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  • 2021-05-13 发布

高考数学考点归纳之导数的概念及运算

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高考数学考点归纳之导数的概念及运算、定积分 1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 li mΔx→0 Δy Δx = li mΔx→0 fx0+Δx-fx0 Δx ❶为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′x=x0,即 f′(x0) =li mΔx→0 Δy Δx =li mΔx→0 fx0+Δx-fx0 Δx . 函数 y=f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方 向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. (2)导数的几何意义:函数 f(x)在 x=x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程 为 y-y0=f′(x0)(x-x0). ❷曲线 y=fx在点 Px0,y0处的切线是指 P 为切点,斜率为 k=f′x0的切线,是唯一 的一条切线. (3)函数 f(x)的导函数:称函数 f′(x)=li mΔx→0 fx+Δx-fx Δx 为 f(x)的导函数. (4)f′(x)是一个函数,f′(x0)是函数 f′(x)在 x0 处的函数值(常数),[f′(x0)]′=0. 2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=xn(n∈Q*) f′(x)=n·xn-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax(a>0,且 a≠1) f′(x)= 1 xln a f(x)=ln x f′(x)=1 x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3) fx gx ′=f′xgx-fxg′x [gx]2 (g(x)≠0). 4.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 5.定积分的概念 在 ∫baf(x)dx 中,a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫 做被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. 6.定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx=k∫baf(x)dx(k 为常数); (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx=∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx; (3)∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx(其中 a<c<b). 求分段函数的定积分,可以先确定不同区间上的函数解析式,然后根据定积分的性质3 进行计算. 7.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x),那么 ∫baf(x)dx=F(b) -F(a),常把 F(b)-F(a)记作 F(x)|ba,即 ∫baf(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a). 8.定积分的几何意义 定积分 ∫baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y=f(x)及直线 x=a,x=b 之间的曲边梯 形的面积的代数和,其值可正可负,具体来说,如图,设阴影部分的面积为 S. ①S=∫baf(x)dx;②S=-∫baf(x)dx;③S=∫caf(x)dx-∫bcf(x)dx; ④S=∫baf(x)dx-∫bag(x)dx=∫ba[f(x)-g(x)]dx. 1定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可正 可负. 2当曲边梯形位于 x 轴上方时,定积分的值为正;当曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分 的值为负;当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时,定积分的值 为零. 二、常用结论 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论:(1) 1 x ′=-1 x2 ;(2)(ln|x|)′=1 x ; (3) 1 fx ′=-f′x [fx]2(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 3.常见被积函数的原函数 (1)∫bacdx=cx|ba;(2)∫baxndx= xn+1 n+1 |ba(n≠-1); (3)∫basin xdx=-cos x|ba;(4)∫bacos xdx=sin x|ba; (5)∫ba 1 xdx=ln|x||ba;(6)∫baexdx=ex|ba. 考点一 导数的运算 1.f(x)=x(2 018+ln x),若 f′(x0)=2 019,则 x0 等于( ) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解析:选 B f′(x)=2 018+ln x+x×1 x =2 019+ln x,故由 f′(x0)=2 019,得 2 019+ ln x0=2 019,则 ln x0=0,解得 x0=1. 2.(2019·宜昌联考)已知 f′(x)是函数 f(x)的导数,f(x)=f′(1)·2x+x2,则 f′(2)=( ) A.12-8ln 2 1-2ln 2 B. 2 1-2ln 2 C. 4 1-2ln 2 D.