辽宁省大连市高三高考理科数学第一次模拟考试试题及答案word 12页

辽宁省大连市 2015 届高三第一次模拟考试数学(理)试题 第 I 卷 一．选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） （1）已知集合 { 1 1}A x x    ， 2{ 2 0}B x x x   ，则 A B  （ ） （A） [ 1,0] （B） [ 1,0] （C） [0,1] （D） ( ,1] [2, )  （2）设复数 1z i  （i 是虚数单位），则 22 zz  =（ ） （A）1 i （B）1 i （C） 1 i  （D） 1 i  （3）已知 1, 2a b  ，且 ( )a a b  ，则向量 a 与向量b 的夹角为（ ） （A） 6  （B） 4  （C） 3  （D） 2 3  （4）已知 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 , ,a b c ,若 2 2 2a b c bc   ， 4bc  ，则 ABC 的面积 为（ ） （A） 1 2 （B）1 （C） 3 （D）2 (5)已知  2,0,1,3,4a  ，  1,2b ，则函数 2( ) ( 2)f x a x b   为增函数的概率是（ ） （A） 2 5 （B） 3 5 （C） 1 2 （D） 3 10 （6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的 S 为 11 12 ，则判断框中填写的内容可以是( ) （A） 6n  （B） 6n  （C） 6n  （D） 8n  （7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多 面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） （A） 32 3 （B） 64 （C） 32 3 3 （D） 64 3 （8）已知直线 2 2( 1)y x  与抛物线 :C xy 42  交于 BA, 两点，点 ),1( mM  ，若 0 MBMA ，则 m （ ） （A） 2 （B） 2 2 （C） 2 1 （D） 0 （9）对定义在[0,1] 上，并且同时满足以下两个条件的函数 ( )f x 称为 M 函数，① 对任意的 [0,1]x ， 恒有 ( ) 0f x  ；② 当 1 2 1 20, 0, 1x x x x    时，总有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   成立，则下列函 数不是 M 函数的是（ ） （A） 2( )f x x （B） ( ) 2 1xf x   （C） 2( ) ln( 1)f x x  （D） 2( ) 1f x x  （10）在平面直角坐标系中，若 ( , )P x y 满足 4 4 0 2 10 0 5 2 2 0 x y x y x y            ，则当 xy 取得最大值时，点 P 的坐标是（ ） （A） (4,2) （B） (2,2) （C） (2,6) （D） 5( ,5)2 （11) 已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     与函数 ( 0)y x x  的图象交于点 P ，若函数 y x 在 点 P 处的切线过双曲线左焦点 ( 1,0)F  ，则双曲线的离心率是（ ） （A） 5 1 2  （B） 5 2 2  （C） 3 1 2  （D） 3 2 （12）若对 , [0, )x y   ，不等式 2 24 2x y x yax e e      恒成立，则实数 a 的最大值是（ ） （A） 1 4 （B）1 （C）2 （D） 1 2 第 II 卷 二.填空题:（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上） （13）函数 1 3sin cos2 2y x x  ( [0, ]2x  )的单调递增区间是__________． （14） 61 2x x     的展开式中常数项为 ． (15) 已知定义在 R 上的偶函数 ( )f x 在[0, ) 单调递增，且 (1) 0f  ，则不等式 ( 2) 0f x  的解集 是 ． （16）同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为 a，球的半径为 R．设两个 正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 、  ，则 tan( )  的值是 ． 三.解答题：(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) （17）(本小题满分 12 分) 已知数列{ }na 中， 1 1a  ，其前 n 项的和为 nS ，且满足 22 2 1 n n n Sa S   ( 2)n  . (Ⅰ) 求证：数列 1 nS       是等差数列； (Ⅱ) 证明：当 2n  时， 1 2 3 1 1 1 3...2 3 2nS S S Sn      . （18）(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠DAB＝ 60 ，PD⊥平面 ABCD， PD=AD=1，点 ,E F 分别为为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证：直线 AF // 平面 PEC ； (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值. （19）(本小题满分 12 分) 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮训练，每人投 10 次，投中的次数统 计如下表： 学生 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 (Ⅰ)从统计数据看，甲乙两个班哪个班成绩更稳定（用数据说明）？ (Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的 1 号和 2 号同学分别代表自己的班级参加比赛， 每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 X 和Y ，试求 X 和Y 的分布列和数学 期望. （20） （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的上顶点为 (0,1) ，且离心率为 3 2 ，. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程； （Ⅱ）证明：过椭圆 1C : 2 2 2 2 1( 0)x y m nm n     上一点 0 0( , )Q x y 的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y m n   ； （Ⅲ）以圆 2 2 16x y  上一点 P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为 ,A B ,当直线 AB 分别与 x 轴、 y 轴 交于 M 、 N 两点时，求 MN 的最小值. （21）（本小题满分 12 分） 若定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 2 2 2(1)( ) 2 (0)2 xff x e x f x    ， 21( ) ( ) (1 )2 4 xg x f x a x a     ， （Ⅰ）求函数 ( )f x 解析式； （Ⅱ）求函数 ( )g x 单调区间； （Ⅲ）若 x 、y 、m 满足| | | |  x m y m ，则称 x 比 y 更接近 m .当 2a  且 1x  时，试比较 e x 和 1xe a  哪个更接近 ln x ，并说明理由。 C B D A O 请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔 在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． (22)（本小题满分 10 分）选修 4－1：几何证明选讲 如图所示， AB 为圆O 的直径， BC ，CD 为 圆O 的切线， B ， D 为切点. （Ⅰ）求证： OCAD // ； （Ⅱ）若圆O 的半径为 2，求 OCAD 的值. (23)（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为        sin24 cos23 y x （ 为参数） （Ⅰ）以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知 ( 2,0), (0,2)A B ，圆C 上任意一点 ),( yxM ，求 ABM 面积的最大值. (24)（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 设函数 ( ) 2 2 2f x x x    ． （Ⅰ）求不等式 2)( xf 的解集； （Ⅱ）若 Rx  ， 2 7( ) 2f x t t  恒成立，求实数t 的取值范围． 201５年大连市高三一模测试 数学（理科）参考答案与评分标准 一．选择题 （1）C；（2）A；（3）B；（4）C；(5)B；（6）C；（7）D；（8）B；（9）D；（10）D；（11) A； （12）D． 二.填空题 （13）[0, ]6  ；（14） 5 2  ；(15) ( ,1] [3, )  ；（16） 4 3 3 R a  . 三.解答题 （17）解：（Ⅰ）当 2n  时， 2 1 2 2 1 n n n n SS S S   ， 1 12n n n nS S S S   1 1 1 2 n nS S    ，从而 1 nS       构成以 1 为首项，2 为公差的等差数列。6 分 （Ⅱ）由（1）可知， 1 1 1 ( 1) 2 2 1 n n nS S       ， 1 2 1nS n    当 2n  时， 1 1 1 1 1 1 1 1( )(2 1) (2 2) 2 ( 1) 2 1nSn n n n n n n n n          从而 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3... 1 (1 )2 3 2 2 2 3 1 2 2 2nS S S Sn n n n                （18）解：(Ⅰ)证明：作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点，∴ CDFM 2 1 . ∵ 2 1k ，∴ FMABAE  2 1 ， ∴AEMF 为平行四边形，∴AF∥EM， ∵ AF PEC EM PEC 平面 ， 平面 ， ∴ 直 线 AF // 平 面 PEC. ……………6 分 (Ⅱ) 60DAB   ， DE DC  如图所示，建立坐标系，则 P(0,0,1),C(0,1,0),E( 3 2 ,0,0), A( 3 2 ， 1 2  ，0)， 3 1( , ,0)2 2B ∴ 3 1, ,12 2AP        ，  0,1,0AB  . 