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- 2021-05-13 发布
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2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数 学(文史类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到11页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共50分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。
3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长
球体的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)设集合,,则A∩B等于
(A){x|x>1} (B){x|x>0}
(C){x|x<-1} (D){x|x<-1或x>1}
(2)设,,,则
(A) (B)
(C) (D)
(3)“”是“,k∈Z”的
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
(4)已知α,β是平面,m,n是直线。下列命题中不正确的是
(A)若m//α,α∩β=n,则m//n (B)若m//n,m⊥α,则n⊥α
(C)若m⊥α,m⊥β,则α//β (D)若m⊥α,,则α⊥β
(5)如图,直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点和一个顶点B。该椭圆的离心率为
(A) (B)
(C) (D)
(6)若z∈C且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是
(A)2 (B)3
(C)4 (D)5
(7)如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
(A)2π (B)
(C) (D)π
(8)若数列的通项公式是,n=1,2,…,则
等于
(A) (B)
(C) (D)
(9)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植。不同的种植方法共有
(A)24种 (B)18种
(C)12种 (D)6种
(10)某班试用电子投票系统选举班干部候选人,全班k名同学都有选举权和被选举权,他们的编号分别为1,2,…,k。规定:同意按“1”,不同意(含弃权)按“0”。令
其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,则同时同意第1,2号同学当选的人数为
(A)
(B)
(C)
(D)
2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数 学(文史类)
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷共9页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。把答案填在题中横线上。
(11)已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为________。
(12)函数,g(x)=2-|x|,h(x)=tg2x中,________是偶函数。
(13)以双曲线的右顶点为顶点,左焦点为焦点的抛物线的方程是________。
(14)将长度为1的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形。要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周长应为________。
三、解答题:本大题共6小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)(本小题满分13分)
已知函数。
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f(x)的最大值、最小值。
(16)(本小题满分13分)
已知数列是等差数列,且,。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)令,求数列前n项和的公式。
(17)(本小题满分15分)
如图,正三棱柱中,D是BC的中点,AB=a。
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求点D到平面的距离;
(Ⅲ)判断与平面的位置关系,并证明你的结论。
(18)(本小题满分15分)
如图,,A为椭圆的两个顶点,,为椭圆的两个焦点。
(Ⅰ)写出椭圆的方程及其准线方程;
(Ⅱ)过线段OA上异于O,A的任一点K作OA的垂线,交椭圆于P,两点,直线与
交于点M。
求证:点M在双曲线上 。
(19)(本小题满分14分)
有三个新兴城镇,分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=13km,BC=10km。今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的街垂直平分线上的P点处。(建立坐标系如图)
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小,点P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,点P应位于何处?
(20)(本小题满分14分)
设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且满足条件:
(i)f(-1)=f(1)=0;
(ii)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|。
(Ⅰ)证明:对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判断函数是否满足题设条件;
(Ⅲ)在区间[-1,1]上是否存在满足题设条件的函数y=f(x),且使得对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|。
若存在,请举一例;若不存在,请说明理由。
【参考答案】
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。
(1)A (2)D (3)A (4)A (5)D
(6)B (7)C (8)B (9)B (10)C
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分16分。
(11)3 (12)f(x),g(x)
(13) (14)
三、解答题:本大题共6小题,共84分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(15)本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式,以及三角函数的性质等基本知识,考查运算能力。满分13分。
(Ⅰ)解:因为
=cos2x-sin2x
,
所以f(x)的最小正周期。
(Ⅱ)解:因为,所以f(x)的最大值为,最小值为。
(16)本小题主要考查等差、等比数列等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力。满分13分。
(Ⅰ)解:设数列的公差为d,
则,
又,得d=2。
所以。
(Ⅱ)解:由,得
,①
②
将①式减去②式,得
,
所以。
(17)本小题主要考查直线与平面的位置关系,正棱柱的性质等基本知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力。满分15分。
(Ⅰ)证法一:
∵点D是正△ABC中BC边的中点,∴AD⊥BC。
又底面ABC,∴ 。
∵,∴。
证法二:
连结,则。
∵点D是等腰的底边BC的中点,
∴。
∵,∴。
(Ⅱ)解法一:
作DE⊥AC于E,
∵平面⊥平面ABC。
∴DE⊥平面于E,
即DE的长为点D到平面的距离。
在Rt△ADC中,AC=2CD=a,,
∴所求距离。
解法二:
设点D到平面的距离为x。
∵体积,
∴,
∴,即点D到平面的距离为。
(Ⅲ)答:直线//平面,证明如下:
证法一:
如图1,连结交于F,则F为的中点。
∵D是BC的中点,∴。
又平面,平面,
∴//平面。
证法二:
如图2,取的中点,则,,
∴AD//平面,且//平面,
∴平面平面。
∵平面。
∴//平面。
(18)本小题主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识,考查分析问题和解决问题的能力。满分15分。
(Ⅰ)解:由图可知,a=5,c=4,所以。
该椭圆的方程为,准线方程为。
(Ⅱ)证明:设K点坐标为。点P,的坐标分别记为,,其中,则
。……①
直线,的方程分别为:
,……②
。……③
②式除以③式得。
化简上式得,代入②式得。
于是,直线与的交点M的坐标为。
因为,
所以,直线与的交点M在双曲线上。
(19)本小题主要考查函数,不等式等基本知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分。
(Ⅰ)解:设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为
,
所以,当y=4时,函数f(y)取得最小值。
答:点P的坐标是(0,4)。
(Ⅱ)解法一:
P至三镇的最远距离为
由解得,记,于是
因为在上是增函数,而|12-y|在上是减函数,
所以,当时,函数g(y)取得最小值。
答:点P的坐标为;
解法二:
P至三镇的最远距离为
由解得,记,于是
函数z=g(y)的图象如图(a),因此,当时,函数g(y)取得最小值。
答:点P的坐标为;
解法三:
因为△ABC中,AB=AC=13,且,
,如图(b)。所以△ABC的外心M在线段AO上,其坐标为,且AM=BM=CM。
当P在射线MA上,记P为;
当P在射线MA的反向延长线上,记 P为。
这时P到A,B,C三点的最远距离为或,且,,所以,点P与外心M重合时,P到三镇的最远距离最小。
答:点P的坐标为。
(20)本小题考查函数和不等式等基本知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分14分。
(Ⅰ)证明:由题设条件可得,当x∈[-1,1]时,有
|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,
即x-1≤f(x)≤1-x。
(Ⅱ)答:函数g(x)满足题设条件。验证如下:
g(-1)=0=g(1)。
对任意的u,v∈[-1,1],
当u,v∈[0,1]时,有|g(u)-g(v)|=|(1-u)-(1-v)|=|u-v|;
当u,v∈[-1,0]时,同理有|g(u)-g(v)|=|u-v|;
当u·v<0时,不妨设u∈[-1,0),v∈(0,1],有
|g(u)-g(v)|=|(1+u)-(1-v)|=|u+v|≤|v-u|。
所以,函数g(x)满足题设条件。
(Ⅲ)答:这样的函数不存在。理由如下:
假设存在f(x)满足条件,则由f(-1)=f(1)=0,得
|f(1)-f(-1)|=0 ①
由于对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=|u-v|,
所以,|f(1)-f(-1)|=|1-(-1)|=2 ②
①与②矛盾,因此假设不成立,即这样的函数不存在。