高考数学总复习87圆锥曲线的综合问题理但因为测试新人教B版 11页

‎2013年高考数学总复习 8-7 圆锥曲线的综合问题(理)但因为测试 新人教B版 ‎1.(2011·宁波十校联考)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则|AB|等于(　　) ‎ A．3　　　　　　　　　　 B．4‎ C．3 D．4 ‎[答案]　C ‎[解析]　设A(x1,3－x)，B(x2,3－x)，由于A、B关于直线x＋y＝0对称，∴，解得或，设直线AB的斜率为kAB，‎ ‎∴|AB|＝|x1－x2|＝3.故选C.‎ ‎2．(2011·南昌检测(二))过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　记|F‎1F2|＝‎2c，则|PF1|＝，|PF2|＝，所以椭圆的离心率为＝＝，选B.‎ ‎3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－ C．1 D．0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在x≥1上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即·取最小值，最小值为－2.‎ ‎4．(2011·大纲全国理，10)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　D ‎[解析]　方法一：联立，‎ 解得或，不妨设A在x轴上方，‎ ‎∴A(4,4)，B(1，－2)，‎ ‎∵F点坐标为(1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，‎ cos∠AFB＝＝＝－.‎ 方法二：同上求得A(4,4)，B(1，－2)，|AB|＝3，|AF|＝5，|BF|＝2，‎ 由余弦定理知， ‎ cos∠AFB＝＝－.‎ ‎5．(2011·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值为(　　)‎ A．5　　　　 B．4　　　　‎ C．3　　　　 D．2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意设直线l的方程为y＝(x－)，即x＝＋，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得y2－2py－p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝p，yB＝－p，所以＝||＝3.‎ ‎6．(2011·海南一模)若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎[答案]　B ‎[解析]　解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，‎ kAM·kBM＝·＝ ‎＝ ‎＝－.‎ 解法二(特殊值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.‎ ‎7．(2010·吉林省调研)已知过双曲线－＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．‎ ‎[答案]　(1，)‎ ‎[解析]　由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即<1，∴<1，∴<2，‎ 即e2<2，∵e>1，∴10，只能x＝，于是y＝ 所以点P的坐标是(，)．‎ ‎(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0‎ 设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是 ，于是＝|m－6|，‎ 又－6≤m≤6，解得：m＝2‎ ‎∵椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，‎ ‎∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2‎ ‎＝(x－)2＋15，‎ 由于－6≤x≤6，所以当x＝时d取最小值.‎ ‎11.(2011·新课标全国文，9)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(　　)‎ A．18　　 　 B．24　　 　‎ C．36　　 　 D．48‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　设抛物线为y2＝2px，则焦点F，准线x＝－，由|AB|＝2p＝12，知p＝6，所以F到准线距离为6，所以三角形面积为S＝×12×6＝36.‎ ‎12．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若·＝0，则椭圆的离心率e等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　如上图，F2(c,0)把x＝c代入椭圆＋＝1得A(c，)．‎ 由·＝0结合图形分析得 ‎|OF2|＝|AF2|，‎ 即c＝⇒b2＝ac⇒a2－c2＝ac ‎⇒()2＋－1＝0⇒e2＋e－1＝0⇒e＝.‎ ‎13．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(4，＋∞) B．(－∞，4]‎ C．(10，＋∞) D．(－∞，10]‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　过点A(0，－2)作曲线C：y＝2x2的切线，设方程为y＝kx－2，代入y＝2x2得，‎ ‎2x2－kx＋2＝0，令Δ＝k2－16＝0得k＝±4，‎ 当k＝4时，切线为l，‎ ‎∵B点在直线x＝3上运动，直线y＝4x－2与x＝3的交点为M(3,10)，当点B(3，a)满足a≤10时，视线不被曲线C挡住，故选D.‎ ‎14．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A(0，－b)，B(a,0)．‎ ‎(1)求双曲线的标准方程； ‎ ‎(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足·＝0，且||＝10，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)依题意有 解得a＝1，b＝，c＝2.