优化指导2015高考数学总复习 不等关系与不等式课时跟踪检测 理含解析新人教版 6页

‎【优化指导】2015高考数学总复习 第7章 第1节 不等关系与不等式课时跟踪检测 理（含解析）新人教版 ‎1．(2014·深圳模拟)设0＜ a＜b＜1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a3＞b3　　　　 B.＜ C．ab＞1　　　　 D．lg(b－a)＜0‎ 解析：选D　因为0＜b＜a＜1，所以0＜b－a＜1，故lg(b－a)＜0成立，选D. ‎ ‎2．对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a＞b，则ac2＞bc‎2”‎，则在该命题及它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数为(　　)‎ A．0　　　　 B．‎1　‎　　　‎ C．2　　　　 D．4‎ 解析：选C　当c＝0时，ac2＞bc2不成立，所以原命题错误，即逆否命题错误．原命题的逆命题为“已知a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，所以逆命题正确，即否命题也正确，所以这4个命题中，真命题的个数为2，选C. ‎ ‎3．(2014·丹东调研)若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是(　　)‎ A．(－1,3)　　　　 B．(－3,6)‎ C．(－3,3)　　　　 D．(1,4)‎ 解析：选C　∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4.∴－4＜－|b|≤0.‎ 又∵1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.故选C. ‎ ‎4．已知a＜0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2之间的大小关系是(　　)‎ A．a＞ab＞ab2　　　　 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2　　　　 D．ab＞ab2＞a 解析：选D　因为a＜0，－1＜b＜0，所以ab2－a＝a(b2－1)＞0，ab2－ab＝ab(b－1)＜0，所以ab＞ab2＞a，故选D. ‎ ‎5．(2014·长春模拟)若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(　　)‎ A．a＋＞b＋　　　　 B.＞ C．a－＞b－　　　　 D.＞ 解析：选A　取a＝2，b＝1，排除B和D；另外，函数f(x)＝x－ 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以a＞b＞0时f(a)＞f(b)必定成立，但g(a)＞g(b)未必成立．所以a－＞b－⇔a＋＞b＋，故选A. ‎ ‎6．(2011·浙江高考)若a，b为实数，则“0＜ab＜‎1”‎是“b＜”的(　　)‎ A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　∵0＜ab＜1，∴a，b同号．‎ 当a，b同正时，由0＜ab＜1易得b＜；‎ 当a，b同负时，由0＜ab＜1易得b＞.‎ 因此0＜ab＜1⇒/ b＜；‎ 反之，由b＜得b－＜0，即＜0，‎ 所以或因此b＜⇒/ 0＜ab＜1.‎ 综上知“0＜ab＜‎1”‎是“b＜”的既不充分也不必要条件. ‎ ‎7．(2013·浙江高考)设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：‎ a∧b＝，a∨b＝ 若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)‎ A．a∧b≥2，c∧d≤2　　　　 B．a∧b≥2，c∨d≥2‎ C．a∨b≥2，c∧d≤2　　　　 D．a∨b≥2，c∨d≥2‎ 解析：选C　由题意知，运算“∧”为两数中取小，运算“∨”为两数中取大，由ab≥4知，正数a，b中至少有一个大于等于2.由c＋d≤4知，c，d中至少有一个小于等于2，故选C. ‎ ‎8．已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②‎2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞‎2a2b.其中一定成立的不等式为(　　)‎ A．①②③　　　　 B．①②④‎ C．①③④　　　　 D．②③④‎ 解析：选A　由a＞b＞0可得a2＞b2，①正确；由a＞b＞0可得a＞b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴‎2a＞2b－1，②正确；∵a＞b＞0，∴＞，∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)＞0，∴＞－，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,‎2a2b＝36，a3＋b3＜‎2a2b，④错误．综上①②③正确，故选A.‎ ‎9．(2014·九江模拟)若角α、β满足－＜α＜β＜，则2α－β的取值范围是________．‎ 解析：　∵－＜α＜β＜，∴－π＜α－β＜0.‎ ‎∵2α－β＝α＋α－β，∴－＜2α－β＜. ‎ ‎10．若a1＜a2，b1＜b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．‎ 解析：a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1　作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1＜a2，b1＜b2，所以(a1－a2)(b1－b2)＞0，所以a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1. ‎ ‎11．(2014·石家庄模拟)a，b∈R，使a＜b和＜同时成立的条件是________．‎ 解析：a＜0＜b　由a＜b两边同除以ab得，若ab＜0，则＞，即＜；若ab＞0，则＞.所以使a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b. ‎ ‎12．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，给出下列不等式：①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2，其中对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．