高考数学一轮复习共87节212 空间向量的应用1 15页

‎21、空间向量与立体几何 ‎21．2 空间向量的应用（1）‎ ‎【知识网络】‎ ‎1． 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量。‎ ‎2． 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。‎ ‎3． 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系。‎ ‎【典型例题】‎ ‎[例1]（1）a，b是两个非零的向量，a，b是两个平面，下列命题正确的是 （ ）‎ ‎ A. ∥的必要条件是是共面向量 B. 是共面向量，则∥‎ ‎ C. ∥a，∥b，则a∥b D. ∥a，b，则不是共面向量 ‎（2）关于直线、与平面、，有下列四个命题：‎ ‎ ①且，则； ②且，则；‎ ‎ ③且，则； ④且，则.‎ ‎ 其中真命题的序号是 （ ）‎ ‎ A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③‎ ‎（3）设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是 （C ）‎ ‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 ‎ C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 ‎（4）空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，给出如下命题：‎ ‎ ①AD⊥MN； ②MN∥面CDE； ③MN∥CE； ④MN，CE异面 ‎ 则所有的正确命题为 。‎ ‎（5）已知PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，>．‎ 以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则点E的坐标为 ；又在平面PAD内有一点F，当点F是 时， EF⊥平面PCB．‎ D B C D1‎ C1‎ A A1‎ B1‎ G E F ‎[例2] 如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E,F,G分别是A1D1 ,D1D ,D1C1的中点，求证：平面EFG∥平面A B1C.‎ ‎[例3]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点．证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC．‎ D E B A C P A C M F B 例4图 D E ‎[例4] △ABC为边长等于a的正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,F是BE的中点，‎ ‎ （1）求证：DF∥平面ABC;‎ ‎ （2）求证：AF⊥BD。‎ ‎【课内练习】‎ ‎1． 设是平面外一点，点满足条件，则直线 （ ）‎ ‎ A．与平面平行 B．是平面的斜线 ‎ C．是平面的垂线 D．在平面内 ‎2． 已知四边形ABCD满足，，，，，则该四边形ABCD为 （ ）‎ ‎ A．平行四边形 B．空间四边形 C．平面四边形 D．梯形 ‎3． 已知非零向量及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直线平行于平面或在平面内的 （ ）‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4． 已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，给出下列两个命题：‎ ‎ ①；‎ ‎ ②=．‎ ‎ 则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为 （ ）‎ ‎ A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假 D．①假、②真 ‎5． AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于点A，B的任一点，连结AC，BC，PB，PC，则在四面体P—ABC中，共有 对互相垂直的平面。‎ ‎6． 在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD与△BCD的重心，则四面体的四个表面中，与MN平行的平面是 。‎ ‎7． 在直三棱柱中，．有下列条件：①；②；③．其中能成为的充要条件的是（填上该条件的序号）_________．‎ 第8题 ‎8． 如图，已知四面体中，分别为的中点，若，求证：.‎ ‎9． 正四棱柱AC1中，E为棱D1D上的点，O是底面正方形ABCD的中心．‎ ‎ 若，证明O点在面AEB1上的射影是的垂心．