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- 2021-05-13 发布
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《坐标系与参数方程》专项练习
一、知识梳理.
1.极坐标与直角坐标的互化.
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:
(1), (2)
2.参数方程(t为参数)化为普通方程的常用方法.
(1)代入法/加减法消参.
(2)借助三角恒等式sin2θ+cos2θ=1(θ为参数)消参.
3.直角坐标方程,极坐标方程和参数方程的转化关系.
极坐标方程
(ρ,θ)
⇔
直角坐标方程(普通方程)
(x,y)
⇔
参数方程
(t为参数)
二、练习专项.
【题型1】①极坐标方程 ⇔ 直角坐标方程.
②参数方程 ⇔ 直角坐标方程.
1.(2016全国Ⅲ卷,文科23,10分)在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.
(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.
解:(Ⅰ)由消去参数α得……………………1分
(此处为消参的计算过程,可省略)
变形得
两边平方,得
①+②,得+y2=1
C1的普通方程为+y2=1……………………2分
∵ρsin(θ+)=2
∴ρ(sinθcos+cosθsin)=2……………………3分
ρ(sinθ+cosθ)=2
ρsinθ+ρcosθ=2
ρsinθ+ρcosθ=4……………………4分
∵ρcosθ=x,ρsinθ=y
∴x+y=4……………………5分
9
(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为……………………6分
∵C2是直线
∴的最小值即为P到C2的距离的最小值
………………8分
当且仅当时,取得最小值,最小值为………………9分
此时P的直角坐标为………………10分
2.(2009全国卷,文/理23,10分)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).
(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.
解:(Ⅰ)由C1:消去参数t得……………………1分
(此处为消参的计算过程,可省略)
变形得
两边平方,得
①+②,得(x+4)2+(y-3)2=1
∴C1的普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1……………………2分
∴C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆
由C2:消去参数θ得……………………1分
(此处为消参的计算过程,可省略)
变形得
两边平方,得
①+②,得+=1
∴C2的普通方程为+=1……………………2分
∴C2为焦点在x轴上的椭圆
(Ⅱ)当时,,
故
为直线
M到的距离
9
从而当时,取得最小值
【题型2】①直角坐标方程 ⇔ 极坐标方程.
②直角坐标方程 ⇔ 参数方程.
3.(2016全国Ⅱ卷,文科23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=.
求l的斜率.
解:(Ⅰ)由圆C的方程可得……………………1分
x2+12x+36+y2=25
x2+y2+12x+11=0……………………2分
把x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式得……………………3分
ρ2+12ρcosθ+11=0……………………4分
∴圆C的极坐标方程为ρ2+12cosθ+11=0……………………5分
(Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)
由A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2……………………8分
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
ρ2+12ρcosα+11=0……………………7分
于是
……………………8分
由|AB|=得
……………………9分
∴l的斜率为或……………………10分
4.(2015全国Ⅰ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解:(Ⅰ)把x=ρcosθ代入C1:x=-2得ρcosθ=-2……………………1分
∴C1的极坐标方程为ρcosθ=-2………………2分
由C2:(x-1)2+(y-2)2=1得
(x2-2x+1)+(y2-4y+4)=1
x2+y2-2x-4y+1+4=1
x2+y2-2x-4y+4=0………………3分
把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得………………4分
C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0………………5分
(Ⅱ)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得
ρ2-32ρ+4=0………………6分
解得ρ1=22,ρ2=2………………7分
故ρ1-ρ2=2,即|MN|=2………………8分
9
由于C2的半径为1
∴△C2MN的面积为12………………10分
5.(2014全国Ⅰ卷,文/理23,10分)已知曲线C:,直线l:(t为参数).
(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
解:(Ⅰ)∵曲线C:x24+y29=1
∴
又∵sin2θ+cos2θ=1
∴=cosθ,=sinθ
∴x=2cosθ,y=3sinθ
曲线C的参数方程为(θ为参数).
由直线l:x=2+ty=2-2t消去参数t得
(此处为消参的计算过程,可省略)
x=2+t① y=2-2t②
由①得t=x-2 ③
把③代入②,得
y=2-2(x-2)
整理得2x+y-6=0
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(Ⅱ)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为
d=55|4cosθ+3sinθ-6|
则|PA|=dsin30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=43
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为2255
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为255
6.(2014全国Ⅱ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,].
(Ⅰ)求C的参数方程;
(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
解:(Ⅰ)∵ρ=2cosθ
∴ρ2=2ρcosθ
把x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式得
x2+y2=2x
∴C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1)
∴半圆C的圆心为(1,0),半径为1
9
可得C的参数方程为x=1+costy=sint(t为参数,0≤t≤π)
(Ⅱ)设D(1+cost,sint)
由(Ⅰ)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆
∵C在点D处的切线与l垂直
∴直线GD与l的斜率相同.tant=3,t=π3
故D的直角坐标为1+cosπ3,sinπ3,即32,32
【题型3】极坐标方程 ⇔ 参数方程.