‎ 所以，所求双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)当直线l⊥x轴时，||＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．‎ 由得，‎ ‎(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0. ①‎ 因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有 所以k2>3. ②‎ 因为·＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，||＝10，所以|PM|＝|MN|＝|MQ|＝|PQ|＝5.‎ 又|MN|＝x0＋2＝5，∴x0＝3，‎ 而x0＝＝＝3，‎ ‎∴k2＝9，解得k＝±3.‎ ‎∵k＝±3满足②式，∴k＝±3符合题意．‎ 所以直线l的方程为y＝±3(x－2)．‎ 即3x－y－6＝0或3x＋y－6＝0.‎ ‎15．(2010·北京崇文区)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；‎ ‎(3)在线段OF上是否存在点M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解析]　(1)由已知，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴b＝c＝1，a＝.‎ 所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 由得，3y2＋2y－1＝0，‎ 解得y1＝－1，y2＝.‎ ‎∴S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝|y1－y2|＝.‎ ‎(3)假设在线段OF上存在点M(m,0)(01)的上顶点为A，左、右焦点为F1、F2，直线AF2与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若椭圆内存在动点P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比数列(O为坐标原点)，求·的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0化为(x－3)2＋(y－1)2＝3，‎ 则圆M的圆心为M(3,1)，半径r＝.‎ 由A(0,1)，F2(c,0)，(c＝)，得直线AF2：‎ ＋y＝1，‎ 即x＋cy－c＝0，‎ 由直线AF2与圆M相切，得＝，‎ 解得c＝或c＝－(舍去)．‎ 则a2＝c2＋1＝3，故椭圆C的方程为：＋y2＝1.‎ ‎(2)由(1)知F1(－，0)、F2(，0)，设P(x，y)，‎ 由题意知|PO|2＝|PF1|·|PF2|，‎ 即()2＝·，‎ 化简得：x2－y2＝1，则x2＝y2＋1≥1.‎ 因为点P在椭圆内，故＋y2<1，即＋x2－1<1，‎ ‎∴x2<，∴1≤x2<，‎ 又·＝x2－2＋y2＝2x2－3，‎ ‎∴－1≤·<. ‎ ‎2．(2010·广州市质检)已知动点P到定点F(，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比为.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)设M、N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若·＝0，求|MN|的最小值．‎ ‎[解析]　(1)设点P(x，y)，‎ 依题意有，＝，整理得＋＝1， ‎ 所以动点P的轨迹C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵点E与点F关于原点O对称，‎ ‎∴点E的坐标为(－，0)．‎ ‎∵M、N是直线l上的两个点，‎ ‎∴可设M(2，y1)，N(2，y2)(不妨设y1>y2)．‎ ‎∵·＝0，∴(3，y1)·(，y2)＝0，‎ ‎∴6＋y1y2＝0，即y2＝－.‎ 由于y1>y2，∴y1>0，y2<0.‎ ‎∴|MN|＝y1－y2＝y1＋≥2＝2.‎ 当且仅当y1＝，y2＝－时，等号成立．‎ 故|MN|的最小值为2.‎ ‎3．(2011·浙江文，22)如下图，设P是抛物线C1：x2＝y上的动点，过点P做圆C2：x2＋(y＋3)2＝1的两条切线，交直线l：y＝－3于A，B，两点. ‎ ‎(1)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离．‎ ‎(2)是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ ‎[解析]　(1)因为抛物线C1的准线方程为：y＝－，‎ 所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：‎ ‎|－－(－3)|＝.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x0，x)，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D，再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD；‎ 过点P(x0，x)的抛物线C1的切线方程为：‎ y－x＝2x0(x－x0)　　　　　①‎ 当x0＝1时，过点P(1,1)与圆C2的切线PA为：‎ y－1＝(x－1)，‎ 可得xA＝－，xB＝1，xD＝－1，xA＋xB≠2xD.‎ 当x0＝－1时，过点P(－1,1)与圆C2的切线PB为：‎ y－1＝－(x＋1)，‎ 可得xA＝－1，xB＝，xD＝1，xA＋xB≠2xD.‎ 所以x－1≠0.‎ 设切线PA，PB的斜率为k1，k2，则 PA：y－x＝k1(x－x0)，　　　　②‎ PB：y－x＝k2(x－x0)，　　　　③‎ 将y＝－3分别代入①，②，③得 xD＝(x0≠0)；‎ xA＝x0－，xB＝x0－(k1，k2≠0)‎ 从而xA＋xB＝2x0－(x＋3)(＋)‎ 又＝1‎ 即(x－1)k－2(x＋3)x0k1＋(x＋3)2－1＝0.‎ 同理，(x－1)k－2(x＋3)x0k2＋(x＋3)2－1＝0‎ 所以k1，k2是方程(x－1)k2－2(x＋3)x0k＋(x＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k1＋k2＝，‎ k1·k2＝，‎ 因为xA＋xB＝2xD.‎ 所以2x0－(x＋3)(＋)＝，即＋＝.‎ 从而＝，进而得，x＝8，x0＝±.‎ 综上所述，存在点P满足题意，点P坐标为(±，2)．‎