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  • 2021-05-13 发布

高考数学理试题分类汇编圆锥曲线

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‎2017 年高考试题分类汇编之圆锥曲线(理数) 解析 一、选择题 1‎ 二、填空题 3‎ 三、大题 5‎ 一、 选择题 ‎【浙江卷】2.椭圆的离心率是 A. B. C. D.‎ ‎【解析】,选B.‎ ‎【全国1卷(理)】10.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )‎ A.16 B.14 C.12 D.10‎ ‎【解析 方法一:根据题意可判断当A与D,B,E关于x轴对称,即直线DE的斜率为1,|AB|+|DE|最小,根据弦长公式计算即可. 方法二:设出两直线的倾斜角,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案 】设倾斜角为.作垂直准线,垂直轴 易知 同理, 又与垂直,即的倾斜角为 ‎ ‎ 而,即. ,当取等号 ‎ 即最小值为,故选A ‎【全国Ⅱ卷(理)】9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【解析】取渐近线,化成一般式,圆心到直线距离为 得,,.‎ ‎【全国III卷(理)】5.已知双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆 有公共焦点,则C的方程为( )‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为,则①‎ 又∵椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则②‎ ‎ 由①②解得,则双曲线的方程为,故选B.‎ ‎【全国III卷(理)】10.已知椭圆C:,(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2‎ ‎,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为( )‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【解析】∵以为直径为圆与直线相切,∴圆心到直线距离等于半径,‎ ‎∴‎ 又∵,则上式可化简为 ‎∵,可得,即 ‎∴,故选A ‎【天津卷】(5)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由题意得 ,故选B.‎ 二、填空题 ‎【全国1卷(理)】15.已知双曲线C:(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.‎ ‎【解析】如图,‎ ‎, ‎ ‎∵,∴, ‎ ‎∴‎ 又∵,∴,解得 ‎∴ ‎ ‎【全国2卷(理)】16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则 .‎ ‎【解析】则,焦点为,准线,‎ 如图,为、中点,‎ 故易知线段为梯形中位线,‎ ‎∵,,‎ ‎∴‎ 又由定义,‎ 且,‎ ‎∴‎ ‎【北京卷】(9)若双曲线的离心率为,则实数m=_______________.‎ ‎【解析】.‎ ‎【江苏卷】8.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1 , F2 ,则四边形F1 P F2 Q的面积是 .‎ ‎【解析】右准线方程为,渐近线为,则,,,,则.‎ ‎【山东卷】14.在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ 三、大题 ‎【全国I卷(理)】20.(12分)已知椭圆C:(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎(1)求C的方程;‎ ‎(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.‎ ‎20.解:(1)根据椭圆对称性,必过、‎ ‎ 又横坐标为1,椭圆必不过,所以过三点 将代入椭圆方程得,解得, ∴椭圆的方程为:. (2)当斜率不存在时,设 得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.‎ 当斜率存在时,设 联立,整理得 ‎, 则 又,此时,存在使得成立.‎ ‎∴直线的方程为 当时, 所以过定点. 【全国II卷(理)】20. (12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M做x轴的垂线,垂足为N,点P满足.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设点Q在直线x=-3上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦 点F. ‎ ‎.解:⑴设,易知 又 ‎∴,又在椭圆上.‎ ‎∴,即.‎ ‎⑵设点,,,‎ 由已知:,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 设直线:,‎ 因为直线与垂直.‎ ‎∴‎ 故直线方程为,‎ 令,得,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 若,则,,,‎ 直线方程为,直线方程为,直线过点,为椭圆的左焦点.‎ ‎【全国III卷(理)】20.(12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.‎ ‎(1)证明:坐标原点O在圆M上;‎ ‎(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.‎ 解:(1)显然,当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意.‎ 设,,,‎ 联立:得,‎ 恒大于,,.‎ ‎∴,即在圆上.‎ ‎(2)若圆过点,则 化简得解得或 ‎①当时,圆心为,‎ ‎,,‎ 半径 则圆 ‎②当时,圆心为,‎ ‎,,‎ 半径 则圆 ‎【北京卷】(18)(14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;‎ ‎(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.‎ ‎(18)解:(Ⅰ)把P(1,1)代入y2=2Px得P=∴C:y2=x,‎ ‎∴焦点坐标(,0),准线:x=-.‎ ‎(Ⅱ)设l:y=kx+,A(x1,y1),B(x2,y2),OP:y=x,ON:y=,‎ 由题知A(x1,x1),B(x1,)‎ k2x2+(k-1)x+=0,x1+x2=,x1·x2=.‎ 由x1+x2=,x1x2=,‎ 上式∴A为线段BM中点.‎ ‎【江苏卷】17.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.‎ ‎17.解:(1)∵椭圆E的离心率为,∴①.∵两准线之间的距离为8,∴②.联立①②得,∴,故椭圆E的标准方程为.‎ ‎(2)设,则,由题意得,整理得,∵点在椭圆E上,∴,∴,∴,故点P的坐标是.‎ ‎【江苏卷】B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)‎ 已知矩阵A= ,B=.‎ (1) 求AB;‎ ‎(2)若曲线C1; 在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ,求C2的方程.‎ B.解:(1)AB==.‎ ‎(2)设是曲线上任意一点,变换后对应的点为,‎ 所以,即,因为在曲线上,所以即曲线C2的方程.‎ ‎【山东卷】(21)(本小题满分13分)‎ 在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,焦距为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,是的两条切线,切点分别为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率.‎ ‎(21)解:(I)由题意知 ,,‎ 所以 ,‎ 因此 椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设,‎ 联立方程 得,‎ 由题意知,‎ 且,‎ 所以 .‎ 由题意知,‎ 所以 由此直线的方程为.‎ 联立方程 得,‎ 因此 .‎ 由题意可知 ,‎ 而 ‎,‎ 令,‎ 则,‎ 因此 ,‎ 当且仅当,即时等号成立,此时,‎ 所以 ,‎ 因此,‎ 所以最大值为.‎ 综上所述:的最大值为,取得最大值时直线的斜率为.‎ ‎【天津卷】(19)(本小题满分14分)‎ 设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.‎ ‎(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;‎ ‎(II)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.‎ ‎(19)(Ⅰ)解:设的坐标为.依题意,,,,‎ 解得,,,‎ 于是.‎ 所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.‎ 所以,直线的方程为,或.‎ ‎【浙江卷】21.(本题满分15分)如图,已知抛物线,点A,,抛物线上的点.过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.‎ ‎(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)求的最大值.‎ ‎21.解:(Ⅰ)由题易得P(x,x2),-