设平面 PAB 的一个法向量为  , ,n x y z . ∵ 0n AB   ， 0n AP   ，∴ 2 2 02 2 0 x y z y       ，取 1x  ，则 3 2z  ， ∴平面 PAB 的一个法向量为 3(1,0, )2n  . ∵ (0,1, 1)PC   ，∴设向量 n PC  与 所成角为 ，∴ 3 422cos 147 24 n PC n PC           ， ∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为 42 14 ..……………12 分 （19）解：解：(Ⅰ)两个班数据的平均值都为 7， 甲班的方差 2 2 2 2 2 2 1 6-7 + -7 + -7 + -7 + -7 =25s （ ） （5 ） （7 ） （9 ） （8 ） ， 乙班的方差 2 2 2 2 2 2 2 -7 + -7 + -7 + -7 + -7 14=5 5s （4 ） （8 ） （9 ） （7 ） （7 ） ， 因为 2 2 1 2s s ，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. (Ⅱ) X 可能取 0,1,2 2 1 1( 0) 5 2 5P X     ， 3 1 2 1 1( 1) 5 2 5 2 2P X       ， 3 1 3( 2) 5 2 10P X     ， 所以 X 分布列为： X 0 1 2 P 1 5 1 2 3 10 数学期望 1 1 3 110 1 25 2 10 10EX        Y 可能取 0,1,2 3 1 3( 0) 5 5 25P Y     ， 3 4 2 1 14( 1) 5 5 5 5 25P Y       ， 2 4 8( 2) 5 5 25P Y     ， 所以Y 分布列为： Y 0 1 2 P 3 25 14 25 8 25 数学期望 3 14 8 60 1 225 25 25 5EY        （20）解：(Ⅰ) 1b  ， 3= 2 ce a  ， 2, 1a b   ， 椭圆C 方程为 2 2 14 x y  。 2 分 （Ⅱ）法一：椭圆 1C : 2 2 2 2 1x y m n   ，当 0y  时， 2 21 xy n m   ， 故 2 2 2 1 1 nxy m x m      ， 当 0 0y  时， 2 0 0 02 2 22 0 00 2 1 1 1 xn n nk x x ym m m yx nm          。 4 分 切线方程为   2 0 0 02 0 xny y x xm y      ， 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0n x x m y y m y n x m n    ， 0 0 2 2 1x x y y m n   。 6 分 同理可证， 0 0y  时，切线方程也为 0 0 2 2 1x x y y m n   。 当 0 =0y 时，切线方程为 x m  满足 0 0 2 2 1x x y y m n   。 综上，过椭圆上一点 0 0( , )Q x y 的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y m n   。 7 分 解法 2. 当斜率存在时，设切线方程为 y kx t  ，联立方程： 2 2 2 2 1x y m n y kx t       可得 2 2 2 2 2 2( )n x m kx t m n   ，化简可得： 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0n m k x m ktx m t n     ，① 由题可得： 4 2 2 2 2 2 2 2 24 4 ( )( ) 0m k t m n m k t n      ， 4 分 化简可得： 2 2 2 2t m k n  ， ①式只有一个根，记作 0x ， 2 2 0 2 2 2 m kt m kx n m k t     ， 0x 为切点的横坐标， 切点的纵坐标 2 0 0 ny kx t t    ，所以 2 0 2 0 x m k y n   ，所以 2 0 2 0 n xk m y   ， 所以切线方程为： 2 0 0 0 02 0 ( ) ( )n xy y k x x x xm y       ， 化简得： 0 0 2 2 1x x y y m n   。 6 分 当切线斜率不存在时，切线为 x m  ，也符合方程 0 0 2 2 1x x y y m n   ， 综上： 2 2 2 2 1x y m n   在点 0 0( , )x y 处的切线方程为 0 0 2 2 1x x y y m n   。 （其它解法可酌情给分） 7 分 （ Ⅲ ） 设 点 P ( , )p px y 为 圆 2 2 16x y  上 一 点 ， ,PA PB 是 椭 圆 2 2 14 x y  的 切 线 ， 切 点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，过点 A 的椭圆的切线为 1 1 14 x x y y  ，过点 B 的椭圆的切线为 2 2 14 x x y y  。 两切线都过 P 点， 1 2 1 21, 14 4 p p p p x x x xy y y y     。 切点弦 AB 所在直线方程为 14 p p xx yy  。 9 分 1(0 ) p M y  ， ， 4( ,0) p N x ， 2 2 2 2 2 2 2 16 1 16 1= 16 p p p p p p x yMN x y x y           2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 25= 17 16 17 2 1616 16 16 p p p p p p p p x y x y y x y x                    。 