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- 2021-05-13 发布
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2017年松江区高考数学二模试卷含答案
一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.
1.已知,则 ▲ .
2.已知集合则 ▲ .
3.若复数(是虚数单位),且为纯虚数,则实数= ▲ .
4.直线(为参数)对应的普通方程是 ▲ .
5.若,且,则的值为 ▲ .
6.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是 ▲ .
7.若函数在区间上有零点,则实数的取值范围是 ▲ .
8.在约束条件下,目标函数的最大值为 ▲ .
9.某学生在上学的路上要经过2个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ .
俯视图
10.已知椭圆的左、右焦点分别为,记.若此椭圆上存在点,使到直线的距离是与的等差中项,则的最大值为 ▲ .
11.如图同心圆中,大、小圆的半径分别为2和1,点在大圆上,与小圆相切于点,为小圆上的点,则的取值范围是 ▲ .
12.已知递增数列共有项,且各项均不为零,,如果从中任取两项,当时,仍是数列中的项,则数列的各项和
▲ .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.设分别是两条异面直线的方向向量,向量夹角的取值范围为,所成角的取值范围为,则“”是“”的
(A) 充要条件
(B) 充分不必要条件
(C) 必要不充分条件
(D) 既不充分也不必要条件
14. 将函数图像上的点向左平移个单位,得到点,若位于函数的图像上,则
(A) ,的最小值为 (B) ,的最小值为
(C) ,的最小值为 (D) ,的最小值为
15.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示(收支差额车票收入支出费用),由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议:建议(Ⅰ)不改变车票价格,减少支出费用;建议(Ⅱ)不改变支出费用,提高车票价格,下面给出的四个图形中,实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系,则
(A) ①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ)
(B) ①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)
(C) ②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)
(D) ④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)
16.设函数的定义域是,对于以下四个命题:
(1) 若是奇函数,则也是奇函数;
(2) 若是周期函数,则也是周期函数;
(3) 若是单调递减函数,则也是单调递减函数;
(4) 若函数存在反函数,且函数有零点,则函数也有零点.
其中正确的命题共有
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分;第1小题6分,第2小题8分)
直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,,,是侧棱上一点,设.
(1) 若,求的值;
(2) 若,求直线与平面所成的角.
18.(本题满分14分;第1小题6分,第2小题8分)
设函数,函数的图像与函数的图像关于轴对称.
(1)若,求的值;
(2)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.
19.(本题满分14分;第1小题6分,第2小题8分)
如图所示,是某海湾旅游区的一角,其中,为了营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC,其中是宽长廊,造价是元/米,是窄长廊,造价是元/米,两段长廊的总造价为120万元,同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台,并建水上直线通道(平台大小忽略不计),水上通道的造价是元/米.
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目,要求的面积最大,那么和的长度分别为多少米?
(2) 在(1)的条件下,建直线通道还需要多少钱?
20.(本题满分16分;第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)
设直线与抛物线相交于不同两点、,与圆
相切于点,且为线段中点.
(1) 若是正三角形(是坐标原点),求此三角形的边长;
(2) 若,求直线的方程;
(3) 试对进行讨论,请你写出符合条件的直线的条数(直接写出结论).
21.(本题满分18分;第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
对于数列,定义,.
(1) 若,是否存在,使得?请说明理由;
(2) 若,,求数列的通项公式;
(3) 令,求证:“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列,且为等差数列”.
松江区二模考试数学试卷题(印刷稿)
(参考答案)2017.4
一.填空题(本大题共54分)第1~6题每个空格填对得4分,第7~5题每个空格填对得5分
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11 . 12.
二、选择题 (每小题5分,共20分)
13. C 14.A 15. B 16.B
三.解答题(共78分)
17.(1)以为坐标原点,以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则,,, ……………………2分
, ……………………4分
由得,即
解得. ……………………6分
(2) 解法一:此时
……………8分
设平面的一个法向量为
由得
所以 ……………………10分
设直线与平面所成的角为
则 ……………12分
所以直线与平面所成的角为 ………………14分
解法二:联结,则,
,平面 …………………8分
平面
所以是直线与平面所成的角; ……………………10分
在中,
所以 ……………………12分
所以
所以直线与平面所成的角为 ………………14分
18.(1)由得 ……………………2分
所以(舍)或, ……………………4分
所以 ……………………6分
(2)由得 ……………………8分
……………………10分
而,当且仅当时取等号…12分
所以,所以.………………………………14分
19.(1)设长为米,长为米,依题意得,
即, ………………………………2分
…………………………4分
=
当且仅当,即时等号成立,
所以当的面积最大时,和AC的长度分别为750米和1500米……6分
(2)在(1)的条件下,因为.
由 …………………………8分
得
…………………………10分
, …………………………12分
元
所以,建水上通道还需要万元. …………………………14分
解法二:在中,
………8分
在中,
…………………………10分
在中,
= …………12分
元
所以,建水上通道还需要万元. …………………………14分
解法三:以A为原点,以AB为轴建立平面直角坐标系,则,
,即,设 ………8分
由,求得, 所以 …………10分
所以,……………………12分
元
所以,建水上通道还需要万元. …………………………14分
20. (1)设的边长为,则的坐标为………2分
所以所以
此三角形的边长为. ……………………………4分
(2)设直线
当时,符合题意 ……………………………6分
当时, …………………8分
,舍去
综上所述,直线的方程为: ……………………………10分
(3)时,共2条;……………………………12分
时,共4条; ……………………………14分
时,共1条. ……………………………16分
21.:(1)由,可知数列为递增数列,……………………………2分
计算得,,
所以不存在,使得; ………………………4分
(2)由,可以得到当时,
, ……………………6分
又因为,
所以, 进而得到,
两式相除得,
所以数列,均为公比为6的等比数列, ……………………8分
由,得,
所以; ………… …………10分
(3)证明:由题意,
当时,,
因此,对任意,都有. …………12分
必要性():若为等差数列,不妨设,其中为常数,
显然,
由于=,
所以对于,为常数,
故为等差数列; …………14分
充分性():由于的前4项为等差数列,不妨设公差为
当时,有成立。…………15分
假设时为等差数列,
即 …………16分
当时,由为等差数列,得,
即:,
所以 …………17分
,
因此,
综上所述:数列为等差数列. …………18分
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