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- 2021-05-13 发布
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2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学
参考答案与解析
一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=
A、0
B、
C、1
D、
【答案】C
【解析】由题可得，所以|z|=1
【考点定位】复数
2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A=
A、{x|-12}
D、{x|x-1}∪{x|x2}
【答案】B
【解析】由题可得CRA={x|x2-x-2≤0}，所以{x|-1x2}
【考点定位】集合
3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是：
A、新农村建设后，种植收入减少。
B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A
【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，
【考点定位】简单统计
4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=
A、-12
B、-10
C、10
D、12
【答案】B
【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:
2d+3a1=0 ; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10
【考点定位】等差数列求和
5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：
A、y=-2x
B、y=-x
C、y=2x
D、y=x
【答案】D
【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:
f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1
f（x）=x3+x
求导f‘（x）=3x2+1
f‘（0）=1 所以选D
【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数
6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=
A、--
B、--
C、-+
D、-
【答案】A
【解析】AD为BC边∴上的中线 AD=
E为AD的中点∴AE=
EB=AB-AE=
【考点定位】向量的加减法、线段的中点
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为11A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A、
B、
C、3
D、2
【答案】B
A
A
【解析】将圆柱体的侧面从A点展开：注意到B点在圆周处。
B
∴最短路径的长度为AB=22+42
【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径
8.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·=
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】D
【解析】
抛物线C：y²=4x的焦点为F(1,0)
直线MN的方程:
消去x整理得：y2-6y+8=0 ∴y=2 或y=4
M、N的坐标（1，2），（4，4）
则·=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8
【考点定位】抛物线焦点向量的数量积
如果消去Ｘ，计算量会比较大一些，您不妨试试。
9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A. [-1，0）
B. [0，+∞）
C. [-1，+∞）
D. [1，+∞）
【答案】C
【解析】
根据题意：f(x)+x+a=0 有两个解。令M(x)=-a,
N(x)=f(x)+x =ex+x x≤0lnx+x x>0
分段求导：N‘(x)=f(x)+x =ex+1>0 x≤01x+1>0 x>0说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下：
M(x)=-a在区间(-∞，+1]上有2个交点。
∴a的取值范围是C. [-1，+∞）
【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
A. p1=p2
B. p1=p3
C. p2=p3
D. p1=p2+p3
【答案】A
【解析】
整个区域的面积： S1+S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC+S△ABC
根据勾股定理，容易推出S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC
∴S1=S△ABC故选A
【考点定位】古典概率、不规则图形面积
11.已知双曲线C： -y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=
A.
B.3
C.
D.4
M
F
N
o
【答案】B
【解析】
右焦点,OF=3+1==2，
渐近线方程y=±33x∴∠NOF=∠MOF =30°
在Rt△OMF中，OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30°3
在Rt△OMN中，MN=OM*tan∠NOM=3*tan(30°+30°)=3
【考点定位】双曲线渐近线、焦点
概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。如果用解方程，计算量很大。
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=22
截面面积S=6×34×（22）2=
【考点定位】立体几何 截面
【盘外招】交并集理论：ABD交集为3，AC交集为34，选A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.
【答案】6
【解析】
当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Zmax=3*2+0=6
【考点定位】线性规划（顶点代入法）
14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.
【答案】-63
【解析】
S1=2a1+1=a1 ∴a1=-1
n>1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 两式相减：Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1
an=a1×2n-1= （-1）×2n-1
∴S6=（-1）×（26-1）=-63
【考点定位】等比数列的求和
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）
【答案】16
【解析】
C21C42+C22C41=2×6+1×4=16
【考点定位】排列组合
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.
【答案】-332
【解析】
f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)
考虑到f（x）为奇函数，可以求f（x）最大值.将f（x）平方：
f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3)×（（3-3cosx）+3(1+cosx))/4）4=×（）4=
当3-3cosx=1+cosx 即cosx=12时，f2（x）取最大值
f（x）min=-332
【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用
【其他解法】：１．求导数解答
２．f（x）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。
三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=，求BC.
