高考数学导数题型归纳 12页

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  • 2021-05-13 发布

高考数学导数题型归纳

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导数题型归纳 请同学们高度重视:‎ 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法:‎ ‎1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 ‎5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间)‎ 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 ‎ 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。‎ ‎ 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立;‎ ‎1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:‎ 第一步:令得到两个根;‎ 第二步:画两图或列表;‎ 第三步:由图表可知;‎ 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,‎ ‎2、常见处理方法有三种:‎ 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)‎ 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);‎ 例1:设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,‎ ‎(1)若在区间上为“凸函数”,求m的取值范围;‎ ‎(2)若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为“凸函数”,求的最大值.‎ 解:由函数 得 ‎ ‎(1) 在区间上为“凸函数”,‎ 则 在区间[0,3]上恒成立 ‎ 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于 ‎ ‎ 解法二:分离变量法:‎ ‎∵ 当时, 恒成立,‎ ‎ 当时, 恒成立 等价于的最大值()恒成立,‎ 而()是增函数,则 ‎(2)∵当时在区间上都为“凸函数” ‎ 则等价于当时 恒成立 ‎ 解法三:变更主元法 ‎ 再等价于在恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2:设函数 ‎ (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;‎ ‎ (Ⅱ)若对任意的不等式恒成立,求a的取值范围. ‎ ‎(二次函数区间最值的例子)‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ ‎ ‎3a a a ‎3a 令得的单调递增区间为(a,3a)‎ 令得的单调递减区间为(-,a)和(3a,+) ‎ ‎∴当x=a时,极小值= 当x=3a时,极大值=b. ‎ ‎ (Ⅱ)由||≤a,得:对任意的恒成立①‎ 则等价于这个二次函数 的对称轴 (放缩法)‎ 即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。‎ 上是增函数. (9分)‎ ‎∴‎ 于是,对任意,不等式①恒成立,等价于 ‎ ‎ ‎ 又∴‎ 点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系 第三种:构造函数求最值 题型特征:恒成立恒成立;从而转化为第一、二种题型 例3;已知函数图象上一点处的切线斜率为,‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)当时,求的值域;‎ ‎(Ⅲ)当时,不等式恒成立,求实数t的取值范围。‎ 解:(Ⅰ)∴, 解得 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增 又 ‎ ‎ ∴的值域是 ‎(Ⅲ)令 思路1:要使恒成立,只需,即分离变量 思路2:二次函数区间最值 二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1:转化为在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集; ‎ 做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集 例4:已知,函数.‎ ‎(Ⅰ)如果函数是偶函数,求的极大值和极小值;‎ ‎(Ⅱ)如果函数是上的单调函数,求的取值范围.‎ 解:. ‎ ‎ (Ⅰ)∵ 是偶函数,∴ . 此时,, ‎ ‎ 令,解得:. ‎ ‎ 列表如下:‎ ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,2)‎ ‎2‎ ‎(2,+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极大值 递减 极小值 递增 ‎ 可知:的极大值为, 的极小值为. ‎ ‎ (Ⅱ)∵函数是上的单调函数,‎ ‎∴,在给定区间R上恒成立判别式法 则 解得:. ‎ ‎ 综上,的取值范围是. ‎ 例5、已知函数 ‎ (I)求的单调区间;‎ ‎ (II)若在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想 ‎(I)‎ ‎ 1、‎ ‎ 当且仅当时取“=”号,单调递增。 ‎ ‎ 2、‎ ‎ a-1‎ ‎-1‎ 单调增区间:‎ ‎ 单调减区间:‎ ‎(II)当 则是上述增区间的子集:‎ ‎1、时,单调递增 符合题意 ‎2、, ‎ 综上,a的取值范围是[0,1]。 ‎ 三、题型二:根的个数问题 题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;‎ 第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;‎ 第三步:解不等式(组)即可;‎ 例6、已知函数,,且在区间上为增函数.‎ (1) 求实数的取值范围;‎ (2) 若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.‎ 解:(1)由题意 ∵在区间上为增函数,‎ ‎∴在区间上恒成立(分离变量法)‎ 即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为 ‎ ‎(2)设,‎ 令得或由(1)知,‎ ‎①当时,,在R上递增,显然不合题意…‎ ‎②当时,,随的变化情况如下表:‎ ‎—‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即 ∴,解得 综上,所求的取值范围为 根的个数知道,部分根可求或已知。