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  • 2021-05-13 发布

高考数学《坐标系与参数方程》专项练习(含答案)

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‎《坐标系与参数方程》专项练习 一、知识梳理.‎ ‎1.极坐标与直角坐标的互化.‎ 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:‎ ‎(1),  (2)‎ ‎2.参数方程(t为参数)化为普通方程的常用方法.‎ ‎(1)代入法/加减法消参.‎ ‎(2)借助三角恒等式sin2θ+cos2θ=1(θ为参数)消参.‎ ‎3.直角坐标方程,极坐标方程和参数方程的转化关系.‎ 极坐标方程 ‎(ρ,θ)‎ ‎⇔‎ 直角坐标方程(普通方程)‎ ‎(x,y)‎ ‎⇔‎ 参数方程 ‎(t为参数)‎ 二、练习专项.‎ ‎【题型1】①极坐标方程 ⇔ 直角坐标方程.‎ ‎②参数方程 ⇔ 直角坐标方程.‎ ‎1.(2016全国Ⅲ卷,文科23,10分)在直线坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=2.‎ ‎(Ⅰ)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设点P在C1上,点Q在C2上,求∣PQ∣的最小值及此时P的直角坐标.‎ 解:(Ⅰ)由消去参数α得……………………1分 ‎(此处为消参的计算过程,可省略)‎ 变形得 两边平方,得 ‎①+②,得+y2=1‎ C1的普通方程为+y2=1……………………2分 ‎∵ρsin(θ+)=2‎ ‎∴ρ(sinθcos+cosθsin)=2……………………3分 ρ(sinθ+cosθ)=2‎ ρsinθ+ρcosθ=2‎ ρsinθ+ρcosθ=4……………………4分 ‎∵ρcosθ=x,ρsinθ=y ‎∴x+y=4……………………5分 9‎ ‎(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为……………………6分 ‎∵C2是直线 ‎∴的最小值即为P到C2的距离的最小值 ‎………………8分 当且仅当时,取得最小值,最小值为………………9分 此时P的直角坐标为………………10分 ‎2.(2009全国卷,文/理23,10分)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).‎ ‎(Ⅰ)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;‎ ‎(Ⅱ)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.‎ 解:(Ⅰ)由C1:消去参数t得……………………1分 ‎(此处为消参的计算过程,可省略)‎ 变形得 两边平方,得 ‎①+②,得(x+4)2+(y-3)2=1‎ ‎∴C1的普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1……………………2分 ‎∴C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆 由C2:消去参数θ得……………………1分 ‎(此处为消参的计算过程,可省略)‎ 变形得 两边平方,得 ‎①+②,得+=1‎ ‎∴C2的普通方程为+=1……………………2分 ‎∴C2为焦点在x轴上的椭圆 ‎(Ⅱ)当时,,‎ 故 为直线 M到的距离 9‎ 从而当时,取得最小值 ‎【题型2】①直角坐标方程 ⇔ 极坐标方程.‎ ‎②直角坐标方程 ⇔ 参数方程.‎ ‎3.(2016全国Ⅱ卷,文科23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(Ⅰ)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=.‎ 求l的斜率.‎ 解:(Ⅰ)由圆C的方程可得……………………1分 x2+12x+36+y2=25‎ x2+y2+12x+11=0……………………2分 把x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式得……………………3分 ρ2+12ρcosθ+11=0……………………4分 ‎∴圆C的极坐标方程为ρ2+12cosθ+11=0……………………5分 ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)‎ 由A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2……………………8分 将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ2+12ρcosα+11=0……………………7分 于是 ‎……………………8分 由|AB|=得 ‎……………………9分 ‎∴l的斜率为或……………………10分 ‎4.(2015全国Ⅰ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ 解:(Ⅰ)把x=ρcosθ代入C1:x=-2得ρcosθ=-2……………………1分 ‎∴C1的极坐标方程为ρcosθ=-2………………2分 由C2:(x-1)2+(y-2)2=1得 ‎(x2-2x+1)+(y2-4y+4)=1‎ x2+y2-2x-4y+1+4=1‎ x2+y2-2x-4y+4=0………………3分 把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得………………4分 C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0………………5分 ‎(Ⅱ)将θ=π‎4‎代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得 ρ2-3‎2‎ρ+4=0………………6分 解得ρ1=2‎2‎,ρ2=‎2‎………………7分 故ρ1-ρ2=‎2‎,即|MN|=‎2‎………………8分 9‎ 由于C2的半径为1‎ ‎∴△C2MN的面积为‎1‎‎2‎………………10分 ‎5.