-2 解析:选 C 因为 f′(x)=f′(1)·2xln 2+2x,所以 f′(1)=f′(1)·2ln 2+2,解得 f′(1) = 2 1-2ln 2 ,所以 f′(x)= 2 1-2ln 2·2xln 2+2x,所以 f′(2)= 2 1-2ln 2 ×22ln 2+2×2= 4 1-2ln 2. 3.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=________. 解析:f′(x)=4ax3+2bx, ∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2, ∴f′(-1)=-2. 答案:-2 4.求下列函数的导数. (1)y=x2sin x; (2)y=ln x+1 x ; (3)y=cos x ex ; (4)y=xsin 2x+π 2 cos 2x+π 2 . 解:(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′ =2xsin x+x2cos x. (2)y′= ln x+1 x ′=(ln x)′+ 1 x ′=1 x -1 x2. (3)y′ = cos x ex ′ = cos x′ex-cos xex′ ex2 = - sin x+cos x ex .(4) ∵ y = xsin 2x+π 2 cos 2x+π 2 =1 2xsin(4x+π) =-1 2xsin 4x, ∴y′=-1 2sin 4x-1 2x·4cos 4x =-1 2sin 4x-2xcos 4x. 考点二 导数的几何意义及其应用 考法(一) 求切线方程 [例 1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=x3+(a-1)·x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x) 在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x [解析] 法一:∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax, ∴f′(x)=3x2+2(a-1)x+a. 又 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax 恒成立, ∴a=1,∴f′(x)=3x2+1,∴f′(0)=1, ∴曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=x. 法二:∵f(x)=x3+(a-1)x2+ax 为奇函数, ∴f′(x)=3x2+2(a-1)x+a 为偶函数, ∴a=1,即 f′(x)=3x2+1,∴f′(0)=1, ∴曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=x. [答案] D 考法(二) 求切点坐标 [例 2] 已知函数 f(x)=xln x 在点 P(x0,f(x0))处的切线与直线 x+y=0 垂直,则切点 P(x0, f(x0))的坐标为________. [解析] ∵f(x)=xln x,∴f′(x)=ln x+1,由题意得 f′(x0)·(-1)=-1,即 f′(x0)=1, ∴ln x0+1=1,ln x0=0,∴x0=1,∴f(x0)=0,即 P(1,0). [答案] (1,0) 考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围) [例 3] (1)(2018·商丘二模)设曲线 f(x)=-ex-x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切 线为 l1,总存在曲线 g(x)=3ax+2cos x 上某点处的切线 l2,使得 l1⊥l2,则实数 a 的取值范 围是( ) A.[-1,2] B.(3,+∞) C. -2 3 ,1 3 D. -1 3 ,2 3 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线 y=(ax+1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则 a=________. [解析] (1)由 f(x)=-ex-x,得 f′(x)=-ex-1, ∵ex+1>1,∴ 1 ex+1 ∈(0,1).由 g(x)=3ax+2cos x,得 g′(x)=3a-2sin x,又-2sin x ∈[-2,2],∴3a-2sin x∈[-2+3a,2+3a].要使过曲线 f(x)=-ex-x 上任意一点的切线 l1, 总存在过曲线 g(x)=3ax+2cos x 上某点处的切线 l2,使得 l1⊥l2,则 -2+3a≤0, 2+3a≥1, 解得-1 3 ≤a≤2 3. (2)∵y′=(ax+a+1)ex, ∴当 x=0 时,y′=a+1, ∴a+1=-2,解得 a=-3. [答案] (1)D (2)-3 考法(四) 两曲线的公切线问题 [例 4] 已知曲线 f(x)=x3+ax+1 4 在 x=0 处的切线与曲线 g(x)=-ln x 相切,则 a 的值 为________. [解析] 由 f(x)=x3+ax+1 4 ,得 f′(x)=3x2+a. ∵f′(0)=a,f(0)=1 4 , ∴曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y-1 4 =ax. 设直线 y-1 4 =ax 与曲线 g(x)=-ln x 相切于点(x0,-ln x0),g′(x)=-1 x , ∴ -ln x0-1 4 =ax0, ① a=-1 x0 , ② 将②代入①得 ln x0=3 4 , ∴x0=e3 4 ,∴a=- 1 e3 4 =-e-3 4. [答案] -e-3 4 [题组训练] 1.曲线 y=x-1 x+1 在点(0,-1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.1 8 B.1 4 C.1 2 D.1 解析:选 B 因为 y′= 2 x+12 ,所以 y′x=0=2,所以曲线在点(0,-1)处的切线方程 为 y+1=2x,即 y=2x-1,与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1), 1 2 ,0 ,所以与两坐标 轴围成的三角形的面积 S=1 2 ×|-1|×1 2 =1 4. 