高考数学考点归纳之 数列的综合应用 11页

高考数学考点归纳之 数列的综合应用 考点一 数列在实际问题与数学文化问题中的应用 [典例] (1)《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数 列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈．头节高五寸①，头圈一尺 三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远？”(注 释：①第一节的高度为 0.5 尺；②第一圈的周长为 1.3 尺；③每节比其下面的一节多 0.03 尺； ④每圈周长比其下面的一圈少 0.013 尺)问：此民谣提出的问题的答案是( ) A．72.705 尺 B．61.395 尺 C．61.905 尺 D．73.995 尺 (2)(2018·北京东城区模拟)为了观看 2022 年的冬奥会，小明打算从 2018 年起，每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元的一年期定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存 款本息均自动转为新一年的定期.2019 年 1 月 1 日小明去银行继续存款 a 元后，他的账户中 一共有________元；到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则 可取回________元． [解析] (1)因为每相邻两节竹节间的长度差为 0.03 尺，设从地面往上每节竹长分别为 a1，a2，a3，…，a30，所以数列{an}是以 a1＝0.5 为首项，以 d1＝0.03 为公差的等差数列．又 由题意知竹节圈长，每后一圈比前一圈细 0.013 尺，设从地面往上每节圈长分别为 b1，b2， b3，…，b30，则数列{bn}是以 b1＝1.3 为首项，以 d＝－0.013 为公差的等差数列．所以一蚂 蚁 往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程为 S30＝ 30×0.5＋30×29 2 ×0.03 ＋ 30×1.3＋30×29 2 ×－0.013 ＝61.395.故选 B. (2)依题意，2019 年 1 月 1 日存款 a 元后，账户中一共有 a(1＋p)＋a＝(ap＋2a)(元)． 2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为 a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p) ＝a·1＋p[1－1＋p4] 1－1＋p ＝a p[(1＋p)5－(1＋p)] ＝a p [(1＋p)5－1－p]． [答案] (1)B (2)ap＋2a a p[(1＋p)5－1－p] [解题技法] [题组训练] 1．(2019·贵阳适应性考试)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如 下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、 乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、 丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这 个问题中，丙所得为( ) A.7 6 钱 B.5 6 钱 C.2 3 钱 D．1 钱 解析：选 D 因甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为 a－ 2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则 a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，解得 a＝1，即丙所得 为 1 钱，故选 D. 2．(2018·安徽知名示范高中联考)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题： 今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半 牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗 主人要求赔偿 5 斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的 马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的 主人各应偿还粟 a 升，b 升，c 升，1 斗为 10 升，则下列判断正确的是( ) A．a，b，c 成公比为 2 的等比数列，且 a＝50 7 B．a，b，c 成公比为 2 的等比数列，且 c＝50 7 C．a，b，c 成公比为1 2 的等比数列，且 a＝50 7 D．a，b，c 成公比为1 2 的等比数列，且 c＝50 7 解析：选 D 由题意可得，a，b，c 成公比为1 2 的等比数列，b＝1 2a，c＝1 2b，故 4c＋2c ＋c＝50，解得 c＝50 7 .故选 D. 3．(2019·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为 200%， 以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养 5 年后，鱼的质量预计为原来的 t 倍．下列选项 中，与 t 值最接近的是( ) A．11 B．13 C．15 D．