【答案】
【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A=ABsin∠ADB
∴sin∠ADB =ABsin∠ADB/BD=25
由题设可知，∠ADB<90°∴cos∠ADB=1-225=235
(2)由题设及（1）可知cos∠BDC= sin∠ADB=25
在△BCD中，由余弦定理得
BC2=BD2+DC2-2BD×DC×cos∠BDC
=25+8-2×5××25=25
∴BC=5
【考点定位】正弦定理余弦定理
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【答案】
【解析】（1）由已知可得PF⊥BF ，BF⊥EF∴BF⊥平面PEF
又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD
(2)PH⊥EF，垂足为H，由（1）可得，PH⊥平面ABFD∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH.
CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+（EF-HF）2+PH2
CF2=PF2=HF2+PH2
设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是：
22=12+（2-HF）2+PH2
12=HF2+PH2
∴解方程得HF=12 PH=32
在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=32/2=34.
【考点定位】立体几何点、直线、面的关系
19.（12分）
设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.
【答案】
【解析】（1）由已知可得F（1，0），直线l的方程为x=1
由已知可得,点A的坐标为（1，22）或（1，—22）
∴直线AM的方程为y=—22x+2或y=22x—2
(2)当l与x轴重合，.∠OMA=∠OMB=00
当l与x轴垂直，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB
当l与x轴不重合且不垂直，设直线l的方程为y=k(x-1) (k≠0)
点A(x1,y1),B(x2,y2) ，x1<2,X2<2,则直线MA、MB的斜率之和
KMA+KMB=y1x1-2+y2x2-2=k(x1-1)x1-2+k(x2-1)x2-2=2kx1x2-3kx1+x2+4k(x1-2)(x2-2)
将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0
x1∴+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1
2kx1x2-3kx1+x2+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0
从而KMA+KMB=0 MA、MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB
综上所述，∠OMA=∠OMB
【考点定位】圆锥曲线
20、（12分）
某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P（0400,∴应该对这箱余下的所有产品作检验。
【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值（基本不等式）、数学期望
21、（12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点, ,证明： .
【答案】
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞）
f’（x）=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2
△=a2-4
(i)若a≤2,则f’（x）≤0，当且仅当a=2,x=1时f’（x）=0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减。
(i)若a>2,令f’（x）=0得到，x=a±a2-42
当x∈（0，a-a2-42）∪（a+a2-42，+∞）时，f’（x）<0
当x∈（a-a2-42,a+a2-42）时，f’（x）>0
∴f（x）在x∈（0，a-a2-42）,（a+a2-42，+∞）单调递减,在（a-a2-42,a+a2-42）单调递增。
(2)由(1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a>2
由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨设x11 由于
fx1-f(x2）x1-x2=1x1x2-1+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+alnx1-Lnx2x1-x2=-2+a-2Lnx21/x2-x2
等价于1x2-x2+2lnx2<0
设g(x)=1x-x+2lnx由(1)可知g（x）在（0，+∞）单调递减，又g(1)=0,从而当x∈（1，+∞）时g(x)<0
∴1x2-x2+2lnx2<0即
【考点定位】函数导数的应用
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]、（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为p²+2p-3=0.
（1） 求C₂的直角坐标方程:
（1） 若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.
【答案】
【解析】（1）由x=cosθ,y=sinθ得到C₂的直角坐标方程：
x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4
(2)由（1）可知C2是圆心为A（-1,0），半径为2的圆。
由题设可知，C1是过点B（0，2）且关于Y轴对称的两条射线，且
C1：=kx+2 x>0-kx+2 x≤0
显然，K=0时，C1与C2相切，只有一个交点。
K>0时，C1与C2没有交点。
∴C1与C2有且仅有三个交点，则必须满足K<0且y=kx+2(x>0)与C2相切,圆心到射线的距离d=|-k+2|k2+1=2故K=-4/3或K=0.
经检验，因为K<0，所以K=-4/3。
综上所述，所求 C₁的方程y=-43∣x∣+2.
【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1） 当a=1时， 求不等式f（x）﹥1的解集；
（2） 当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
【答案】
【解析】（1）当a=1时， f（x）=∣x+1∣-∣x-1∣=-2 x≤-12x -11
∴不等式f（x）﹥1的解集为{x|x>12}
(2)当x∈（0，1）时不等式f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等价于∣ax-1∣<1成立
若a≤0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣≧1
若a>0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣<1的解集为0=1 故0
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