高考数学一轮复习学案人教版A版空间几何体的表面积和体积 14页

‎2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）---空间几何体的表面积和体积 一．【课标要求】‎ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。‎ 二．【命题走向】‎ 近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。‎ 由于本讲公式多反映在考题上，预测2010年高考有以下特色：‎ ‎（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；‎ ‎（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；‎ 三．【要点精讲】‎ ‎1．多面体的面积和体积公式 名称 侧面积(S侧)‎ 全面积(S全)‎ 体 积(V)‎ 棱 柱 棱柱 直截面周长×l S侧+2S底 S底·h=S直截面·h 直棱柱 ch S底·h 棱 锥 棱锥 各侧面积之和 S侧+S底 S底·h 正棱锥 ch′‎ 棱 台 棱台 各侧面面积之和 S侧+S上底+S下底 h(S上底+S下底+)‎ 正棱台 ‎ (c+c′)h′‎ 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。‎ ‎2．旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 S侧 ‎2πrl πrl π(r1+r2)l S全 ‎2πr(l+r)‎ πr(l+r)‎ π(r1+r2)l+π(r21+r22)‎ ‎4πR2‎ V πr2h(即πr‎2l)‎ πr2h πh(r21+r1r2+r22)‎ πR3‎ 表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径 四．【典例解析】‎ 题型1：柱体的体积和表面积 例1．一个长方体全面积是‎20cm2，所有棱长的和是‎24cm，求长方体的对角线长.‎ 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm 依题意得： ‎ 由（2）2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）‎ 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16‎ 即l2=16‎ 所以l=4(cm)。‎ 点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。‎ 例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B‎1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=。‎ ‎（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；‎ ‎（2）求这个平行六面体的体积 图1 图2‎ 解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A‎1M，A1N。由三垂线定得得A‎1M⊥AB，A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN，‎ ‎∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A‎1M=A1N，‎ 从而OM=ON。‎ ‎∴点O在∠BAD的平分线上。‎ ‎（2）∵AM=AA1cos=3×=‎ ‎∴AO==。‎ 又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12 – AO2=9－=，‎ ‎∴A1O=，平行六面体的体积为。‎ 题型2：柱体的表面积、体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．‎ 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。‎ 点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。‎ 例4．如图，三棱柱ABC—A1B‎1C1中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB‎1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2= ____ _。‎ 解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。‎ ‎∵E、F分别为AB、AC的中点，‎ ‎∴S△AEF=S,‎ V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh，‎ ‎∴V1∶V2=7∶5。‎ 点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型3：锥体的体积和表面积 P A B C D O E 例5． 7. (2009山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为，高为，所以体积为 所以该几何体的体积为.‎ 答案:C ‎【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,‎ 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.‎ ‎（2009四川卷文）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，‎ 则下列结论正确的是 ‎ A. ‎ ‎ B. ‎ ‎ C. 直线∥‎ ‎ D. 直线所成的角为45°‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以也不成立；BC∥AD∥平面PAD, ∴直线∥也不成立。在中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°. ∴D正确 ‎（2009全国卷Ⅱ文）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 × ‎ ‎ 答案：8π 解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由 例61.(2009年广东卷文)（本小题满分13分）‎ 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;‎ ‎（2）求该安全标识墩的体积 ‎（3）证明:直线BD平面PEG ‎【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎　　　（２）该安全标识墩的体积为：‎ ‎　　　　　‎ ‎　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG；. ‎ 例7．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？‎ 解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。‎ 设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，CO＝。‎ ‎ 。‎ 而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。‎ 由，得·‎ 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。‎ 例8．2009年上海卷理）已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，同理：，即R1＝，R2＝，R3＝，由得 例9．（2009安徽卷文）（本小题满分13分）‎ 如图，ABCD的边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，g和F式l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC， 和是平面ABCD内的两点，和都与平面ABCD垂直，‎ ‎（Ⅰ）证明：直线垂直且平分线段AD： ‎ ‎（Ⅱ）若∠EAD=∠EAB=60°，EF=2，求多面 体ABCDEF的体积。‎ ‎【思路】根据空间线面关系可证线线垂直，由分割法可求得多面体体积，体现的是一种部分与整体的基本思想 ‎【解析】(1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上.‎ 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上.‎ 所以,直线EF垂直平分线段AD.‎ ‎(2)连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E—ABCD和正四面体E—BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, .‎ ‎—ABCD 又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC 多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=‎ 例10．（1）（2009浙江卷理）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点 作，为垂足．设，则的取值范围是 ．‎ 答案： ‎ ‎ 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是 例11．3.（2009浙江卷文）若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．‎ ‎【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．‎ ‎【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18‎ 例12．2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。‎ 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.‎ 例13．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积 解：设截面圆心为，连结，设球半径为，‎ 则，‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴。‎ 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。‎ 例14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。‎ 解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。‎ 在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,‎ ‎∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。‎ 由正弦定理，得 =2r,∴r=a。‎ 又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，‎ ‎∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，‎ ‎∴OO′=R － a=d=,(R－a)2=R2 – (a)2，解得R=a,‎ ‎∴S球=4πR2=3πa2。‎ 点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略 题型9：球的面积、体积综合问题 例15．（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。‎ ‎（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。‎ 解：（1）设球半径为，正四棱柱底面边长为，‎ 则作轴截面如图，，，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H ‎ 由题设 ‎∵　△AOF∽△AEG ∴　，得 ‎∵　△AO1H∽△AOF ∴ ，得 ‎∴　‎ 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等 题型10：球的经纬度、球面距离问题 例19．（1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）‎ ‎（2）在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离。‎ 解：（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，‎ ‎∴，‎ 设是北纬的纬线长，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 答：北纬纬线长约等于．‎ ‎（2）解：设经过三点的截面为⊙，‎ 设球心为，连结，则平面，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 所以，球心到截面距离为．‎ 例16．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离 解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴中，，‎ 所以，两点的球面距离等于．‎ 点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离 ‎2009江苏卷）（本小题满分14分） ‎ 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。 ‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。满分14分 五．【思维总结】‎ ‎1．正四面体的性质 设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 ‎(1)全面积：S全=a2；‎ ‎(2)体积：V=a3；‎ ‎(3)对棱中点连线段的长：d=a；‎ ‎(4)内切球半径：r=a；‎ ‎(5)外接球半径 R=a；‎ ‎(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。‎ ‎2．直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：‎ 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。‎ 则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；‎ ‎②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；‎ ‎③体积 V=abc；‎ ‎④底面△ABC=；‎ ‎⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC；‎ ‎⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC ‎⑦=++; ‎ ‎⑧外切球半径 R=；‎ ‎⑨内切球半径 r=‎ ‎3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.‎ ‎①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则 ‎ sinα=cos = ，‎ α+=90° ‎ ‎ cosα=sin = .‎ ‎②圆台 如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r ′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。‎ ‎③球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.‎ ‎(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；‎ ‎(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；‎ ‎(3)球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：‎ r=.‎ ‎4．经度、纬度：‎ 经线：球面上从北极到南极的半个大圆；‎ 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；‎ 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。‎ ‎5. 两点的球面距离：‎ 球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离 两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A,B所对应的球心角的弧度数）‎