高考数学全国一卷导数 3页

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  • 2021-05-13 发布

高考数学全国一卷导数

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已知函数,为的导数.证明:‎ ‎(1)在区间存在唯一极大值点;‎ ‎(2)有且仅有2个零点.‎ 分析:(1)设,则,在存在唯一极大值点的问题就转化为在有唯一零点,而唯一零点问题经常用零点存在性,即确定单调性及两端点处函数值异号。‎ (2) 这是一个零点问题,经常转化为两函数交点问题,即 ‎。‎ 首先来画一下函数图象。‎ 从图象上可以大致确定零点一个为一个在区间上,我们只需证明其他区间无零点就可以了,很显然应该分四段讨论。‎ 解:(1)设,则,‎ ‎.‎ 当时,单调递减,而,可得在有唯一零点,设为.‎ 则当时,;当时,.‎ 所以在单调递增,在单调递减,故在存在唯一极大值点,即在存在唯一极大值点.‎ (2) 的定义域为.‎ ‎(i)当时,由(1)知,在单调递增,而,所以当时,,故在单调递减,又,从而是在的唯一零点.‎ ‎(ii)当时,由(1)知,在单调递增,在单调递减,而,,所以存在,使得 ‎,且当时,;当时,.故在单调递增,在单调递减.‎ 又,,所以当时,.从而,在没有零点.‎ ‎(iii)当时,,所以在单调递减.而,,所以在有唯一零点.‎ ‎(iv)当时,,所以<0,从而在没有零点.‎ 综上,有且仅有2个零点.‎