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  • 2021-05-13 发布

高考北京卷数学文试题与解答

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‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ ‎ 数 学(文史类)‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到11页。共150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题共50分)‎ 注意事项:‎ ‎1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。‎ ‎3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。‎ 参考公式:‎ 三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 其中c′、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长 球体的体积公式 其中R表示球的半径 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎(1)设集合,,则A∩B等于 ‎(A){x|x>1} (B){x|x>0} ‎ ‎(C){x|x<-1} (D){x|x<-1或x>1}‎ ‎(2)设,,,则 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(3)“”是“,k∈Z”的 ‎(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 ‎(4)已知α,β是平面,m,n是直线。下列命题中不正确的是 ‎(A)若m//α,α∩β=n,则m//n (B)若m//n,m⊥α,则n⊥α ‎(C)若m⊥α,m⊥β,则α//β (D)若m⊥α,,则α⊥β ‎(5)如图,直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点和一个顶点B。该椭圆的离心率为 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(6)若z∈C且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是 ‎(A)2 (B)3 ‎ ‎(C)4 (D)5‎ ‎(7)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为 ‎(A)2π (B) ‎ ‎(C) (D)π ‎(8)若数列的通项公式是,n=1,2,…,则 等于 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)‎ ‎(9)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植。不同的种植方法共有 ‎(A)24种 (B)18种 ‎ ‎(C)12种 (D)6种 ‎(10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人,全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,k。规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”。令 其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为 ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)‎ ‎(D)‎ ‎2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)‎ ‎ 数 学(文史类)‎ 第Ⅱ卷(非选择题共100分)‎ 注意事项:‎ ‎1.第Ⅱ卷共9页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。‎ ‎2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。‎ ‎(11)已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为________。‎ ‎(12)函数,g(x)=2-|x|,h(x)=tg2x中,________是偶函数。‎ ‎(13)以双曲线的右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是________。‎ ‎(14)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形。要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为________。‎ 三、解答题:本大题共6小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(15)(本小题满分13分)‎ 已知函数。‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)求f(x)的最大值、最小值。‎ ‎(16)(本小题满分13分)‎ 已知数列是等差数列,且,。‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)令,求数列前n项和的公式。‎ ‎(17)(本小题满分15分)‎ 如图,正三棱柱中,D是BC的中点,AB=a。‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求点D到平面的距离;‎ ‎(Ⅲ)判断与平面的位置关系,并证明你的结论。‎ ‎(18)(本小题满分15分)‎ 如图,,A为椭圆的两个顶点,,为椭圆的两个焦点。‎ ‎(Ⅰ)写出椭圆的方程及其准线方程;‎ ‎(Ⅱ)过线段OA上异于O,A的任一点K作OA的垂线,交椭圆于P,两点,直线与 交于点M。‎ 求证:点M在双曲线上 。‎ ‎(19)(本小题满分14分)‎ 有三个新兴城镇,分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=13km,BC=10km。今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的街垂直平分线上的P点处。