高考数学考点归纳之导数的概念及运算 15页

高考数学考点归纳之导数的概念及运算、定积分 1．导数的概念 (1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 li mΔx→0 Δy Δx ＝ li mΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx ❶为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′x＝x0，即 f′(x0) ＝li mΔx→0 Δy Δx ＝li mΔx→0 fx0＋Δx－fx0 Δx . 函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方 向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． (2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程 为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ❷曲线 y＝fx在点 Px0，y0处的切线是指 P 为切点，斜率为 k＝f′x0的切线，是唯一 的一条切线. (3)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝li mΔx→0 fx＋Δx－fx Δx 为 f(x)的导函数． (4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数 f′(x)在 x0 处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝n·xn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝ 1 xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3) fx gx ′＝f′xgx－fxg′x [gx]2 (g(x)≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′， 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 5．定积分的概念 在 ∫baf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫 做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式． 6．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k 为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx； (3)∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中 a＜c＜b)． 求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质3 进行计算. 7．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么 ∫baf(x)dx＝F(b) －F(a)，常把 F(b)－F(a)记作 F(x)|ba，即 ∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)． 8．定积分的几何意义 定积分 ∫baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 y＝f(x)及直线 x＝a，x＝b 之间的曲边梯 形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为 S. ①S＝∫baf(x)dx；②S＝－∫baf(x)dx；③S＝∫caf(x)dx－∫bcf(x)dx； ④S＝∫baf(x)dx－∫bag(x)dx＝∫ba[f(x)－g(x)]dx. 1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正 可负. 2当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分 的值为负；当位于 x 轴上方的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值 为零. 二、常用结论 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1) 1 x ′＝－1 x2 ；(2)(ln|x|)′＝1 x ； (3) 1 fx ′＝－f′x [fx]2(f(x)≠0)； (4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)． 3．常见被积函数的原函数 (1)∫bacdx＝cx|ba；(2)∫baxndx＝ xn＋1 n＋1 |ba(n≠－1)； (3)∫basin xdx＝－cos x|ba；(4)∫bacos xdx＝sin x|ba； (5)∫ba 1 xdx＝ln|x||ba；(6)∫baexdx＝ex|ba. 考点一 导数的运算 1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若 f′(x0)＝2 019，则 x0 等于( ) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 解析：选 B f′(x)＝2 018＋ln x＋x×1 x ＝2 019＋ln x，故由 f′(x0)＝2 019，得 2 019＋ ln x0＝2 019，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 2．(2019·宜昌联考)已知 f′(x)是函数 f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则 f′(2)＝( ) A.12－8ln 2 1－2ln 2 B. 2 1－2ln 2 C. 4 1－2ln 2 D．－2 解析：选 C 因为 f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以 f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得 f′(1) ＝ 2 1－2ln 2 ，所以 f′(x)＝ 2 1－2ln 2·2xln 2＋2x，所以 f′(2)＝ 2 1－2ln 2 ×22ln 2＋2×2＝ 4 1－2ln 2. 3．若函数 f(x)＝ax4＋bx2＋c 满足 f′(1)＝2，则 f′(－1)＝________. 解析：f′(x)＝4ax3＋2bx， ∵f′(x)为奇函数且 f′(1)＝2， ∴f′(－1)＝－2. 答案：－2 4．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1 x ； (3)y＝cos x ex ； (4)y＝xsin 2x＋π 2 cos 2x＋π 2 . 解：(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝ ln x＋1 x ′＝(ln x)′＋ 1 x ′＝1 x －1 x2. (3)y′ ＝ cos x ex ′ ＝ cos x′ex－cos xex′ ex2 ＝ － sin x＋cos x ex .(4) ∵ y ＝ xsin 2x＋π 2 cos 2x＋π 2 ＝1 2xsin(4x＋π) ＝－1 2xsin 4x， ∴y′＝－1 2sin 4x－1 2x·4cos 4x ＝－1 2sin 4x－2xcos 4x. 考点二 导数的几何意义及其应用 考法(一) 求切线方程 [例 1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若 f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x) 在点(0,0)处的切线方程为( ) A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x [解析] 法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立， ∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x. 法二：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数， ∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a 为偶函数， ∴a＝1，即 f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1， ∴曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x. [答案] D 考法(二) 求切点坐标 [例 2] 已知函数 f(x)＝xln x 在点 P(x0，f(x0))处的切线与直线 x＋y＝0 垂直，则切点 P(x0， f(x0))的坐标为________． [解析] ∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1，由题意得 f′(x0)·(－1)＝－1，即 f′(x0)＝1， ∴ln x0＋1＝1，ln x0＝0，∴x0＝1，∴f(x0)＝0，即 P(1,0)． [答案] (1,0) 考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围) [例 3] (1)(2018·商丘二模)设曲线 f(x)＝－ex－x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切 线为 l1，总存在曲线 g(x)＝3ax＋2cos x 上某点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则实数 a 的取值范 围是( ) A．