• 287.50 KB
  • 2021-05-13 发布

名师名校典型题2014高考数学二轮复习名师知识点总结空间几何体

  • 12页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
空间几何体 ‎ 高考对本节知识的考查主要有以下两个考向:1.三视图几乎是每年的必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,一是考查相关的识图,由直观图判断三视图或由三视图想象直观图,二是以三视图为载体,考查面积、体积的计算等,均属低中档题.2.对于空间几何体的表面积与体积,由原来的简单公式套用渐渐变为三视图及柱、锥与球的接切问题相结合,特别是已知空间几何体的三视图求表面积、体积是近两年高考考查的热点,题型一般为选择题或填空题.‎ ‎1. 四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系.‎ ‎2. 空间几何体的三视图 ‎(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形.‎ ‎(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样,宽度与俯视图一样.‎ ‎(3)画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.看不到的线画虚线.‎ ‎3. 直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:‎ ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°),z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.‎ ‎4. 空间几何体的两组常用公式 ‎(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式:‎ ‎①S柱侧=ch(c为底面周长,h为高);‎ ‎②S锥侧=ch′(c为底面周长,h′为斜高);‎ ‎③S台侧=(c+c′)h′(c′,c分别为上下底面的周长,h′为斜高);‎ ‎④S球表=4πR2(R为球的半径).‎ ‎(2)柱体、锥体和球的体积公式:‎ ‎①V柱体=Sh(S为底面面积,h为高);‎ ‎②V锥体=Sh(S为底面面积,h为高);‎ ‎③V台=(S++S′)h(不要求记忆);‎ ‎④V球=πR3.‎ 考点一 三视图与直观图的转化 例1 (1)已知三棱柱的正视图与俯视图如图,那么该三棱锥的侧视图可能为 (  )‎ ‎ [来源:学.科.网]‎ ‎(2)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(  )‎ 答案 (1)B (2)D 解析 (1)底面为正三角形,一侧棱垂直于底面.由虚线知可 能有一侧棱看不见.由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是,故其侧视图只 可能是选项B中的图形.‎ ‎(2)如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D.‎ 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.‎ ‎(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为 (  )‎ ‎(2)(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是 ‎(  )‎ 答案 (1)A (2)D 解析 (1)根据已知条件作出图形:四面体C1-A1DB,标出各个点的坐标如图(1)所示,可以看出正视图为正方形,如图(2)所示.故选A.‎ ‎(2)根据几何体的三视图知识求解.‎ 由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部分是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是D.‎ 考点二 几何体的表面积及体积 例2 (1)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是 (  )‎ A.8 B.6 C.10 D.8 ‎(2)(2013·浙江)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ cm3.‎ 答案 (1)C (2)24‎ 解析 (1)由三视图可想象出如图所示的三棱锥,SA⊥平面ABC,△ABC 中∠ABC=90°,SA=AB=4,BC=3,因此图中四个面的三角形均为 直角三角形,SB=4,AC=5,S△SAC=10,S△SAB=8,S△SBC=6,‎ S△ABC=6,所以最大面积是10.‎ ‎(2)由三视图可知,其直观图为:‎ AB=4,AC=3,∠BAC=90°,‎ ‎∴BC=5.‎ 作AH⊥BC于H,‎ AH==.‎ 作A1M⊥BB1于M,A1N⊥CC1于N.连接MN.‎ V=×(5×3)×+(3×4)××2=24.‎ ‎ (1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转换原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.‎ ‎(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.‎ ‎ (1)(2013·江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (  )‎ A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π ‎(2)(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.‎ 答案 (1)A (2)38[来源:学科网]‎ 解析 (1)该几何体是由一个长方体与一个半圆柱构成.‎ V=10×4×5+×π×32×2=200+9π.‎ ‎(2)将三视图还原为直观图后求解.‎ 根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,‎ 所以S=2×(4+3+12)+2π-2π=38.‎ 考点三 多面体与球 例3 如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体ABCD,使平面ABD⊥平面BCD,若四面体ABCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为 (  )‎ A.π B.3π C.π D.2π ‎ 要求出球的体积就要求出球的半径,需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置,由于△BCD是直角三角形,根据直角三角形的性质:斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等,只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B,C,D的距离即可确定球心,进而求出球的半径,根据体积公式求解即可.‎ 答案 A 解析 如图,取BD的中点E,BC的中点O,‎ 连接AE,OD,EO,AO.‎ 由题意,知AB=AD,所以AE⊥BD.‎ 由于平面ABD⊥平面BCD,AE⊥BD,‎ 所以AE⊥平面BCD.‎ 因为AB=AD=CD=1,BD=,‎ 所以AE=,EO=.所以OA=.‎ 在Rt△BDC中,OB=OC=OD=BC=,‎ 所以四面体ABCD的外接球的球心为O,半径为.‎ 所以该球的体积V=π()3=π.故选A.