(建立坐标系如图)‎ ‎(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处?‎ ‎(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?‎ ‎(20)(本小题满分14分)‎ 设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:‎ ‎(i)f(-1)=f(1)=0;‎ ‎(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|。‎ ‎(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;‎ ‎(Ⅱ)判断函数是否满足题设条件;‎ ‎(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|。‎ 若存在,请举一例;若不存在,请说明理由。‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。‎ ‎(1)A (2)D (3)A (4)A (5)D ‎(6)B (7)C (8)B (9)B (10)C 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分16分。‎ ‎(11)3 (12)f(x),g(x)‎ ‎(13) (14)‎ 三、解答题:本大题共6小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎(15)本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式,以及三角函数的性质等基本知识,考查运算能力。满分13分。‎ ‎(Ⅰ)解:因为 ‎ =cos2x-sin2x ‎ ,‎ 所以f(x)的最小正周期。‎ ‎(Ⅱ)解:因为,所以f(x)的最大值为,最小值为。‎ ‎(16)本小题主要考查等差、等比数列等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力。满分13分。‎ ‎(Ⅰ)解:设数列的公差为d,‎ 则,‎ 又,得d=2。‎ 所以。‎ ‎(Ⅱ)解:由,得 ‎,①‎ ‎②‎ 将①式减去②式,得 ‎ ,‎ 所以。‎ ‎(17)本小题主要考查直线与平面的位置关系,正棱柱的性质等基本知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力。满分15分。‎ ‎(Ⅰ)证法一:‎ ‎∵点D是正△ABC中BC边的中点,∴AD⊥BC。‎ 又底面ABC,∴ 。‎ ‎∵,∴。‎ 证法二:‎ 连结,则。‎ ‎∵点D是等腰的底边BC的中点,‎ ‎∴。‎ ‎∵,∴。‎ ‎(Ⅱ)解法一:‎ 作DE⊥AC于E,‎ ‎∵平面⊥平面ABC。‎ ‎∴DE⊥平面于E,‎ 即DE的长为点D到平面的距离。‎ 在Rt△ADC中,AC=2CD=a,,‎ ‎∴所求距离。‎ 解法二:‎ 设点D到平面的距离为x。‎ ‎∵体积,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即点D到平面的距离为。‎ ‎(Ⅲ)答:直线//平面,证明如下:‎ 证法一:‎ 如图1,连结交于F,则F为的中点。‎ ‎∵D是BC的中点,∴。‎ 又平面,平面,‎ ‎∴//平面。‎ 证法二:‎ 如图2,取的中点,则,,‎ ‎∴AD//平面,且//平面,‎ ‎∴平面平面。‎ ‎∵平面。‎ ‎∴//平面。‎ ‎(18)本小题主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。‎ ‎(Ⅰ)解:由图可知,a=5,c=4,所以。‎ 该椭圆的方程为,准线方程为。‎ ‎(Ⅱ)证明:设K点坐标为。点P,的坐标分别记为,,其中,则 ‎。……①‎ 直线,的方程分别为:‎ ‎,……②‎ ‎。……③‎ ‎②式除以③式得。‎ 化简上式得,代入②式得。‎ 于是,直线与的交点M的坐标为。‎ 因为,‎ 所以,直线与的交点M在双曲线上。‎ ‎(19)本小题主要考查函数,不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)解:设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为 ‎ ,‎ 所以,当y=4时,函数f(y)取得最小值。‎ 答:点P的坐标是(0,4)。‎ ‎(Ⅱ)解法一:‎ P至三镇的最远距离为 由解得,记,于是 因为在上是增函数,而|12-y|在上是减函数,‎ 所以,当时,函数g(y)取得最小值。‎ 答:点P的坐标为;‎ 解法二:‎ P至三镇的最远距离为 由解得,记,于是 函数z=g(y)的图象如图(a),因此,当时,函数g(y)取得最小值。‎ 答:点P的坐标为;‎ 解法三:‎ 因为△ABC中,AB=AC=13,且,‎ ‎,如图(b)。所以△ABC的外心M在线段AO上,其坐标为,且AM=BM=CM。‎ 当P在射线MA上,记P为;‎ 当P在射线MA的反向延长线上,记 P为。‎ 这时P到A,B,C三点的最远距离为或,且,,所以,点P与外心M重合时,P到三镇的最远距离最小。‎ 答:点P的坐标为。‎ ‎(20)本小题考查函数和不等式等基本知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分。‎ ‎(Ⅰ)证明:由题设条件可得,当x∈[-1,1]时,有 ‎|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,‎ 即x-1≤f(x)≤1-x。‎ ‎(Ⅱ)答:函数g(x)满足题设条件。验证如下:‎ g(-1)=0=g(1)。‎ 对任意的u,v∈[-1,1],‎ 当u,v∈[0,1]时,有|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|;‎ 当u,v∈[-1,0]时,同理有|g(u)-g(v)|=|u-v|;‎ 当u·v<0时,不妨设u∈[-1,0),v∈(0,1],有 ‎|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|。‎ 所以,函数g(x)满足题设条件。‎ ‎(Ⅲ)答:这样的函数不存在。理由如下:‎ 假设存在f(x)满足条件,则由f(-1)=f(1)=0,得 ‎|f(1)-f(-1)|=0 ①‎ 由于对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|,‎ 所以,|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2 ②‎ ‎①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在。‎