名师名校典型题2014高考数学二轮复习名师知识点总结空间几何体 12页

空间几何体 ‎　高考对本节知识的考查主要有以下两个考向：1.三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.2.对于空间几何体的表面积与体积，由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点，题型一般为选择题或填空题．‎ ‎1． 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．‎ ‎2． 空间几何体的三视图 ‎(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．‎ ‎(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．‎ ‎(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．‎ ‎3． 直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：‎ ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎4． 空间几何体的两组常用公式 ‎(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：‎ ‎①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；‎ ‎②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；‎ ‎③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；‎ ‎④S球表＝4πR2(R为球的半径)．‎ ‎(2)柱体、锥体和球的体积公式：‎ ‎①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎③V台＝(S＋＋S′)h(不要求记忆)；‎ ‎④V球＝πR3.‎ 考点一　三视图与直观图的转化 例1　(1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图，那么该三棱锥的侧视图可能为 (　　)‎ ‎ [来源:学.科.网]‎ ‎(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)底面为正三角形，一侧棱垂直于底面．由虚线知可 能有一侧棱看不见．由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是，故其侧视图只 可能是选项B中的图形．‎ ‎(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.‎ 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．‎ ‎(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为 (　　)‎ ‎(2)(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 ‎(　　)‎ 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.‎ ‎(2)根据几何体的三视图知识求解．‎ 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.‎ 考点二　几何体的表面积及体积 例2　(1)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是 (　　)‎ A．8 B．6 C．10 D．8 ‎(2)(2013·浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________ cm3.‎ 答案　(1)C　(2)24‎ 解析　(1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥，SA⊥平面ABC，△ABC 中∠ABC＝90°，SA＝AB＝4，BC＝3，因此图中四个面的三角形均为 直角三角形，SB＝4，AC＝5，S△SAC＝10，S△SAB＝8，S△SBC＝6，‎ S△ABC＝6，所以最大面积是10.‎ ‎(2)由三视图可知，其直观图为：‎ AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，‎ ‎∴BC＝5.‎ 作AH⊥BC于H，‎ AH＝＝.‎ 作A1M⊥BB1于M，A1N⊥CC1于N.连接MN.‎ V＝×(5×3)×＋(3×4)××2＝24.‎ ‎ (1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．‎ ‎(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．‎ ‎ (1)(2013·江西)一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　　)‎ A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π ‎(2)(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．‎ 答案　(1)A　(2)38[来源:学科网]‎ 解析　(1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成．‎ V＝10×4×5＋×π×32×2＝200＋9π.‎ ‎(2)将三视图还原为直观图后求解．‎ 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱，‎ 所以S＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.‎ 考点三　多面体与球 例3　如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为 (　　)‎ A.π B．3π C.π D．2π ‎ 要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．‎ 答案　A 解析　如图，取BD的中点E，BC的中点O，‎ 连接AE，OD，EO，AO.‎ 由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.‎ 由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，‎ 所以AE⊥平面BCD.‎ 因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，‎ 所以AE＝，EO＝.所以OA＝.‎ 在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，‎ 所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.‎ 所以该球的体积V＝π()3＝π.故选A.‎ ‎ 多面体与球接、切问题求解策略 ‎(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎(1)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是 ‎(　　)‎ A．12π B．24π C．32π D．48π ‎(2)一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是________．‎ ‎ [来源:学科网ZXXK]‎ 答案　(1)D　(2)16π 解析　(1)由已知条件知该几何体的直观图如图所示，PA⊥面ABCD，‎ ‎△PAC、△PBC、△PCD均为直角三角形，且斜边相同，所以球心 为PC中点O，OA＝PC＝OB＝OD＝2.球的表面积为S＝4π(OA)2‎ ‎＝48π.‎ ‎(2)该几何体是一个正三棱柱，底面边长为3，高为2.设其外接球的球心为 O，上、下底面中心分别为B、C，则O为BC的中点，如图所示．‎ 则AB＝×3sin 60°＝，BO＝1，‎ ‎∴该棱柱的外接球半径为R＝＝2，‎ ‎∴球的表面积是S＝4πR2＝16π.[来源:学科网]‎ ‎1． 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．‎ 多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．‎ ‎2． 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．‎ ‎3． 一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．‎ ‎4． 长方体的外接球 ‎(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R；‎ ‎(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.‎ ‎1． 从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为 (　　)‎ A．5 B．6 C．9 D．10‎ 答案　C 解析　由三视图知，其直观图为 棱锥A－BCDE.‎ V＝27－－×3×＝9.故选C.‎ ‎2． 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为 (　　)‎ A.π B．2π C．3π D．4π 答案　A 解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该 长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，‎ ‎∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长．‎ 据题意解得 ‎∴长方体的对角线长为＝，‎ ‎∴三棱锥外接球的半径为.‎ ‎∴三棱锥外接球的体积为V＝π·()3＝π.‎ ‎(推荐时间：60分钟)‎ 一、选择题 ‎1． 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为 ，则原梯形的面积为 (　　)‎ A．2 B. C．2 D．4‎ 答案　D 解析　直观图为等腰梯形，则上底设为x，高设为y，则S直观图＝y(x＋2y＋x)＝，‎ 由直观图可知原梯形为直角梯形，其面积S＝·2y·(x＋2y＋x)＝2×＝4.‎ ‎2． (2013·湖南)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 (　　)‎ A. B．1 C. D. 答案　D 解析　∵俯视图是面积为1的正方形，‎ ‎∴此正方体水平放置，‎ 又侧视图是面积为的矩形，‎ ‎∴正方体的对角面平行于投影面，‎ 此时正视图和侧视图相同，面积为.‎ ‎3． (2013·课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　　)‎ A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 答案　A 解析　将三视图还原成直观图为：‎ 上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．‎ 所以V＝2×2×4＋×22×π×4‎ ‎＝16＋8π.‎ 故选A.‎ ‎4． 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体的体积V＝×(×π×12)×＋×(2×2)×＝＋＝，故选A.‎ ‎5． (2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 (　　)‎ A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 答案　B 解析　根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积．‎ 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，‎ 其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，‎ AE＝4.‎ ‎∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.‎ 又CD⊥BD，CD⊥AE，‎ 则CD⊥平面ABD，‎ 故CD⊥AD，‎ 所以AC＝且S△ACD＝10.‎ 在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2.‎ 在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，‎ 故S△BCD＝10，且BC＝.‎ 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.‎ 在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，‎ 则AB边上的高h＝6，故S△ABC＝×2×6＝6.‎ 因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.‎ ‎6． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为 (　　)‎ A.π B.π C.π D.π 答案　A 解析　三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h＝＝.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V圆锥＝πr2h＝π×12×＝π.故选A.‎ ‎7． 已知正方形ABCD的边长为2，将△ABC沿对角线AC折起，使 平面ABC⊥平面ACD，得到如右图所示的三棱锥B－ACD.若O为 AC边的中点，M，N分别为线段DC，BO上的动点(不包括端点)，‎ 且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC的体积y＝f(x)的函数图象大致是 (　　)‎ 答案　B 解析　由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点，可知BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N－AMC的高为ON＝2－x，△AMC的面积为·MC·AC·sin 45°＝x，故三棱锥N－AMC的体积为y＝f(x)＝·(2－x)·x＝(－x2＋2x)(0