‎ ‎ 多面体与球接、切问题求解策略 ‎(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.‎ ‎(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,则4R2=a2+b2+c2求解.‎ ‎(1)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是 ‎(  )‎ A.12π B.24π C.32π D.48π ‎(2)一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是________.‎ ‎ [来源:学科网ZXXK]‎ 答案 (1)D (2)16π 解析 (1)由已知条件知该几何体的直观图如图所示,PA⊥面ABCD,‎ ‎△PAC、△PBC、△PCD均为直角三角形,且斜边相同,所以球心 为PC中点O,OA=PC=OB=OD=2.球的表面积为S=4π(OA)2‎ ‎=48π.‎ ‎(2)该几何体是一个正三棱柱,底面边长为3,高为2.设其外接球的球心为 O,上、下底面中心分别为B、C,则O为BC的中点,如图所示.‎ 则AB=×3sin 60°=,BO=1,‎ ‎∴该棱柱的外接球半径为R==2,‎ ‎∴球的表面积是S=4πR2=16π.[来源:学科网]‎ ‎1. 空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”.‎ 多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.‎ ‎2. 在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外),因此体积计算中的关键一环就是求出这个量.在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面.‎ ‎3. 一些不规则的几何体,求其体积多采用分割或补形的方法,从而转化为规则的几何体,而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体,若存在对称性,则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体,不过几何量不易求解,可根据其所具有的特征,联系其他常见几何体,作为这个规则几何体的一部分来求解).‎ ‎4. 长方体的外接球 ‎(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径,即=2R;‎ ‎(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径,即a=2R.‎ ‎1. 从一个正方体中截去部分几何体,得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图,则该几何体体积的值为 (  )‎ A.5 B.6 C.9 D.10‎ 答案 C 解析 由三视图知,其直观图为 棱锥A-BCDE.‎ V=27--×3×=9.故选C.‎ ‎2. 在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ABD的面积分别为,,,则三棱锥A-BCD的外接球体积为 (  )‎ A.π B.2π C.3π D.4π 答案 A 解析 如图,以AB,AC,AD为棱把该三棱锥扩充成长方体,则该 长方体的外接球恰为三棱锥的外接球,‎ ‎∴三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长.‎ 据题意解得 ‎∴长方体的对角线长为=,‎ ‎∴三棱锥外接球的半径为.‎ ‎∴三棱锥外接球的体积为V=π·()3=π.‎ ‎(推荐时间:60分钟)‎ 一、选择题 ‎1. 一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 ,则原梯形的面积为 (  )‎ A.2 B. C.2 D.4‎ 答案 D 解析 直观图为等腰梯形,则上底设为x,高设为y,则S直观图=y(x+2y+x)=,‎ 由直观图可知原梯形为直角梯形,其面积S=·2y·(x+2y+x)=2×=4.‎ ‎2. (2013·湖南)已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于 (  )‎ A. B.1 C. D. 答案 D 解析 ∵俯视图是面积为1的正方形,‎ ‎∴此正方体水平放置,‎ 又侧视图是面积为的矩形,‎ ‎∴正方体的对角面平行于投影面,‎ 此时正视图和侧视图相同,面积为.‎ ‎3. (2013·课标全国Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (  )‎ A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 答案 A 解析 将三视图还原成直观图为:‎ 上面是一个正四棱柱,下面是半个圆柱体.‎ 所以V=2×2×4+×22×π×4‎ ‎=16+8π.‎ 故选A.‎ ‎4. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 (  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 该几何体由底面半径为1的半圆锥与底面为边长等于2的正方形的四棱锥组成,且高都为,因此该几何体的体积V=×(×π×12)×+×(2×2)×=+=,故选A.‎ ‎5. (2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 (  )‎ A.28+6 B.30+6 C.56+12 D.60+12 答案 B 解析 根据几何体的三视图画出其直观图,利用直观图的图形特征求其表面积.‎ 由几何体的三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示,‎ 其中AE⊥平面BCD,CD⊥BD,且CD=4,BD=5,BE=2,ED=3,‎ AE=4.‎ ‎∵AE=4,ED=3,∴AD=5.‎ 又CD⊥BD,CD⊥AE,‎ 则CD⊥平面ABD,‎ 故CD⊥AD,‎ 所以AC=且S△ACD=10.‎ 在Rt△ABE中,AE=4,BE=2,故AB=2.‎ 在Rt△BCD中,BD=5,CD=4,‎ 故S△BCD=10,且BC=.‎ 在△ABD中,AE=4,BD=5,故S△ABD=10.‎ 在△ABC中,AB=2,BC=AC=,‎ 则AB边上的高h=6,故S△ABC=×2×6=6.‎ 因此,该三棱锥的表面积为S=30+6.‎ ‎6. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,该几何体的体积为 (  )‎ A.π B.π C.π D.π 答案 A 解析 三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,然后把截面放在平面上,底面相对接的图形,圆锥的底面半径为1,母线长为2,故圆锥的高为h==.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积,即V圆锥=πr2h=π×12×=π.故选A.‎ ‎7. 已知正方形ABCD的边长为2,将△ABC沿对角线AC折起,使 平面ABC⊥平面ACD,得到如右图所示的三棱锥B-ACD.若O为 AC边的中点,M,N分别为线段DC,BO上的动点(不包括端点),‎ 且BN=CM.设BN=x,则三棱锥N-AMC的体积y=f(x)的函数图象大致是 (  )‎ 答案 B 解析 由平面ABC⊥平面ACD,且O为AC的中点,可知BO⊥平面ACD,易知BO=2,故三棱锥N-AMC的高为ON=2-x,△AMC的面积为·MC·AC·sin 45°=x,故三棱锥N-AMC的体积为y=f(x)=·(2-x)·x=(-x2+2x)(0