2020版高考数学二轮复习 专题五 立体几何 专题对点练17 空间中的垂直、夹角及几何体的体积 文 6页

专题对点练17　空间中的垂直、夹角及几何体的体积 ‎1.‎ ‎(2018江苏,15)在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B‎1C1.‎ 求证:(1)AB∥平面A1B‎1C;‎ ‎(2)平面ABB‎1A1⊥平面A1BC.‎ ‎2.‎ 如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.‎ ‎(1)求证:BF⊥平面ACFD;‎ ‎(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.‎ ‎3.由四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.‎ ‎(1)证明:A1O∥平面B1CD1;‎ ‎(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ 6‎ ‎4.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.‎ ‎(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;‎ ‎(2)求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎5.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=2,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,且PO=6,M为PD的中点.‎ ‎(1)证明:AD⊥平面PAC;‎ ‎(2)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.‎ ‎6.(2018北京,文18)‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.‎ 求证:(1)PE⊥BC;‎ ‎(2)平面PAB⊥平面PCD;‎ ‎(3)EF∥平面PCD.‎ 6‎ ‎7.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CE⊥AD于点E,把△DEC沿CE折到D'EC的位置,使D'A=2,如图②.若G,H分别为D'B,D'E的中点.‎ ‎(1)求证:GH⊥D'A;‎ ‎(2)求三棱锥C-D'BE的体积.‎ ‎8.‎ 如图,在四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.‎ ‎(1)证明:SD⊥平面SAB;‎ ‎(2)求四棱锥S-ABCD的高.‎ 6‎ 专题对点练17答案 ‎1.证明 (1)在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,AB∥A1B1.‎ 因为AB⊄平面A1B‎1C,A1B1⊂平面A1B‎1C,‎ 所以AB∥平面A1B‎1C.‎ ‎(2)在平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1中,四边形ABB‎1A1为平行四边形.‎ 又因为AA1=AB,所以四边形ABB‎1A1为菱形,‎ 因此AB1⊥A1B.‎ 又因为AB1⊥B‎1C1,BC∥B‎1C1,‎ 所以AB1⊥BC.‎ 又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC.‎ 因为AB1⊂平面ABB‎1A1,‎ 所以平面ABB‎1A1⊥平面A1BC.‎ ‎2.(1)证明 延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示.‎ 因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,‎ 所以AC⊥平面BCK,‎ 因此BF⊥AC.‎ 又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,‎ 所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.‎ 所以BF⊥平面ACFD.‎ ‎(2)解 因为BF⊥平面ACK,‎ 所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.‎ 在Rt△BFD中,BF=,DF=,‎ 得cos∠BDF=,‎ 所以,直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.‎ ‎3.证明 (1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B‎1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O‎1C.‎ 又O‎1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.‎ ‎(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,‎ 又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ 所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,‎ 所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1.‎ 又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,‎ 所以B1D1⊥平面A1EM,‎ 又B1D1⊂平面B1CD1,‎ 所以平面A1EM⊥平面B1CD1.‎ ‎4.(1)证明 在△ABD中,因为AD=4,BD=8,AB=4,‎ 所以AD2+BD2=AB2.所以AD⊥BD.‎ 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,‎ 6‎ 所以BD⊥平面PAD.又BD⊂平面MBD,‎ 故平面MBD⊥平面PAD.‎ ‎(2)解 过点P作PO⊥AD交AD于点O,‎ 因为平面PAD⊥平面ABCD,‎ 所以PO⊥平面ABCD,所以PO为四棱锥P-ABCD的高.‎ 又△PAD是边长为4的等边三角形,因此PO=×4=2.‎ 在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,‎ 所以四边形ABCD是梯形.在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,‎ 此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为S==24.‎ 故VP-ABCD=×24×2=16.‎ ‎5.(1)证明 ∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.‎ ‎∵∠ADC=45°,且AD=AC=2,∴∠ACD=45°,∴∠DAC=90°,∴AD⊥AC.‎ ‎∵AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC,且AC∩PO=O,‎ ‎∴AD⊥平面PAC.‎ ‎(2)解 取DO的中点N,连接MN,AN,‎ 由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,‎ ‎∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.‎ ‎∵M为PD的中点,∴MN∥PO,且MN=PO=3,AN=DO=.‎ 在Rt△ANM中,tan∠MAN=,‎ 即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎6.证明 (1)∵PA=PD,且E为AD的中点,‎ ‎∴PE⊥AD.‎ ‎∵底面ABCD为矩形,∴BC∥AD,‎ ‎∴PE⊥BC.‎ ‎(2)∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD,‎ ‎∴AB⊥平面PAD.‎ ‎∴AB⊥PD.又PA⊥PD,PA∩AB=A,‎ ‎∴PD⊥平面PAB.∵PD⊂平面PCD,‎ ‎∴平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.‎ 6‎ ‎∵F,G分别为PB和PC的中点,∴FG∥BC,且FG=BC.‎ ‎∵四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,‎ ‎∴ED∥BC,ED=BC,‎ ‎∴ED∥FG,且ED=FG,∴四边形EFGD为平行四边形,‎ ‎∴EF∥GD.‎ 又EF⊄平面PCD,GD⊂平面PCD,‎ ‎∴EF∥平面PCD.‎ ‎7.(1)证明 连接BE,GH,AC,在△AED'中,‎ ED'2=AE2+AD'2,可得AD'⊥AE.又DC==2,‎ AC=2,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'⊥AC.‎ 因为AE∩AC=A,所以AD'⊥平面ABCE,所以AD'⊥BE.‎ 又G,H分别为D'B,D'E的中点,所以GH∥BE,所以GH⊥D'A.‎ ‎(2)解 设三棱锥C-D'BE的体积为V,‎ 则V=S△BCE·AD'=×2×2×2.‎ ‎8.(1)证明 如图,取AB的中点E,连接DE,SE,则四边形BCDE为矩形,‎ ‎∴DE=CB=2,‎ ‎∴AD=.‎ ‎∵侧面SAB为等边三角形,AB=2,‎ ‎∴SA=SB=AB=2,且SE=.‎ 又SD=1,‎ ‎∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,‎ ‎∴SD⊥SA,SD⊥SB.‎ ‎∵SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.‎ ‎(2)解 设四棱锥S-ABCD的高为h,则h也是三棱锥S-ABD的高.‎ 由(1)知,SD⊥平面SAB,由VS-ABD=VD-SAB,得S△ABD·h=S△SAB·SD.‎ 又S△ABD=AB·DE=×2×2=2,S△SAB=AB2=×22=,SD=1,‎ 所以h=.‎ 故四棱锥S-ABCD的高为.‎ 6‎