(2014全国Ⅰ卷,文/理23,10分)已知曲线C:,直线l:(t为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ 解:(Ⅰ)∵曲线C:x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1‎ ‎∴‎ 又∵sin2θ+cos2θ=1‎ ‎∴=cosθ,=sinθ ‎∴x=2cosθ,y=3sinθ 曲线C的参数方程为(θ为参数).‎ 由直线l:x=2+ty=2-2t消去参数t得 ‎(此处为消参的计算过程,可省略)‎ x=2+t① ‎y=2-2t②‎ 由①得t=x-2 ③‎ 把③代入②,得 y=2-2(x-2)‎ 整理得2x+y-6=0‎ 直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(Ⅱ)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为 d=‎5‎‎5‎|4cosθ+3sinθ-6|‎ 则|PA|=dsin30°‎‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=‎‎4‎‎3‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为‎22‎‎5‎‎5‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为‎2‎‎5‎‎5‎ ‎6.(2014全国Ⅱ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,].‎ ‎(Ⅰ)求C的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ 解:(Ⅰ)∵ρ=2cosθ ‎∴ρ2=2ρcosθ 把x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式得 x2+y2=2x ‎∴C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1)‎ ‎∴半圆C的圆心为(1,0),半径为1‎ 9‎ 可得C的参数方程为x=1+costy=sint(t为参数,0≤t≤π)‎ ‎(Ⅱ)设D(1+cost,sint)‎ 由(Ⅰ)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆 ‎∵C在点D处的切线与l垂直 ‎∴直线GD与l的斜率相同.tant=‎3‎,t=‎π‎3‎ 故D的直角坐标为‎1+cosπ‎3‎,sinπ‎3‎,即‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎ ‎【题型3】极坐标方程 ⇔ 参数方程.‎ ‎7.(2016全国Ⅰ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.‎ ‎(Ⅰ)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ 解:(Ⅰ)解法一:C1是圆的方程…………1分 由消去参数t得…………2分 ‎(此处为消参的计算过程,可省略)‎ 移项,得 两边平方,得 即 ‎①+②,得 x2+(y-1)2=a2cos2t+a2sin2t x2+(y-1)2=a2(cos2t+sin2t)‎ x2+(y-1)2=a2‎ ‎ ①‎ 整理得…………3分 ‎∴把代入上式得…………4分 ‎∴的极坐标方程为…………5分 ‎(Ⅱ)由C2:ρ=4cosθ得 两边同乘ρ得ρ2=4ρcosθ ‎∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x ‎…………6分 即 ②…………7分 C3:化为普通方程为…………8分 由题意:和的公共方程所在直线即为 ‎①-②得:,即为…………9分 ‎∴‎ ‎∴…………10分 9‎ ‎8.(2013全国Ⅰ卷,文/理23,10分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.‎ ‎(Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 解:(Ⅰ)将消去参数t得 C1的普通方程为(x-4)2+(y-5)2=25‎ 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0‎ 将代入上式得 ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0‎ ‎∴C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0‎ ‎(Ⅱ)∵C2的极坐标方程为ρ=2sinθ ‎∴C2的普通方程为x2+y2-2y=0‎ 由 ‎(此处为解方程的过程,可省略)‎ ‎②-①,得 8x+8y-16=0‎ 整理,得y=2-x③‎ 把③代入②,得 x2+(2-x)2-2(2-x)=0‎ 整理,得x2-x=0‎ ‎(特别注意,x是未知数,不能约去的)‎ 提取x,得x(x-1)=0‎ ‎∴x=0或x-1=0‎ 解得x=0或x=1‎ 把x=0代入③,得y=2‎ 把x=1代入③,得y=1‎ 解得或 C1与C2交点的直角坐标分别为(0,2),(1,1)‎ 对于点(0,2)有:ρ===2,θ=‎ 对于点(1,1)有:ρ===,tanθ==1,θ=‎ ‎∴C1与C2交点的极坐标分别为(2,),(,)‎ ‎【题型4】其它题型:.求交点坐标,求点的坐标,求轨迹方程等.‎ ‎9.(2015全国Ⅱ卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cosθ.