‎ 解析：①③⑤　对于①，由2＝a＋b≥2，得ab≤1，故①正确；对于②，令a＝b＝1，可知②不成立，故②错误；对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥ 2，故③正确；对于④，令a＝b＝1，④不成立，故④错误；对于⑤，＋＝＝≥2，故⑤正确．综上正确的不等式为①③⑤. ‎ ‎13．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比较f(x)与m的大小．‎ 解：由题意知，F(x)＝a(x－m)(x－n)，‎ ‎∴f(x)＝a(x－m)(x－n)＋x，‎ ‎∴f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，‎ ‎∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，‎ ‎∴x－m＜0,1－an＋ax＞0.‎ ‎∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m.‎ ‎14．有三个实数m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．‎ 解：不妨设P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m‎2a.‎ 由题意知Q＜P，即Q－P＜0.‎ ‎∴b2(m－a)＋m‎2a－a2(m－b)－m2b＜0，(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.‎ ‎∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)‎ 若a＜m＜b成立，则a＜b，‎ 这时不等式(*)的解为m＞b或m＜a，矛盾．‎ 故a＜m＜b不可能成立．‎ ‎1．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)‎ A.2＞ab　　　　 B．ac＞bc C．a2＞b2　　　　 D．a－b＞1‎ 解析：选D　对于选项A，由2＞ab可得a2＋2ab＋b2＞4ab，即a2－2ab＋b2＞0，(a－b)2＞0，故2＞ab不能推出a＞b成立，故A不符合题意；对于选项B，由ac＞bc可得(a－b)c ＞0，当c＞0时，a＞b成立，当c≤0时，a＞b不成立，故B不符合题意；对于选项C，由a2＞b2可得(a＋b)(a－b)＞0，不能推得a＞b成立，故C不符合题意；对于选项D，由a－b＞1可得a－b＞1＞0，即a＞b，但由a＞b不能推得a＞b＋1，即a－b＞1成立，故a－b＞1是a＞b成立的充分不必要条件，故D符合题意. ‎ ‎2．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，设a＞b＞c＞0，则，，的大小关系为(　　)‎ A.＜＜　　　　 B.＜＜ C.＜＜　　　　 D.＜＜ 解析：选B　方法一：取特殊值：a＝3，b＝2，c＝1，‎ 则＝log24，＝log23，＝log22，而2＞3＞4，所以＜＜.故选B.‎ 方法二：表示函数y＝f(x)图象上的点(x，f(x))与原点连线的斜率，结合图象知B正确．故选B. ‎ ‎3．(2014·温州十校联合体测试)已知a，b∈(0,1)，则“a＋b＝‎1”‎是“不等式ax2＋by2≥(ax＋by)2对任意的x，y∈R恒成立”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当a＋b＝1时，由ax2＋by2－(ax＋by)2＝a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy＝abx2＋aby2－2abxy≥0，所以a＋b＝1时不等式ax2＋by2≥(ax＋by)2对任意的x，y∈R恒成立；但x＝y＝0时，a＋b不一定为1，因此“a＋b＝‎1”‎是“不等式ax2＋by2≥(ax＋by)2对任意的x，y∈R恒成立”的充分不必要条件．故选A.‎ ‎4．对于正实数α，记Mα为满足下述条件的函数f(x)构成的集合：∀x1，x2∈R且x2＞x1，有－α(x2－x1)＜f(x2)－f(x1)＜α(x2－x1)．下列结论中正确的是(　　)‎ A．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)·g(x)∈Mα1·α2‎ B．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且g(x)≠0，则∈M C．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2，则f(x)＋g(x)∈Mα1＋α2‎ D．若f(x)∈Mα1，g(x)∈Mα2且α1＞α2，则f(x)－g(x)∈Mα1－α2‎ 解析：选C　∵x2＞x1，∴由－α(x2－x1)＜f(x2)－f(x1)＜α(x2－x1)，得－α＜＜α.若f(x)∈Mα1, g(x)∈Mα2，则－α1＜＜α1，－α2＜＜α2.‎ 根据不等式的性质知，‎ ‎－α1＋(－α2)＜＋＜α1＋α2，‎ 即－(α1＋α2)＜＜α1＋α2，‎ ‎∴f(x)＋g(x)∈Mα1＋α2，故选C.‎ ‎5．(2014·淄博模拟)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：①直线x＝1是函数f(x)的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1＜x2≤3时，(f(x2)－f(x1))·(x2－x1)＜0，则f(2 011)、f(2 012)、f(2 013)从大到小的顺序为______．‎ 解析：f(2 013)、f(2 012)、f(2 011)　由f(x＋2)＝－f(x)可得f(x＋4)＝f(x)，即函数的周期为4；由1≤x1＜x2≤3时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0可知函数f(x)在[1,3]上单调递减，故f(1)＞f(2)＞f(3)．又f(2 011)＝f(3)，f(2 012)＝f(0)＝f(2)，f(2 013)＝f(1)，故f(2 013)＞f(2 012)＞f(2 011)，所以填f(2 013)、f(2 012)、f(2 011)．‎ ‎6．已知m∈R，a＞b＞1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．‎ 解：f(x)＝＝m，所以f(a)＝m，f(b)＝m.‎ 由a＞b＞1，知a－1＞b－1＞0，所以1＋＜1＋.‎ ‎①当m＞0时，m＜m，即f(a)＜f(b)；‎ ‎②当m＝0时，m＝m，即f(a)＝f(b)；‎ ‎③当m＜0时，m＞m，即f(a)＞f(b)．‎ ‎ ‎