17 解析：选 B 设鱼原来的质量为 a，饲养 n 年后鱼的质量为 an，q＝200%＝2，则 a1＝ a(1＋q)，a2＝a1 1＋q 2 ＝a(1＋q) 1＋q 2 ，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)× 1＋1 2 × 1＋ 1 22 × 1＋ 1 23 ＝405 32 a≈12.7a，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，故选 B. 考点二 等差数列与等比数列的综合计算 [典例] (2018·北京高考)设{an}是等差数列，且 a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2. (1)求{an}的通项公式； (2)求 ea1＋ea2＋…＋ean. [解] (1)设{an}的公差为 d. 因为 a2＋a3＝5ln 2，所以 2a1＋3d＝5ln 2. 又 a1＝ln 2 ，所以 d＝ln 2.所以 an＝a1＋(n－1)d＝nln 2. (2)因为 ea1＝eln 2＝2， ean ean－1 ＝ean－an－1＝eln 2＝2， 所以数列{ean}是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 ea1＋ea2＋…＋ean＝2×1－2n 1－2 ＝2n＋1－2. [解题技法] 等差数列与等比数列综合计算的策略 (1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、 前 n 项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求 解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论． (2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇒ {aan}(a>0 且 a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a>0 且 a≠1)为等差数列． [题组训练] 1．已知等差数列{an}的公差为 5，前 n 项和为 Sn，且 a1，a2，a5 成等比数列，则 S6＝ ( ) A．95 B．90 C．85 D．80 解析：选 B 由 a1，a2，a5 成等比数列，得 a22＝a1·a5.又等差数列{an}的公差为 5，所以 (a1＋5)2＝a1(a1＋4×5)，解得 a1＝5 2.所以 S6＝6×5 2 ＋6×5 2 ×5＝90.故选 B. 2．已知数列{an}是公差为整数的等差数列，前 n 项和为 Sn，且 a1＋a5＋2＝0,2S1,3S2,8S3 成等比数列，则数列 1 anan＋1 的前 10 项和为________． 解析：设等差数列{an}的公差为 d， 因为 a1＋a5＋2＝0，所以 2a1＋4d＋2＝0，a1＝－1－2d. 因为 2S1,3S2,8S3 成等比数列，所以 16S1S3＝9S22， 即 16(－1－2d)(－3－3d)＝9(－2－3d)2. 因为 d 为整数，所以解得 d＝－2，则 a1＝3， 所以 an＝3－2(n－1)＝5－2n. 则 1 anan＋1 ＝ 1 5－2n3－2n ＝1 2 1 2n－5 － 1 2n－3 ， 所以数列 1 anan＋1 的前 10 项和为1 2 × 1 －3 － 1 －1 ＋1 2 × 1 －1 －1 1 ＋…＋1 2 × 1 15 － 1 17 ＝ 1 2 × 1 －3 － 1 17 ＝－10 51. 答案：－10 51 3．(2019·武汉调研)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn， a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3. (1)若 a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式； (2)若 T3＝13，求 Sn. 解：(1)设{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q， 则 an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由 a2＋b2＝3，得 d＋q＝4，① 由 a3＋b3＝7，得 2d＋q2＝8，② 联立①②，解得 q＝2 或 q＝0(舍去)， 因此{bn}的通项公式为 bn＝2n－1. (2)∵T3＝b1(1＋q＋q2)， ∴1＋q＋q2＝13，解得 q＝3 或 q＝－4， 由 a2＋b2＝3 得 d＝4－q，∴d＝1 或 d＝8. 由 Sn＝na1＋1 2n(n－1)d， 得 Sn＝1 2n2－3 2n 或 Sn＝4n2－5n. 考点三 数列与函数、不等式的综合问题 [典例] 设函数 f(x)＝1 2 ＋1 x ，正项数列{an}满足 a1＝1，an＝f 1 an－1 ，n∈N*，且 n≥2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证： 1 a1a2 ＋ 1 a2a3 ＋ 1 a3a4 ＋…＋ 1 anan＋1 <2. [解] (1)因为 an＝f 1 an－1 ， 所以 an＝1 2 ＋an－1，n∈N*，且 n≥2， 所以数列{an}是以 1 为首项，1 2 为公差的等差数列， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝1＋1 2(n－1)＝n＋1 2 . (2)证明：由(1)可知 1 anan＋1 ＝ 4 n＋1n＋2 ＝4 1 n＋1 － 1 n＋2 ， 所以 1 a1a2 ＋ 1 a2a3 ＋ 1 a3a4 ＋…＋ 1 anan＋1 ＝4 1 2 －1 3 ＋ 1 3 －1 4 ＋ 1 4 －1 5 …＋ 1 n＋1 － 1 n＋2 ＝ 4 1 2 － 1 n＋2 ＝2－ 4 n＋2 <2. [解题技法] 1．