‎ ‎ 当 时,,单调递减.‎ ‎ 所以,函数 的单调递增区间是,单调递减区间是,‎ 最大值为.‎ ‎ (Ⅱ)令.‎ ‎ (1) 当 时, ,则,‎ ‎ 所以 . 因为 , 所以 ‎ 因此 在上单调递增.‎ ‎(2)当 时, ,则,‎ 所以 .因为,所以.‎ 又,所以,即,因此 在上单调递减.‎ 综合(1)(2)可知 当 时,.‎ 当,即时,没有零点,‎ 故关于的方程的根的个数为0;‎ 当,即时,只有一个零点,‎ 故关于的方程的根的个数为1;当,即时,‎ ‎① 当时,由(Ⅰ)知 ,‎ ‎ 要使,只需使,即 ;‎ ‎② 当时,由(Ⅰ)知 ‎ ,‎ ‎ 要使,只需使,即 ;‎ 所以 时,有两个零点,故关于的方程的根的个数为2.‎ 综上所述,‎ 当时,关于的方程的根的个数为0;‎ 当时,关于的方程的根的个数为1;‎ 当时,关于的方程的根的个数为2.‎ ‎ 22、解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程,得,‎ ‎ 由题意知,即.又,所以.椭圆的方程为 ‎ (Ⅱ)解法一:设.又 ,‎ 所以直线的方程分别为:‎ 由题意知 ,‎ 由于点在椭圆上,所以所以 因为,‎ 可得.所以.因此.‎ 解法二:设,当时,‎ ① 当时,直线的斜率不存在,易知或.‎ 若,则直线的方程为.由题意得,‎ 因为,所以.若,同理可得.‎ ② 当时,设直线的方程分别为 ,‎ 由题意知 ,所以 ,‎ 因为 并且 ,‎ 所以 ,‎ 即 .‎ 因为 所以 .‎ 整理得 ,故 .‎ 综合①②可得 .当时,同理可得 .‎ 综上所述,的取值范围是 .‎ ‎(Ⅲ)设,则直线的方程为, 联立 ‎ 整理得 ‎ 由题意 ,即 ‎ ‎ 又 所以 故 ,‎ 由(Ⅱ)知 , 所以 ,‎ ‎ 因此 为定值,这个定值为.‎