‎ 例7、已知函数 ‎(1)若是的极值点且的图像过原点,求的极值;‎ ‎(2)若,在(1)的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点?若存在,求出实数的取值范围;否则说明理由。高1考1资1源2网 解:(1)∵的图像过原点,则 ,‎ 又∵是的极值点,则 ‎-1‎ ‎ ‎ ‎(2)设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,‎ 等价于有含的三个根,即:‎ 整理得:‎ 即:恒有含的三个不等实根 ‎(计算难点来了:)有含的根,‎ 则必可分解为,故用添项配凑法因式分解,‎ ‎ 十字相乘法分解:‎ 恒有含的三个不等实根 等价于有两个不等于-1的不等实根。‎ 题2:切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数 例7、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.‎ ‎(1)由题意得:‎ ‎∴在上;在上;在上 因此在处取得极小值 ‎∴①,②,③‎ 由①②③联立得:,∴ ‎ ‎(2)设切点Q,‎ 过 令,‎ 求得:,方程有三个根。‎ 需:‎ 故:;因此所求实数的范围为:‎ 题3:已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法:根分布或判别式法 例8、‎ 解:函数的定义域为(Ⅰ)当m=4时,f (x)= x3-x2+10x,‎ ‎=x2-7x+10,令 , 解得或.‎ 令 , 解得 可知函数f(x)的单调递增区间为和(5,+∞),单调递减区间为.‎ ‎(Ⅱ)=x2-(m+3)x+m+6, ‎ 要使函数y=f (x)在(1,+∞)有两个极值点,=x2-(m+3)x+m+6=0的根在(1,+∞)‎ ‎1‎ 根分布问题:‎ 则, 解得m>3‎ 例9、已知函数,(1)求的单调区间;(2)令=x4+f(x)(x∈R)有且仅有3个极值点,求a的取值范围.‎ 解:(1) ‎ 当时,令解得,令解得,‎ 所以的递增区间为,递减区间为.‎ 当时,同理可得的递增区间为,递减区间为.‎ ‎(2)有且仅有3个极值点 ‎=0有3个根,则或,‎ 方程有两个非零实根,所以 或 而当或时可证函数有且仅有3个极值点 其它例题:‎ ‎1、(最值问题与主元变更法的例子).已知定义在上的函数在区间上的最大值是5,最小值是-11.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)若时,恒成立,求实数的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎ 令=0,得 ‎ 因为,所以可得下表:‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ ‎ ‎ 因此必为最大值,∴因此, ,‎ ‎ 即,∴,∴ ‎ ‎(Ⅱ)∵,∴等价于, ‎ 令,则问题就是在上恒成立时,求实数的取值范围,‎ 为此只需,即, ‎ ‎ 解得,所以所求实数的取值范围是[0,1].‎ ‎2、(根分布与线性规划例子)‎ ‎(1)已知函数 ‎(Ⅰ) 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行, 求的解析式;‎ ‎(Ⅱ) 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.‎ 解: (Ⅰ). 由, 函数在时有极值 ,‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ 又∵ 在处的切线与直线平行,‎ ‎∴ 故 ‎ ‎∴ ……………………. 7分 ‎ (Ⅱ) 解法一: 由 及在取得极大值且在取得极小值,‎ ‎∴ 即 令, 则 ‎ ‎∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC, ‎ 易得, , , , , ‎ 同时DE为△ABC的中位线, ‎ ‎∴ 所求一条直线L的方程为: ‎ 另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , ‎ 由 得点F的横坐标为: ‎ 由 得点G的横坐标为: ‎ ‎∴ 即 ‎ 解得: 或 (舍去) 故这时直线方程为: ‎ 综上,所求直线方程为: 或 .…………….………….12分 ‎(Ⅱ) 解法二: 由 及在取得极大值且在取得极小值,‎ ‎∴ 即 令, 则 ‎ ‎∴ ∴ 故点所在平面区域S为如图△ABC, ‎ 易得, , , , , ‎ 同时DE为△ABC的中位线, ∴所求一条直线L的方程为: ‎ 另一种情况由于直线BO方程为: , 设直线BO与AC交于H , ‎ 由 得直线L与AC交点为: ‎ ‎∵ , , ‎ ‎ ∴ 所求直线方程为: 或 ‎ ‎3、(根的个数问题)已知函数的图象如图所示。‎ ‎ (Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线方程为,求函数f ( x )的解析式;‎ ‎(Ⅲ)若方程有三个不同的根,求实数a的取值范围。‎ 解:由题知:‎ ‎(Ⅰ)由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且= 0‎ ‎ 得 ‎ ‎(Ⅱ)依题意 = – 3 且f ( 2 ) = 5‎ ‎ 解得a = 1 , b = – 6 ‎ ‎ 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3 ‎ ‎(Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 ) ‎ ‎ = 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由= 0b = – 9a ①‎ ‎ 若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ②‎ ‎ 由① ② 得 – 25a + 3<8a<7a + 3<a<3 ‎ ‎ 所以 当<a<3时,方程f ( x ) = 8a有三个不同的根。………… 12分 ‎4、(根的个数问题)已知函数 ‎ (1)若函数在处取得极值,且,求的值及的单调区间;‎ ‎ (2)若,讨论曲线与的交点个数.‎ ‎ 解:(1)‎ ‎………………………………………………………………………2分 令得 令得 ‎∴的单调递增区间为,,单调递减区间为…………5分 ‎(2)由题得 即 令……………………6分 令得或……………………………………………7分 当即时 ‎-‎ 此时,,,有一个交点;…………………………9分 当即时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+‎ ‎—‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎∴当即时,有一个交点;‎ 当即时,有两个交点;‎ ‎   当时,,有一个交点.………………………13分 综上可知,当或时,有一个交点;‎ ‎ 当时,有两个交点.…………………………………14分