数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 (1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前 n 项 和公式、求和方法等对式子化简变形． 注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要 注意这一特殊性． 2．数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比 较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化 为研究最值问题来解决． [题组训练] 1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数 y＝3×2x 的图象上，等 比数列{bn}满足 bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前 n 项和为 Tn，则下列结论正确的是( ) A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1 C．Tn>an D．Tn0 且 q>1. 因为 1＋a2－a4＋λ(a3－a5)＝0，所以 1＋λq＝ 1 a4－a2 ， 所以 a6＋λa7＝a6(1＋λq)＝ a6 a4－a2 ＝ q4 q2－1 ＝q4－1＋1 q2－1 ＝q2＋1＋ 1 q2－1 ＝q2－1＋ 1 q2－1 ＋ 2≥2 q2－1· 1 q2－1 ＋2＝4 当且仅当 q2－1＝ 1 q2－1 时，即 q＝ 2时，取等号 ，即 a6＋λa7 的最小值为 4，故选 D. 7．某公司去年产值为 a，计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10%，则从今年起到 第 5 年，这个厂的总产值为________． 解析：每年的产值构成以 a(1＋10%)＝1.1a 为首项，1.1 为公比的等比数列，所以从今 年起到第 5 年的总产值 S5＝1.1a1－1.15 1－1.1 ＝11(1.15－1)a. 答案：11(1.15－1)a 8．已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，S3，S9，S6 成等差数列，a2＋a5＝4，则 a8＝________. 解析：因为 S3，S9，S6 成等差数列，所以公比 q≠1，21－q9 1－q ＝1－q3 1－q ＋1－q6 1－q ，整理得 2q6＝1＋q3，所以 q3＝－1 2 ，故 a2· 1－1 2 ＝4，解得 a2＝8，故 a8＝8×1 4 ＝2. 答案：2 9．已知等差数列{an}满足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，函数 f(x)＝2x，bn＝log4f(an)，则数 列{bn}的前 n 项和为________． 解析：∵等差数列{an}满足 an－1＋an＋an＋1＝3n(n≥2)，∴3an＝3n，即 an＝n.又∵函数 f(x) ＝2x，∴f(an)＝2n，∴b1＋b2＋…＋bn＝log4[f(a1)·f(a2)·…·f(an)]＝log4(2×22×…×2n)＝log421 ＋2＋…＋n＝1 2 ×(1＋2＋…＋n)＝nn＋1 4 . 答案：nn＋1 4 10．(2018·沈阳质检)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则 an＝ ________. 解析：法一：因为 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－an an－an－1 ＝2(n≥2)，所以 an＋1－an＝(a2 －a1)2n－1＝2n－1(n≥2)，又 a2－a1＝1，所以 an－an－1＝2n－2，an－1－an－2＝2n－3，…，a2－a1＝1， 累加，得 an＝2n－1(n∈N*)． 法二：因为 an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以 an＋1－2an＝an－2an－1，得 an＋1－2an＝an－2an －1＝an－1－2an－2＝…＝a2－2a1＝0，即 an＝2an－1(n≥2)，所以数列{an}是以 1 为首项，2 为公 比的等比数列，所以 an＝2n－1(n∈N*)． 答案：2n－1 11．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比为3 2. (1)若 S4＝65 24 ，求 a1. (2)若 a1＝2，cn＝1 2an＋nb，且 c2，c4，c5 成等差数列，求 b. 解：(1)∵公比 q＝3 2 ，S4＝65 24 ， ∴a1 1－ 3 2 4 1－3 2 ＝65 24 ， ∴ 1－81 16 a1＝－65 48 ，解得 a1＝1 3. (2)∵a1＝2，公比为3 2 ，∴a2＝3，a4＝27 4 ，a5＝81 8 . 又∵cn＝1 2an＋nb， ∴c2＝1 2a2＋2b＝3 2 ＋2b，c4＝1 2a4＋4b＝27 8 ＋4b，c5＝1 2a5＋5b＝81 16 ＋5b. ∵c2，c4，c5 成等差数列， ∴2 27 8 ＋4b ＝3 2 ＋2b＋81 16 ＋5b，解得 b＝－ 3 16. 12．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，点 n，Sn n ，n∈N*均在函数 y＝x 的图象上． (1)求数列{an}的通项公式； (2)记数列 1 anan＋1 的前 n 项和为 Tn，若对任意的 n∈N*，不等式 4Tn