2.已知直线 2x-y+1=0 与曲线 y=aex+x 相切(其中 e 为自然对数的底数),则实数 a 的值为________. 解析:由题意知 y′=aex+1=2,则 a>0,x=-ln a,代入曲线方程得 y=1-ln a,所 以切线方程为 y-(1-ln a)=2(x+ln a),即 y=2x+ln a+1=2x+1⇒a=1. 答案:1 3.若一直线与曲线 y=ln x和曲线 x2=ay(a>0)相切于同一点 P,则 a 的值为________. 解析:设切点 P(x0,y0),则由 y=ln x,得 y′=1 x , 由 x2=ay,得 y′=2 ax,则有 1 x0 =2 ax0, y0=ln x0, x20=ay0, 解得 a=2e. 答案:2e 考点三 定积分的运算及应用 [题组训练] 1. 错误!(sin x-cos x)dx=________. 解析:错误! (sin x-cos x)dx =错误!sin xdx-错误!cos xdx=-cos x|π 0 -sin x|π 0 =2. 答案:2 2. 错误!1 xdx+错误! 4-x2dx=________. 解析:错误!1 xdx=ln x|e 1 =1-0=1,因为 错误! 4-x2dx 表示的是圆 x2+y2=4 在 x 轴及 其上方的面积,故 错误! 4-x2dx=1 2π×22=2π,故答案为 2π+1. 答案:2π+1 3.由曲线 y= x,y=2-x,y=-1 3x 所围成图形的面积为____________. 解析:法一:画出草图,如图所示. 解方程组 y= x, x+y=2, y= x, y=-1 3x 及 x+y=2, y=-1 3x, 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,- 1), 所以所求图形的面积 S=错误! x- -1 3x dx+错误! 2-x- -1 3x dx =错误! x+1 3x dx+错误! 2-2 3x dx = 2 3x 3 2 +1 6x2 | 1 0 + 2x-1 3x2 | 3 1 =5 6 +6-1 3 ×9-2+1 3 =13 6 . 法二:如图所求阴影的面积就是三角形 OAB 的面积减去由 y 轴,y= x,y=2-x 围成 的曲边三角形的面积,即 S=1 2 ×2×3-错误! (2-x- x)dx =3- 2x-1 2x2-2 3x 3 2 | 1 0 =3- 2-1 2 -2 3 =13 6 . 答案:13 6 4.一物体在力 F(x) = 5,0≤x≤2, 3x+4,x>2 (单位:N)的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x =0 处运动到 x=4(单位:m)处,则力 F(x)做的功为________J. 解析:由题意知,力 F(x)所做的功为 W=错误!F(x)dx=错误!5dx+错误!(3x+4)dx=5×2 + 3 2x2+4x |4 2 =10+ 3 2 ×42+4×4- 3 2 ×22+4×2 =36(J). 答案:36 1.正确选用求定积分的 4 个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2.定积分在物理中的 2 个应用 (1)求物体做变速直线运动的路程,如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时 刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=错误!v(t)dt. (2)变力做功,一物体在变力 F(x)的作用下,沿着与 F(x)相同的方向从 x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的功是 W=错误!F(x)dx. [课时跟踪检测] A 级 1.曲线 y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线方程为( ) A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0 C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0 解析:选 C 由于 y′=e-1 x ,所以 y′|x=1=e-1,故曲线 y=ex-ln x 在点(1,e)处的 切线方程为 y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0. 2.曲线 f(x)=x3-x+3 在点 P 处的切线平行于直线 y=2x-1,则 P 点的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3) 解析:选 C f′(x)=3x2-1,令 f′(x)=2,则 3x2-1=2,解得 x=1 或 x=-1,∴P(1,3) 或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线 y=2x-1 上,故选 C. 3.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足关系式 f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则 f′(2) 的值等于( ) A.-2 B.2 C.-9 4 D.9 4 解析:选 C 因为 f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,所以 f′(x)=2x+3f′(2)+1 x ,所以 f′(2) =2×2+3f′(2)+1 2 ,解得 f′(2)=-9 4. 4.(2019·四川名校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示,f′(x)是 f(x) 的导函数,则下列数值排序正确的是( ) A.00,∴a>2 e , ∴a+ e b+2 =a+1 a ≥2,当且仅当 a=1 时等号成立. 答案:[2,+∞) 10.(2018·烟台期中)设函数 F(x)=ln x+a x(0