‎ ‎10． 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．‎ B A C D E F P G 第10题 ‎（1）证明PA//平面EDB；‎ ‎（2）证明PB⊥平面EFD；‎ ‎（3）求二面角C—PB—D的大小．‎ ‎21、空间向量与立体几何 ‎21．2 空间向量的应用（1）‎ A组 ‎1． 已知=，=，则以为邻边的平行四边形的面积为 （ ）‎ ‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎2． 设、是平面a内的两个非零向量，则，是为平面a的法向量的 （ ）‎ ‎ A．充分条件 B．充要条件 ‎ C．必要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎3． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AC的公垂线，则直线PQ与BD1的关系是 （ ）‎ ‎ A．异面直线 B。平行直线 C。垂直不相交 D。垂直且相交 ‎4． 若A(－1，2，3)、B(2，－4，1)、C(x，－1，－3)是直角三角形的三个顶点，则x＝ ．‎ ‎5． 过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有 个。‎ ‎6． 如图所示，在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC边上的动点，且AE=BF．求证：；‎ O A 第6题图 A1‎ F E C B O1‎ C1‎ B1‎ F E D C B A S 第7题 ‎7． 如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，，．‎ 证明：BC⊥平面SAB．‎ 第8题 ‎8． 如图，四棱锥中,平面，与平面所成的角为，在四边形中，，．‎ ‎(1)建立适当的坐标系,写出点的坐标；‎ ‎(2)若的中点为,求证：平面平面．‎ ‎21、空间向量与立体几何 ‎21．2 空间向量的应用（1）‎ B组 ‎1． A B D C A C B D 第1题图 如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：‎ ‎ ①；‎ ‎ ②∠BAC＝60°；‎ ‎③三棱锥D—ABC是正三棱锥；‎ ‎ ④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.‎ ‎ 其中正确的是 （ ）‎ ‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎2． 若，，（），∥，则与一定 （ ）‎ ‎ A．共线 B．相交 C．垂直 D。不共面 ‎3． 已知直线a平行于平面a，且它们的距离为d，则到直线a与到平面a的距离都等于d的点的集合是 （ ）‎ ‎ A．两条平行直线 B．空集 C．一条直线 D．一个平面 ‎4． 已知直线l⊥面M，直线mÌ平面N，给出下面的命题：‎ ‎ ①若面M∥面N，则l⊥m； ②若面M⊥面N，则l∥m；‎ ‎ ③若l∥m，则面M⊥面N； ④若l⊥m，则面M∥面N。‎ ‎ 其中所有正确命题的序号为 。‎ ‎5． 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB==1，则Ｍ是线段EF的中点。则AM与平面BDE所成的角为 ，AM与平面BDF所成的角为 。‎ ‎6． 已和四边形是矩形，，．‎ 第6题 ‎(1)证明:；‎ ‎(2)若,‎ 求证:.‎ ‎7． 已知矩形，平面，分别是的中点，‎ ‎．能否确定，使直线是直线与的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由．‎ 第8题 ‎8． 如图所示，已知四棱锥中，底面是矩形，底面，，为棱上一点，且，问是否存在实数，使平面？‎ 参考答案 ‎21．2 空间向量的应用（1）‎ ‎【典型例题】‎ ‎[例1]（1）A．‎ ‎（2）D．‎ ‎（3）C．提示：AB、AC、AD两两垂直．用AB、AC、AD的长度分别表示△BCD中三边的长，后用余弦定理得△BCD的每一个内角均为锐角．‎ ‎（4）①②③。‎ ‎（5）（1，1，1）；点F是AD的中点．‎ ‎ [例2]设=a, =b, =c,则 =+=+=b + a, =+= a+b,‎ ‎∴=2,故∥，即EG∥AC.‎ 又=+=+=b－c,‎ =+ = b－c =2,∴ ∥, 即EF∥B1C .‎ 又∵FG∩EF=F, AC∩B1C=C, ∴平面EFG∥平面A B1C.‎ ‎[例3]先证明PA⊥平面ABCD．‎ 建立空间直角坐标系A-xyz，则 A（0，0，0），B（），D（0，a，0），P（0，0，a），于是，‎ ‎，=（），=（0，a，0）．‎ D E P B A C O G H ‎ z y x ‎ ∵=0+0+0=0，=0+0+0=0， ‎ ‎ ∴AP⊥AB，AP⊥AD．‎ ‎ ∵AB、AD为平面ABCD内的两相交直线，‎ ‎ ∴AP⊥平面ABCD．