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- 2021-05-13 发布
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2012 年全国高考 2 卷理科数学试题及答案
一.选择题:(共 12 个小题,每小题 5 分,满分 60 分)
1. 复数 =
(A) 2+i (B) 2−i (C) 1+2i (D)1−2i
2.已知集合 A={1,3, },B ={1,m},A∪B =A,则 m =
(A) 0 或 (B) 0 或 3 (C) 1 或 (D) 1 或 3
3.椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x = − 4,则该椭圆的方程为
(A) =1 (B) =1 (C) =1 (D) =1
4.已知正四棱柱 ABCD −A1B1C1D1 中,AB = 2,CC1 = 2 ,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为:
(A) 2 (B) (C) (D) 1
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5 = 5,S5 =15,则数列{ }的前 100 项和为
(A) (B) (C) (D)
6.△ABC 中,AB 边的高为 CD, = a, = b,a•b = 0,| a | = 1,| b | = 2,则 =
(A) a − b (B) a − b (C) a − b (D) a − b
7.已知α 为第二象限的角,sinα +cosα = ,则 cos2α =
(A) − (B) − (C) (D)
8.已知 F1、F2 为双曲线 C:x 2−y2 =2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2 =
(A) (B) (C) (D)
9.已知 x = lnπ,y =log 5 2,z = ,则
(A) x < y < z (B) z < x < y (C) z < y < x (D) y < z < x
10.已知函数 y =x 3−3x + c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c =
1 3
1
i
i
− +
+
m
3 3
2 2
16 12
y+x 2 2
16 8
y+x 2 2
8 4
y+x 2 2
12 4
y+x
2
3 2
1
1
n na a +
100
101
99
101
99
100
101
100
CB CA AD
1
3
1
3
2
3
2
3
3
5
3
5
4
5
4
5
3
3
5
3
5
9
5
9
5
3
1
4
3
5
3
4
4
5
1
2e
−
(A) −2 或 2 (B) −9 或 3 (C) −1 或 1 (D) −3 或 1
11.将字母 a, a, b, b, c, c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同点排列方法共有
(A) 12 种 (B) 18 种 (C) 24 种 (D) 36 种
12.正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE = BF = ,动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,
每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为
(A) 16 (B) 14 (C) 12 (D) 10
二.填空题:(共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.若 x、y 满足约束条件 ,则 z =3x − y 的最小值为
14.当函数 y = sinx − cosx (0≤x <2π)取得最大值时,x =
15.若(x + ) n 的展开式中第三项与第七项的二项式系数相等,则该展开式中 的系数为
16. 三棱柱 ABC−A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1= 60o,则异面直线 AB1 与 BC1 所成的角的
余弦值为
二.解答题:(共 6 个小题,满分 70 分)
17.(本小题满分 10 分)
△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A − C) + cosB = 1,a = 2c,求 C .
18. (本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC = 2 ,PA = 2,
E 是 PC 上的一点,PE = 2EC .
(Ⅰ)证明:PC⊥平面 BED ;
(Ⅱ)设二面角 A −PB − C 为 90o,求 PD 与平面 PBC 所成的角的大小.
3
7
x − y +1≥0
x + y −3≤0
x + 3y −3≥0
1
x 2
1
x
2
E A
B
C
D
P
19. (本小题满分 12 分)
乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮
换. 每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分. 设再甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球
的胜负结果相互独立. 甲、乙的一局比赛中,甲先发球.
(Ⅰ)求开始第四次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率 ;
(Ⅱ)ξ 表示开始第四次发球时乙的得分,求ξ 的期望.
20. (本小题满分 12 分)
设函数 f (x ) = ax + cosx , x∈[0, π] .
(Ⅰ)讨论 f (x )的单调性;
(Ⅱ)设 f (x ) ≤1 + sinx ,求 a 的取值范围.
21. (本小题满分 12 分)
已知抛物线 C:y = (x +1) 2 与圆 M:(x −1) 2 +( y − ) 2 = r 2 (r > 0)有一个公共点 A,且在 A 处两曲线的切线为同
一直线 l.
(Ⅰ)求 r ;
(Ⅱ)设 m、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线,m、n 的交点为 D,求 D 到 l 的距离.
22. (本小题满分 12 分)
函数 f (x ) = x 2 − 2x − 3 .定义数列{x n}如下:x 1= 2,x n+1 是过两点 P(4, 5)、Qn(x n, f (x n ))的直线 PQn 与 x 轴的
交点的横坐标.
(Ⅰ)证明:2≤x n < x n+1<3 ;
(Ⅱ)求数列{x n}的通项公式.
答案
1.C 2.B 3.C 4.C 5.A 6.D 7.A 8.C 9.D 10.A 11.A 12.B
13. -1 14. 15. 56 16. ………………
1
2