[－1,2] B．(3，＋∞) C. －2 3 ，1 3 D. －1 3 ，2 3 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线 y＝(ax＋1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则 a＝________. [解析] (1)由 f(x)＝－ex－x，得 f′(x)＝－ex－1， ∵ex＋1>1，∴ 1 ex＋1 ∈(0,1)．由 g(x)＝3ax＋2cos x，得 g′(x)＝3a－2sin x，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a－2sin x∈[－2＋3a，2＋3a]．要使过曲线 f(x)＝－ex－x 上任意一点的切线 l1， 总存在过曲线 g(x)＝3ax＋2cos x 上某点处的切线 l2，使得 l1⊥l2，则 －2＋3a≤0， 2＋3a≥1， 解得－1 3 ≤a≤2 3. (2)∵y′＝(ax＋a＋1)ex， ∴当 x＝0 时，y′＝a＋1， ∴a＋1＝－2，解得 a＝－3. [答案] (1)D (2)－3 考法(四) 两曲线的公切线问题 [例 4] 已知曲线 f(x)＝x3＋ax＋1 4 在 x＝0 处的切线与曲线 g(x)＝－ln x 相切，则 a 的值 为________． [解析] 由 f(x)＝x3＋ax＋1 4 ，得 f′(x)＝3x2＋a. ∵f′(0)＝a，f(0)＝1 4 ， ∴曲线 y＝f(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－1 4 ＝ax. 设直线 y－1 4 ＝ax 与曲线 g(x)＝－ln x 相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－1 x ， ∴ －ln x0－1 4 ＝ax0， ① a＝－1 x0 ， ② 将②代入①得 ln x0＝3 4 ， ∴x0＝e3 4 ，∴a＝－ 1 e3 4 ＝－e－3 4. [答案] －e－3 4 [题组训练] 1．曲线 y＝x－1 x＋1 在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.1 8 B.1 4 C.1 2 D．1 解析：选 B 因为 y′＝ 2 x＋12 ，所以 y′x＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程 为 y＋1＝2x，即 y＝2x－1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)， 1 2 ，0 ，所以与两坐标 轴围成的三角形的面积 S＝1 2 ×|－1|×1 2 ＝1 4. 2．已知直线 2x－y＋1＝0 与曲线 y＝aex＋x 相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数 a 的值为________． 解析：由题意知 y′＝aex＋1＝2，则 a>0，x＝－ln a，代入曲线方程得 y＝1－ln a，所 以切线方程为 y－(1－ln a)＝2(x＋ln a)，即 y＝2x＋ln a＋1＝2x＋1⇒a＝1. 答案：1 3．若一直线与曲线 y＝ln x和曲线 x2＝ay(a>0)相切于同一点 P，则 a 的值为________． 解析：设切点 P(x0，y0)，则由 y＝ln x，得 y′＝1 x ， 由 x2＝ay，得 y′＝2 ax，则有 1 x0 ＝2 ax0， y0＝ln x0， x20＝ay0， 解得 a＝2e. 答案：2e 考点三 定积分的运算及应用 [题组训练] 1. 错误!(sin x－cos x)dx＝________. 解析：错误! (sin x－cos x)dx ＝错误!sin xdx－错误!cos xdx＝－cos x|π 0 －sin x|π 0 ＝2. 答案：2 2. 错误!1 xdx＋错误! 4－x2dx＝________. 解析：错误!1 xdx＝ln x|e 1 ＝1－0＝1，因为 错误! 4－x2dx 表示的是圆 x2＋y2＝4 在 x 轴及 其上方的面积，故 错误! 4－x2dx＝1 2π×22＝2π，故答案为 2π＋1. 答案：2π＋1 3．由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－1 3x 所围成图形的面积为____________． 解析：法一：画出草图，如图所示． 解方程组 y＝ x， x＋y＝2， y＝ x， y＝－1 3x 及 x＋y＝2， y＝－1 3x， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－ 1)， 所以所求图形的面积 S＝错误! x－ －1 3x dx＋错误! 2－x－ －1 3x dx ＝错误! x＋1 3x dx＋错误! 2－2 3x dx ＝ 2 3x 3 2 ＋1 6x2 | 1 0 ＋ 2x－1 3x2 | 3 1 ＝5 6 ＋6－1 3 ×9－2＋1 3 ＝13 6 . 法二：如图所求阴影的面积就是三角形 OAB 的面积减去由 y 轴，y＝ x，y＝2－x 围成 的曲边三角形的面积，即 S＝1 2 ×2×3－错误! (2－x－ x)dx ＝3－ 2x－1 2x2－2 3x 3 2 | 1 0 ＝3－ 2－1 2 －2 3 ＝13 6 . 答案：13 6 4．一物体在力 F(x) ＝ 5，0≤x≤2， 3x＋4，x>2 (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x ＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为________J. 解析：由题意知，力 F(x)所做的功为 W＝错误!F(x)dx＝错误!5dx＋错误!(3x＋4)dx＝5×2 ＋ 3 2x2＋4x |4 2 ＝10＋ 3 2 ×42＋4×4－ 3 2 ×22＋4×2 ＝36(J)． 答案：36 1．正确选用求定积分的 4 个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的 2 个应用 (1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为 v＝v(t)，那么从时 刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝错误!v(t)dt. (2)变力做功，一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝错误!F(x)dx. [课时跟踪检测] A 级 1．曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0 C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0 解析：选 C 由于 y′＝e－1 x ，所以 y′|x＝1＝e－1，故曲线 y＝ex－ln x 在点(1，e)处的 切线方程为 y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0. 2．曲线 f(x)＝x3－x＋3 在点 P 处的切线平行于直线 y＝2x－1，则 P 点的坐标为( ) A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3) 解析：选 C f′(x)＝3x2－1，令 f′(x)＝2，则 3x2－1＝2，解得 x＝1 或 x＝－1，∴P(1,3) 或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线 y＝2x－1 上，故选 C. 3．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2) 的值等于( ) A．－2 B．2 C．－9 4 D.9 4 解析：选 C 因为 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以 f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1 x ，所以 f′(2) ＝2×2＋3f′(2)＋1 2 ，解得 f′(2)＝－9 4. 4.(2019·四川名校联考)已知函数 f(x)的图象如图所示，f′(x)是 f(x) 的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A．00，∴a>2 e ， ∴a＋ e b＋2 ＝a＋1 a ≥2，当且仅当 a＝1 时等号成立． 答案：[2，＋∞) 10．(2018·烟台期中)设函数 F(x)＝ln x＋a x(0