‎ ‎ 再证明PB∥平面EAC．‎ ‎ 因为 ‎，‎ ‎ 所以、、共面．‎ ‎ 又PBË平面EAC，所以PB∥平面EAC．‎ ‎ [例4]（1）取AB的中点M,连接CM.‎ ‎=()‎ ‎=()‎ ‎=()‎ ‎=()‎ ‎=()=。‎ ‎∴DF∥CM,又BFË平面ABC,CMÌ平面ABC,∴DF∥平面ABC .‎ ‎(2)= (),,,‎ ‎∴=()×()=(-)‎ ‎ =()=()‎ ‎ =(-a2+a2)=0,‎ ‎∴AF⊥BD 。‎ ‎【课内练习】‎ ‎1． D。‎ ‎2． B。‎ ‎3． C。‎ ‎4． A。提示：由AB⊥AC、AB⊥AD，得AB⊥平面ACD，故AB⊥CD，即有．同理，．于是，命题①为真命题．又以AB、AC、AD为同一顶点出发的三条棱，构造长方体，则为自点A的出发的长方体的对角线所在的向量，从而易知命题②亦真．‎ ‎5． 3。‎ ‎6． 平面ABC，平面ABD。‎ ‎7． ③。‎ ‎8． ∵是的中点,连结,则有,‎ 同理,由是的中点,得.‎ ‎∵,‎ ‎.‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵,∴,即.‎ ‎9． 设O点在面AEB1上的射影为H，则是面AEB1的法向量．‎ O B1‎ H E A ‎ 易证 面BDD1B1，故．‎ ‎ 于是，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 同理，．‎ ‎ ∴H为的垂心．‎ ‎10．以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。设．‎ ‎（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG．依题意得．‎ ‎∵底面ABCD是正方形，‎ ‎∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，‎ 且．‎ ‎∴，这表明PA//EG．‎ 而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB．‎ ‎（2）依题意得，．‎ 又，故．∴．‎ 由已知，且，所以平面EFD．‎ ‎（3）设点F的坐标为，，则，‎ 从而，所以 ‎．‎ 由条件知，，即，解得，∴点F的坐标为，且，‎ ‎∴，即，故是二面角C—PB—D的平面角．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，得．‎ 所以二面角C—PB—D的大小为．‎ ‎21．2 空间向量的应用（1）‎ A组 ‎1．A．‎ ‎2． C。‎ ‎3． B。‎ ‎4． 或－11。‎ ‎5． 无数。‎ ‎6． 以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OO1为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则 A1（a，0，a），C1（0，a，a）．‎ ‎ 设E（a，t，0），F（a-t，a，0），0≤t≤a．‎ ‎ ∴，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴．‎ ‎7． 以A为原点，AB、AS边所在的直线分别为x轴、z轴，以平面ABC内垂直于AB的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），S（0，0，2），且C（2，，0）．‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．，∴．‎ ‎8． (1)分别以射线为轴建立空间直角坐标系.‎ ‎∵,,∴.‎ 由平面，得为与平面所成的角,∴.‎ 在直角三角形中，由，得，∴．‎ ‎(2)∵为的中点,∴点的坐标为,‎ ‎,.‎ ‎∵，,‎ ‎∴,∴,又,‎ ‎∴平面平面．‎ B组 ‎1． B。‎ ‎2． C。‎ ‎3． A。提示：与a平行的在a两侧的两条平行直线，且a与这两条平行直线共面于一个与a平行的平面． ‎ ‎4． ①③。‎ ‎5． 0º，90º。‎ ‎6． 以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系.设,,,则,,,.‎ ‎(1)∵,∴,.‎ ‎∴,,‎ 故,∴,即.‎ ‎(2)∵,,∴,‎ ‎∴所成二面角的平面角,即，∴．‎ 于是有，，，．‎ ‎∴，即，‎ ‎，即．‎ ‎∴．‎ ‎7． 以点为原点建立空间直角坐标系（如图所示），设点、、、，那么、、．‎ ‎∴，，．‎ ‎∵，∴，即恒成立．‎ 若，则 ‎，‎ 则．因为是锐角，‎ 所以，即．‎ 亦即当时，直线是直线与的公垂线．‎ ‎8． ∵为棱上一点，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 要使平面，则要，且．‎ ‎∵底面是矩形，底面，∴，，．‎ ‎∵，∴，‎ ‎．‎ ‎∵，∴．代入，解得．‎ ‎∴存在实数，使平面．‎