当且仅当 2 2 2 216p p p p x y y x  ，即 2 264 16,5 5P Px y  时取等， 5 4MN  ， MN 的最小值为 5 4 . 12 分 （21）（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） 2 2'( ) '(1) 2 2 (0)xf x f e x f   ，所以 '(1) '(1) 2 2 (0)f f f   ，即 (0) 1f  ． 又 2(1)(0) 2 ff e  ，所以 2'(1) 2f e ， 所以 2 2( ) 2xf x e x x   ． （2） 2 2( ) 2xf x e x x   ， 2 2 21 1 1( ) ( ) (1 ) (1 ) ( 1)2 4 4 4 x xxg x f x a x a e x x x a x a e a x                .……………5 分 ( ) xg x e a   ， ①当 0a≤ 时， ( ) 0g x  ，函数  f x 在 R 上单调递增； .……………6 分 ②当 0a  时，由 ( ) 0xg x e a    得 lnx a ， ∴  ,lnx a  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减；  ln ,x a  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增． 综上，当 0a≤ 时，函数 ( )g x 的单调递增区间为 ( , )  ；当 0a  时，函数 ( )g x 的单调递增区间为  ln ,a  ，单调递减区间为 ,ln a ． .……………8 分 （3）（Ⅲ）解：设 1( ) ln , ( ) lnxep x x q x e a xx      ，  2 1'( ) 0ep x x x     ， ( )p x 在 [1, )x  上为减函数，又 ( ) 0p e  ， 当1 x e  时， ( ) 0p x  ，当 x e 时， ( ) 0p x  .  1 1'( ) xq x e x   ， 1 2 1''( ) 0xq x e x    ，  '( )q x 在 [1, )x  上为增函数，又 '(1) 0q  ，  [1, )x  时， '( ) 0q x  ， ( )q x 在 [1, )x  上为增函数，  ( ) (1) 2 0q x q a    . ①当1 x e  时， 1| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) xep x q x p x q x e ax       ， 设 1( ) xem x e ax    ，则 1 2'( ) 0xem x ex     ， ( )m x 在 [1, )x  上为减函数，  ( ) (1) 1m x m e a    ，  2a  ， ( ) 0m x  ， | ( ) | | ( ) |p x q x ， e x 比 1xe  更接近 ln x . ②当 x e 时， 1 1| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) 2ln 2lnx xep x q x p x q x x e a x e ax              ， 设 1( ) 2ln xn x x e a   ，则 12'( ) xn x ex   ， 1 2 2''( ) 0xn x ex     ，  '( )n x 在 x e 时为减函数， 12'( ) '( ) 0en x n e ee     ，  ( )n x 在 x e 时为减函数， 1( ) ( ) 2 0en x n e a e      ，  | ( ) | | ( ) |p x q x ， e x 比 1xe  更接近 ln x . 综上：在 2, 1a x  时， e x 比 1xe  更接近 ln x . 12 分 (22) 解： (1)连接 CDCBODBD ,,,  是圆O 的两条切线， OCBD  ， 90 DOCODB , 又 AB 为 圆 O 的 直 径 ， DBAD  ， 90 ODBADO ODAOAD  , DOCOAD  ,即得证， 5 分 (2) ODAO  , DOCDAO  , BADRt ∽ COD ， 8AD OC AB OD    10 分 (23)解：（1）圆C 的参数方程为        sin24 cos23 y x （ 为参数） 所以普通方程为 4)4()3( 22  yx ---------------2 分 圆C 的极坐标方程： 021sin8cos62   ---5 分 （2）点 ),( yxM 到直线 AB 02  yx 的距离为-------6 分 2 |9sin2cos2|  d -------------7 分 ABM 的面积 |9)4sin(22||9sin2cos2|||2 1  dABS | ------9 分 所以 ABM 面积的最大值为 229  ------------10 分 (24) 解：（1） 4, 1 ( ) 3 , 1 2 4, 2 x x f x x x x x            ，-----2 分 当 1, 4 2, 6, 6x x x x          当 2 21 2,3 2, , 23 3x x x x        当 2, 4 2, 2, 2x x x x       综上所述 2| 63x x x      或 ．----------------------5 分 （2）易得 min( ) ( 1) 3f x f    ，若 Rx  ， ttxf 2 11)( 2  恒成立， 则只需 2 2 min 7 3( ) 3 2 7 6 0 22 2f x t t t t t           ， 综上所述 3 22 t  ．------------------------------10 分