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- 2021-05-13 发布
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已知函数,为的导数.证明:
(1)在区间存在唯一极大值点;
(2)有且仅有2个零点.
分析:(1)设,则,在存在唯一极大值点的问题就转化为在有唯一零点,而唯一零点问题经常用零点存在性,即确定单调性及两端点处函数值异号。
(2) 这是一个零点问题,经常转化为两函数交点问题,即
。
首先来画一下函数图象。
从图象上可以大致确定零点一个为一个在区间上,我们只需证明其他区间无零点就可以了,很显然应该分四段讨论。
解:(1)设,则,
.
当时,单调递减,而,可得在有唯一零点,设为.
则当时,;当时,.
所以在单调递增,在单调递减,故在存在唯一极大值点,即在存在唯一极大值点.
(2) 的定义域为.
(i)当时,由(1)知,在单调递增,而,所以当时,,故在单调递减,又,从而是在的唯一零点.
(ii)当时,由(1)知,在单调递增,在单调递减,而,,所以存在,使得
,且当时,;当时,.故在单调递增,在单调递减.
又,,所以当时,.从而,在没有零点.
(iii)当时,,所以在单调递减.而,,所以在有唯一零点.
(iv)当时,,所以<0,从而在没有零点.
综上,有且仅有2个零点.