高考题汇编全国高考数学真题第题导数 15页

‎2010-2017年全国高考数学真题--第21题导数 ‎2010年：设函数。‎ ‎（1）若，求的单调区间； （2）若当时，求的取值范围 ‎2011年：已知函数，曲线在点处的切线方程为 ‎．‎ ‎（I）求的值； （II）如果当，且时，，求的取值范围．‎ ‎2012年： 已知函数满足．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式及单调区间； ‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值．‎ ‎2013： 一卷：已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 ‎（Ⅰ）求，，，的值； （Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围．‎ ‎2014一卷：设函数，曲线在点（1，处的切线为 ‎．‎ ‎ (Ⅰ)求； （Ⅱ）证明：．‎ ‎2015一卷：已知函数，． ‎ ‎（Ⅰ）当为何值时，轴为曲线 的切线；‎ ‎（Ⅱ）用 表示，中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数．‎ ‎2016一卷：已知函数有两个零点．‎ ‎（I）求a的取值范围； （II）设，是的两个零点，证明：．‎ ‎2017一卷：已知函数．‎ ‎(1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围．‎ ‎2013.二卷：已知函数 ‎(Ι)设是的极值点，求,并讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明 ‎2014二卷：已知函数=‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）‎ ‎2015二卷：设函数．‎ ‎(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎(Ⅱ)若对于任意，，都有，求的取值范围．‎ ‎2016二卷：(I)讨论函数的单调性，并证明当时，；‎ ‎(II)证明：当 时，函数 有最小值．设的最小值为，求函数的值域．‎ ‎2016三卷：设函数，其中，记的最大值为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）证明．‎ ‎2017二卷：已知函数，且．‎ ‎(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且．‎ ‎2017三卷：已知函数．‎ ‎(1)若，求的值；‎ ‎(2)设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．‎ 精编答案 ‎2010年：解：（1）时，，.‎ 当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加 ‎（II） 由（I）知，当且仅当时等号成立.故 ‎，从而当，即时，，而，于是当时，. 由可得.从而当时，，‎ 故当时，，而，于是当时，.‎ 综合得的取值范围为.‎ ‎2011年：解析：（Ⅰ）‎ 由于直线的斜率为，且过点，故即 ‎ 解得，。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ‎。‎ 考虑函数，则。‎ ‎(i)设，由知，当时，，h(x)递减。而故当时， ，可得；‎ 当时，，可得 从而当,且时，（+），即+.‎ ‎（ii）设.由于=的图像开口向下，且，对称轴，当时，,故,而，故当时，，可得,与题设矛盾。‎ ‎（iii）设k1.此时，,而，故当时，，可得,与题设矛盾。‎ 综合得，的取值范围为 点评;求参数的范围一般用离参法，然后用导数求出最值进行求解。若求导后不易得到极值点，可二次求导，还不行时，就要使用参数讨论法了。即以参数为分类标准，看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。‎ ‎2012一卷：（1）‎ 令得： 得：在上单调递增 得：‎ 的解析式为且单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（2）得 ①当时，在上单调递增 时，与矛盾 ②当时，‎ 得：当时，‎ 令；则 当时， 当时，的最大值为 ‎2013年：解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.‎ 而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，‎ 故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.‎ 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．‎ 设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，‎ 则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．‎ 由题设可得F(0)≥0，即k≥1.‎ 令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.‎ ‎①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．‎ 而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.‎ 故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．‎ ‎②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．‎ 从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．‎ 而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．‎ ‎③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.‎ 从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．‎ 综上，k的取值范围是[1，e2]．‎ ‎2014年：(Ⅰ) 函数的定义域为，‎ 由题意可得，故 ……………6分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，，从而等价于 设函数，则，‎ 所以当时，，当时，，‎ 故在单调递减，在单调递增，‎ 从而在的最小值为. ……………8分 设函数，则，‎ 所以当时，，当时，，‎ 故在单调递增，在单调递减，从而在的最小值为. ‎ 综上：当时，，即. ……12分 ‎2015年：(Ⅰ)根据已知，，若轴为曲线的切线，设切点横坐标为，则可得即，解得 所以当时，轴为曲线的切线.‎ ‎（Ⅱ）当时，，于是单调递增，而，于是与有唯一交点，且交点的横坐标，此时函数的零点个数为1.‎ 当时，在上递减，在上递增，在处有极小值为 此时与在内忧唯一交点，函数的零点个数为1.‎ 当时，此时极小值为0，函数的零点个数为2‎ 当时，此时的极小值小于0，因此函数的零点个数为3‎ 当时，此时与相交于，函数的零点个数为2‎ 当时，此时与的交点的横坐标大于1，此时函数的零点个数为1‎ 综上可得，数的零点个数为：‎ ‎2016年：（Ⅰ）．‎ ‎（i）设，则，只有一个零点．‎ ‎（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，取满足 且，则，故存在两个零点．‎ ‎（iii）设，由得或．‎ 若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．‎ 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在上单调递减，所以等价于，即．‎ 由于，而，所以 ‎．‎ 设，则．‎ 所以当时，，而，故当时，．‎ 从而，故．‎ ‎2017年：（1）定义域为，，‎ ‎（ⅰ）若，则，所以在单调递减.‎ ‎（ⅱ）若，则由得.‎ 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.‎ ‎（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.‎ ‎（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎①当时，由于，故只有一个零点；‎ ‎②当时，由于，即，故没有零点；‎ ‎③当时，，即.‎ 又，故在有一个零点.‎ 设正整数满足，则.‎ 由于，因此在有一个零点.‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎2014二卷：解：（Ⅰ），等号仅当时成立 所以在单调递增 ‎（Ⅱ），‎ ‎（ⅰ）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增，而，所以对任意；‎ ‎（ⅱ）当时，若满足，即时 ‎，而，因此当时，。‎ 综上，的最大值为2.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，‎ 当时，，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ 所以的近似值为 ‎2015年二卷：试题分析：(Ⅰ)先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（Ⅱ）恒成立，等价于．由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．‎ ‎2016年二卷:(1)的定义域为，，且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，，‎ 所以，即；‎ ‎（II）‎ 由（I）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 令，由，所以为增函数，所以由得，所以对任意，存在唯一的，，使得，所以的值域是，‎ 综上所述，当时，的值域是 考点： 函数的单调性、极值与最值.‎ ‎2016年三卷：（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 因此，． ………4分 当时，将变形为．‎ 令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为 ‎．‎ 令，解得（舍去），．‎ ‎（ⅰ）当时，在内无极值点，，，，所以．‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）得.‎ 当时，.‎ 当时，，所以.‎ 当时，，所以.‎ ‎2017年二卷：（1）的定义域为，则等价于.‎ 设，则.由题可知，则由解得，所以为上的增函数，为上的减函数.则有，解得.‎ ‎（2）由（1）可知，则. ‎ 设，则.由解得，所以为 上的增函数，为上的减函数.又因为，则在上存在唯一零点使得，即,且为，上的增函数，为上的减函数，则极大值为.而，所以.综上，. ‎ ‎2017年三卷：⑴ ，‎ 则，且 当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意；‎ 当时，当时，，则在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增．‎ ‎①若，在上单调递增∴当时矛盾 ‎②若，在上单调递减∴当时矛盾 ‎③若，在上单调递减，在上单调递增∴满足题意 综上所述．‎ ‎⑵ 当时即 则有当且仅当时等号成立∴，‎ 一方面：，‎ 即．‎ 另一方面：‎ 当时，‎ ‎∵，，∴的最小值为．‎