7.(2016全国Ⅰ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.
(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
解:(Ⅰ)解法一:C1是圆的方程…………1分
由消去参数t得…………2分
(此处为消参的计算过程,可省略)
移项,得
两边平方,得
即
①+②,得
x2+(y-1)2=a2cos2t+a2sin2t
x2+(y-1)2=a2(cos2t+sin2t)
x2+(y-1)2=a2
①
整理得…………3分
∴把代入上式得…………4分
∴的极坐标方程为…………5分
(Ⅱ)由C2:ρ=4cosθ得
两边同乘ρ得ρ2=4ρcosθ
∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x
…………6分
即 ②…………7分
C3:化为普通方程为…………8分
由题意:和的公共方程所在直线即为
①-②得:,即为…………9分
∴
∴…………10分
9
8.(2013全国Ⅰ卷,文/理23,10分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.
(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
解:(Ⅰ)将消去参数t得
C1的普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0
将代入上式得
ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0
∴C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0
(Ⅱ)∵C2的极坐标方程为ρ=2sinθ
∴C2的普通方程为x2+y2-2y=0
由
(此处为解方程的过程,可省略)
②-①,得 8x+8y-16=0
整理,得y=2-x③
把③代入②,得
x2+(2-x)2-2(2-x)=0
整理,得x2-x=0
(特别注意,x是未知数,不能约去的)
提取x,得x(x-1)=0
∴x=0或x-1=0
解得x=0或x=1
把x=0代入③,得y=2
把x=1代入③,得y=1
解得或
C1与C2交点的直角坐标分别为(0,2),(1,1)
对于点(0,2)有:ρ===2,θ=
对于点(1,1)有:ρ===,tanθ==1,θ=
∴C1与C2交点的极坐标分别为(2,),(,)
【题型4】其它题型:.求交点坐标,求点的坐标,求轨迹方程等.
9.(2015全国Ⅱ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.
(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;
(Ⅱ)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
解:(Ⅰ)∵C2:ρ=2sinθ
∴ρ2=2ρsinθ
把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式得
曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0 ①………………1分
9
∵C3:ρ=23cosθ
∴ρ2=23ρcosθ
把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入上式得
曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0 ②………………2分
联立①②得………………3分
(此处为解方程的过程,可省略)
①-②,得 -2y+2x=0
整理,得y=x③
把③代入①,得x2+3x2-2x=0
整理,得2x2-x=0
(特别注意,x是未知数,不能约去的)
提取x,得x(2x-)=0
∴x=0或2x-=0
解得x=0或x=
把x=0代入③,得y=0
把x=代入③,得y=
解得或………………4分
∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32,32………………5分
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π
因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(23cosα,α)
∴|AB|=|2sinα-23cosα|=4sinα-π3
当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4
10.(2013全国Ⅱ卷,文/理23,10分)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解:(Ⅰ)∵动点P,Q都在曲线C:x=2costy=2sint(t为参数)上
∴P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α)
∵M为PQ的中点
∴xM==cosα+cos2α
yM==sinα+sin2α
∴M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).
∴M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α,y=sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π).
(Ⅱ)M点到坐标原点的距离d=x2+y2=2+2cosα(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点
9
11.(2012全国卷,文/理23,10分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).
(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;
(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.
解:(Ⅰ)∵点A的极坐标为2,π3
∴点B的极坐标为2,π3+π2
点C的极坐标为2,π3+π
点D的极坐标为2,π3+3π2
∴xA=2cosπ3=1,yA=2sinπ3=3
xB=2cosπ3+π2=-3,yB=2sinπ3+π2=1
xC=2cosπ3+π=-1,yC=2sinπ3+π=-3
xD=2cosπ3+3π2=3,yD=2sinπ3+3π2=-1
即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1)
(Ⅱ)设P(2cosφ,3sinφ),
令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2
则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ
∵0≤sin2φ≤1
∴S的取值范围是[32,52]
12.(2011全国卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.
(Ⅰ)求C2的方程;
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.
解:(Ⅰ)设P(x,y),则由条件知M(,).
由于M点在C1上
∴ 即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ
曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ
9
射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin
射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin
∴|AB|=|ρ2-ρ1|=2
13.(2010全国卷,文/理23,10分)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).
(Ⅰ)当α=时,求C1与C2的交点坐标;
(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.
解:(Ⅰ)当α=时
C1的普通方程为
C2的普通方程为
联立方程组
解得C1与C2的交点为(1,0),
(Ⅱ)C1的普通方程为.
A点坐标为,
故当变化时,P点轨迹的参数方程为
(为参数)
P点轨迹的普通方程为
故P点是圆心为,半径为的圆
9