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- 2021-05-13 发布
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专题03 命题形式变化及真假判定
【热点聚焦与扩展】
(一)命题结构变换
1、四类命题间的互化:设原命题为“若,则”的形式,则
(1)否命题:“若,则”
(2)逆命题:“若,则”
(3)逆否命题:“若,则”
2、,
(1)用“或”字连接的两个命题(或条件),表示两个命题(或条件)中至少有一个成立即可,记为
(2)用“且”字连接的两个命题(或条件),表示两个命题(或条件)要同时成立,记为
3、命题的否定:命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字,对于不同形式的命题也有不同的方法
(1)一些常用词的“否定”:是→不是 全是→不全是 至少一个→都没有
至多个→至少个 小于→大于等于
(2)含有逻辑联结词的否定:逻辑联接词对应改变,同时均变为:
或→且 且→或
(3)全称命题与存在性命题的否定
全称命题:
存在性命题:
规律为:两变一不变
① 两变:量词对应发生变化(),条件要进行否定
② 一不变:所属的原集合的不变化
(二)命题真假的判断:判断命题真假需要借助所学过的数学知识,但在一组有关系的命题中,真假性也存在一定的关联。
1、四类命题:原命题与逆否命题真假性相同,同理,逆命题与否命题互为逆否命题,所以真假性也相同。而原命题与逆命题,原命题与否命题真假没有关联
11
2、,,如下列真值表所示:
或
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
且
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
简而言之“一真则真” 简而言之“一假则假”
3、:与命题真假相反。
4、全称命题:
真:要证明每一个中的元素均可使命题成立
假:只需举出一个反例即可
5、存在性命题:
真:只需在举出一个使命题成立的元素即可
假:要证明中所有的元素均不能使命题成立
【经典例题】
例1【2017山东,理3】已知命题p:;命题q:若a>b,则,下列命题为真命题的是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题,关键是要首先明确各命题的真假,利用或、且、非真值表,进一步作出判断.
例2【2017北京,理13】能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________.
11
【答案】-1,-2,-3(答案不唯一)
【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证,答案不唯一.
例3.命题“若,则”的逆否命题是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
【答案】B
【解析】命题“若,则”的逆否命题是“若,则,”故命题“若,则”的逆否命题是若,则 ,故选C.
例4【2019届新疆乌鲁木齐市高三第二次监测】命题若,则; 是的逆命题,则( )
A. 真, 真 B. 真, 假 C. 假, 真 D. 假, 假
【答案】C
【解析】由题意, ,所以,得,
所以命题为假命题,
又因为是的逆命题,所以命题:若,则为真命题,故选C.
例5.有下列命题:
①面积相等的三角形是全等三角形;
②“若,则”的逆命题;
③“若,则”的否命题;
④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
【答案】B
【解析】逐一考查所给的命题:
11
①面积相等的三角形不一定是全等三角形,该命题错误;
②“若,则”的逆命题为“若,则”,该命题正确;
③“若,则”的否命题为“若,则”,该命题正确;
④“矩形的对角线互相垂直”为假命题,则其逆否命题为假命题,原命题错误.
综上可得:真命题为②③.
本题选择B选项.
例6.已知命题,使;命题,都有.给出下列结论:
A. 命题是真命题 B. 命题“”是真命题
C. 命题“”是真命题 D. 命题“”是假命题
【答案】B
本题选择B选项.
例7.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】特称命题的否定为全称命题,将存在量词变为全称量词,同时将结论进行否定,故命题“
11
,使得”的否定是“,都有”,故选D.
例8【2019届湖南省张家界市高三三模】命题: , 的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】C
【解析】由题意可知,命题为全称命题,其否定须由全称命题来完成,并否定其结果,所以命题的否定是, .故选C.
例9【2019届北京市首师大附高三十月月考】已知命题“”是真命题,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为命题“”是真命题,
所以,选C.x&kw
例10【2019届江西省八所重点中学高三下学期联考】已知命题对任意,总有;命题直线, ,若,则或;则下列命题中是真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【精选精练】
1.【2017山东,文5】已知命题p:;命题q:若,则a
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