‎ ‎(Ⅰ)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(Ⅱ)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ 解:(Ⅰ)∵C2:ρ=2sinθ ‎∴ρ2=2ρsinθ 把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式得 曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0 ①………………1分 9‎ ‎∵C3:ρ=2‎3‎cosθ ‎∴ρ2=2‎3‎ρcosθ 把ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入上式得 曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0 ②………………2分 联立①②得………………3分 ‎(此处为解方程的过程,可省略)‎ ‎①-②,得 -2y+2x=0‎ 整理,得y=x③‎ 把③代入①,得x2+3x2-2x=0‎ 整理,得2x2-x=0‎ ‎(特别注意,x是未知数,不能约去的)‎ 提取x,得x(2x-)=0‎ ‎∴x=0或2x-=0‎ 解得x=0或x=‎ 把x=0代入③,得y=0‎ 把x=代入③,得y=‎ 解得或………………4分 ‎∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎………………5分 ‎(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π 因此A的极坐标为(2sinα,α),B的极坐标为(2‎3‎cosα,α)‎ ‎∴|AB|=|2sinα-2‎3‎cosα|=4‎sinα-‎π‎3‎ 当α=‎5π‎6‎时,|AB|取得最大值,最大值为4‎ ‎10.(2013全国Ⅱ卷,文/理23,10分)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程;‎ ‎(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ 解:(Ⅰ)∵动点P,Q都在曲线C:x=2costy=2sint(t为参数)上 ‎∴P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α)‎ ‎∵M为PQ的中点 ‎∴xM==cosα+cos2α yM==sinα+sin2α ‎∴M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).‎ ‎∴M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α,‎y=sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(Ⅱ)M点到坐标原点的距离d=x‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎‎2+2cosα(0<α<2π).‎ 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点 9‎ ‎11.(2012全国卷,文/理23,10分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).‎ ‎(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;‎ ‎(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)∵点A的极坐标为‎2,‎π‎3‎ ‎∴点B的极坐标为‎2,π‎3‎+‎π‎2‎ 点C的极坐标为‎2,π‎3‎+π 点D的极坐标为‎2,π‎3‎+‎‎3π‎2‎ ‎∴xA=‎2cosπ‎3‎=1,yA=‎2sinπ‎3‎=‎‎3‎ xB=2cosπ‎3‎‎+‎π‎2‎=-‎3‎,yB=2sinπ‎3‎‎+‎π‎2‎=1‎ xC=2cosπ‎3‎+π=-1,yC=2sinπ‎3‎+π=-‎‎3‎ xD=2cosπ‎3‎‎+‎‎3π‎2‎=‎3‎,yD=2sinπ‎3‎‎+‎‎3π‎2‎=-1‎ 即A(1,‎3‎),B(-‎3‎,1),C(-1,-‎3‎),D(‎3‎,-1)‎ ‎(Ⅱ)设P(2cosφ,3sinφ),‎ 令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2‎ 则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ ‎∵0≤sin2φ≤1‎ ‎∴S的取值范围是[32,52]‎ ‎12.(2011全国卷,文/理23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),M是C1上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(Ⅰ)求C2的方程;‎ ‎(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.‎ 解:(Ⅰ)设P(x,y),则由条件知M(,).‎ 由于M点在C1上 ‎∴ 即 从而C2的参数方程为(α为参数)‎ ‎(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ 曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ 9‎ 射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin 射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin ‎∴|AB|=|ρ2-ρ1|=2‎ ‎13.(2010全国卷,文/理23,10分)已知直线C1:(t为参数),圆C2:(θ为参数).‎ ‎(Ⅰ)当α=时,求C1与C2的交点坐标;‎ ‎(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点,当α变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.‎ 解:(Ⅰ)当α=时 C1的普通方程为 C2的普通方程为 联立方程组 解得C1与C2的交点为(1,0),‎ ‎(Ⅱ)C1的普通方程为.‎ A点坐标为,‎ 故当变化时,P点轨迹的参数方程为 ‎(为参数)‎ P点轨迹的普通方程为 故P点是圆心为,半径为的圆 9‎